【導讀】5．某校在“校園十佳歌手”比賽上，六位評委給1號選手的評分如下：90，96，91，96，6．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，連接OC，若OC=5，CD=8，則tan∠COE=（）。8．函數(shù)y=和y=在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點P是y=的一個動點，CO⊥x軸于點C，①△ODB與△OAC面積相等；②PA與PB始終相等；③四邊形PAOB的面積大小不會發(fā)生變化；11．如圖，小明同學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上．已知紙板的兩條直角邊DE=40cm，七年級400名同學中最喜歡喝“冰紅茶”的人數(shù)是多少；補全八年級300名同學中零花錢的最主要用途情況頻數(shù)分布直方圖；用“列表法”或“樹狀圖法”表示所有可能出現(xiàn)的結果；分別求y1和y2的函數(shù)解析式；

　　

【正文】 ，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出 CD=AD，根據(jù)菱形的判 定推出即可． 【解答】 （ 1）證明： ∵AF∥BC ， ∴∠AFE=∠DBE ， ∵E 是 AD的中點， AD是 BC邊上的中線， ∴AE=DE ， BD=CD， 在 △AFE 和 △DBE 中 ∴△AFE≌△DBE （ AAS）， ∴AF=BD ， ∴AF=DC ． （ 2）四邊形 ADCF是菱形， 證明： AF∥BC ， AF=DC， ∴ 四邊形 ADCF是平行四邊形， ∵AC⊥AB ， AD是斜邊 BC的中線， ∴AD= BC=DC， ∴ 平行四邊形 ADCF是菱形． 【點評】 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定的應用，主要 考查學生的推理能力． 22． 2020年長江中下游地區(qū)發(fā)生了特大旱情．為抗旱保豐收，某地政府制定了農(nóng)戶投資購買抗旱設備的補貼辦法，其中購買 Ⅰ 型、 Ⅱ 型抗旱設備投資的金額與政府補的額度存在下表所示的函數(shù)對應關系． 型 號 金 額 投資金額 x（萬元） Ⅰ 型設備 Ⅱ 型設備 x 5 x 2 4 補貼金額 y（萬元） y1=kx（ k≠0 ） 2 y2=ax2+bx（ a≠0 ） （ 1）分別求 y1和 y2的函數(shù)解析式； （ 2）有一農(nóng)戶同時對 Ⅰ 型、 Ⅱ 型兩種設備共投資 10萬元購買 ，請你設計一個能獲得最大補貼金額的方案，并求出按此方案能獲得的最大補貼金額． 【考點】 二次函數(shù)的應用． 【專題】 壓軸題． 【分析】 （ 1）根據(jù)圖表得出函數(shù)上點的坐標，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可； （ 2）根據(jù) y=y1+y2得出關于 x的二次函數(shù)，求出二次函數(shù)最值即可． 【解答】 解：（ 1）設 y1=kx，將（ 5， 2）代入得： 2=5k， 解得： k=， 故 y1=， 設 y2=ax2+bx，將（ 2， ），（ 4， ）代入得： ， 解得： a=﹣ ， b=， ∴y 2=﹣ +； （ 2）假設投資購買 Ⅰ 型用 x萬元、 Ⅱ 型為（ 10﹣ x）萬元， y=y1+y2=﹣ （ 10﹣ x） 2+（ 10﹣ x）； =﹣ +﹣ 4， 當 x=﹣ =7時， y= =， ∴ 當購買 Ⅰ 型用 7萬元、 Ⅱ 型為 3萬元時能獲得的最大補貼金額，最大補貼金額為 ． 【點評】 此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的最值問題，利用函數(shù)解決實際問題是考試的中熱點問題，同學們應重點掌握． 23．在數(shù)學學習過程中，我們常常會有 “ 似曾相識 ” 的感覺，如果我們把這些 類似進行比較、加以聯(lián)想的話，可能出現(xiàn)許多意想不到的結果和方法，這種把類似進行比較、聯(lián)想，從而解決問題的方法就是類比法．類比法是一種尋求解題思路，猜測問題答案或結論的發(fā)現(xiàn)方法． 如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條面積等分線． 【嘗試探索】 ① 經(jīng)過三角形頂點的面積等分線有 3 條； ② 平行四邊形有 無數(shù) 條面積等分線． 【類比探究】 如圖 1所示，在矩形中剪去一個小正方形，請畫出這個圖形的一條面積等分線； 【類比拓展】 如圖 2，四邊形 ABCD中， AB與 CD不平行， AB≠CD ，且 S△ABC ＜ S△ACD ，過點 A畫出四邊形 ABCD的面積等分線，并描述方法． 【靈活運用】 請您嘗試畫出一種圖形，并畫出它的一條面積等分線． 【考點】 面積及等積變換． 【分析】 嘗試探索， ① 根據(jù)三角形的三條中線是面積等分線解答； ② 根據(jù)平行四邊形的中心對稱圖形解答即可； 類比探究，根據(jù)等底等高的兩個三角形面積相等作圖； 靈活運用，根據(jù)經(jīng)過圓心的直線把圓分成面積相等的兩部分解答． 【解答】 解：嘗試探索， ① 三角形的三條中線是面積等分線， ∴ 經(jīng)過三角形頂點的面積等分線有 3條， ②∵ 平行四邊形的中 心對稱圖形， ∴ 經(jīng)過對稱中心的直線都是它的面積等分線， ∴ 平行四邊形有無數(shù)條面積等分線， 故答案為： 3；無數(shù)； 類比探究，如圖 1所示，經(jīng)過兩個矩形對角線的交點的直線是這個圖形的一條面積等分線； 類比拓展，如圖 2， 過點 B作 BE∥AC 交 DC的延長線于點 E，連接 AE交 BC 于 F， ∵△ABC 和 △AEC 的公共邊 AC 上的高也相等， ∴S △ABC =S△AEC ， ∴S △ABH =S△HEC ， ∴ 四邊形 ABCD的面積 =△AED 的面積， ∴△AED 的中線 AF是四邊形 ABCD的面積等分線； 靈活運用，如圖 3， 經(jīng)過兩圓圓心的直線 O′O′′ 是這個圖形的面積等分線． 【點評】 本題考查的是面積與等積變換，正確理解平面圖形的一條面積等分線的定義，中心對稱圖形的概念以及三角形面積的計算公式是解題的關鍵． 24．如圖，在矩形 ABCD中， AB=6cm， AD=8cm，點 P從點 A出發(fā)沿 AD向點 D勻速運動，速度是 1cm/s，過點 P作 PE∥AC 交 DC于點 E，同時，點 Q從點 C出發(fā)沿 CB方向，在射線 CB上勻速運動，速度是 2cm/s，連接 PQ、 QE， PQ與 AC交與點 F，設運動時間為 t（ s）（ 0＜ t＜8）． （ 1）當 t為何值時，四邊形 PFCE 是平行四邊形； （ 2）設 △PQE 的面積為 s（ cm2），求 s與 t之間的函數(shù)關系式； （ 3）是否存在某一時刻 t，使得 △PQE 的面積為矩形 ABCD面積的 ； （ 4）是否存在某一時刻 t，使得點 E在線段 PQ的垂直平分線上． 【考點】 四邊形綜合題． 【分析】 （ 1）四邊形 PFCE是平行四邊形則 PD=CQ，據(jù)此即可得到關于 t的方程，即可求解； （ 2）用 t表示出 PD、 EC、 DE、 CQ的長，則四邊形 DPQC、 △PDE 以及 △QCE 的面積可用 t表示，則進一步表示出 △PQE 的面積，從而得到函數(shù)解析式； （ 3）根據(jù) △PQE 的面積為矩形 ABCD面積的 即可列方程求解； （ 4）點 E在線段 PQ的垂直平分線上，則 PE=QE，然后根據(jù)勾股定理表示出 PE2和 QE2，即可列方程求得 t的值． 【解答】 解：（ 1） PD=8﹣ t， CQ=2t， 根據(jù)題意得： 8﹣ t=2t， 解得： t= ； （ 2） S 四邊形 PDCQ= （ PD+CQ） ?CD= 6 （ 8﹣ t+2t） =3（ 8+t） =3t+24， ∵PE∥AC ， ∴ ， ∴ = ， 則 DE=﹣ t+6， 則 EC=6﹣（﹣ t+6） = t， 則 S△PDE = PD?DE= （ 8﹣ t） ?（ ﹣ t+6）， S△CQE = CQ?EC= 2t? t= t2， 則 s=3t+24﹣ （ 8﹣ t） ?（﹣ t+6）﹣ t2， 即 s=﹣ t2+3t； （ 3） S 矩形 ABCD=68=48 ， 根據(jù)由題意得：﹣ t2+3t= 48 ， 解得： t=2或 6； （ 4）在直角 △PDE 中， PD2=（ 8﹣ t） 2+（﹣ t+6） 2， 在直角 △COQ 中， QE2=（ 2t） 2+（ t） 2， 當點 E在線段 PQ的垂直平分線上時， PD2=QE2， 則（ 8﹣ t） 2+（﹣ t+6） 2=（ 2t） 2+（ t） 2， 解得： t= 或 （舍去）． 則 t= ． 【點評】 本題考查了平行線分線段成比例定理，以及勾股定理，正確解方程是解決本題的關鍵．