【導讀】7．如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為2，E、F、G分別是邊AB、BC、CA的點，且AE=BF=CG，A．122=5B．122=5C．12=5D．12=5. 列說法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若，（，y2）是拋物線上。15．現(xiàn)定義運算“★”，對于任意實數(shù)a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，16．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，將△ADC繞點A. i=﹣i，i4=2=（﹣1）2=1，從而對于任意正整數(shù)n，我們可以得。i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+?其它活動項目中，你最喜歡哪一項活動（2021?畫出△ABC關(guān)于原點O為中心對稱的△A1B1Cl；以O(shè)為位似中心，在x軸下方將△ABC放大為原來的2倍形成△A2B2C2；請寫出下列各點坐標A2：，B2：，C2：；最大的總利潤是多少？用含α的式子表示：θ3=，θ4=，θ5=；圖1中，連接A0H時，在不添加其他輔助線的情況下，直線A0H是否垂直平分線段A2B1？An﹣1與正n邊形A0B1B2?Bn﹣1重合，現(xiàn)將正n邊形

　　

【正文】 （件）， 30﹣ x=8（件）， x﹣ 6=16（件）， 故 A款式服裝分配到甲店鋪為 22件，則分配到乙店鋪為 14件； B款式分配到甲店鋪為 8件，分配到乙店鋪為 16件，能使兩個店鋪在銷售完這批服裝后所獲利潤相同； （ 2）設(shè)總利潤為 w元，根據(jù)題意得： 30x+35 （ 30﹣ x） ≥950 ，解得 x≤20 ． 解得 6≤x≤20 ． w=30x+35 （ 30﹣ x） +26 （ 36﹣ x） +36（ x﹣ 6） =5x+1770， ∵k=5 ＞ 0， ∴w 隨 x的增大而增大， ∴ 當 x=20時， w有最大值 1870． ∴A 款式服裝 分配給甲、乙兩店鋪分別為 20 件和 16件， B款式服裝分配給甲、乙兩店鋪分別為 10件和 14件，最大的總利潤是 1870元． 【點評】 本題涉及了一元一次方程、不等式組和一次函數(shù)與實際問題，該題是常考題，分析時較為復雜，要求學生讀懂題意，列出提綱，再根據(jù)量與量之間的關(guān)系列出關(guān)系式，由關(guān)系式分析最佳方案． 23．課題：兩個重疊的正多邊形，其中的一個繞某一個頂點旋轉(zhuǎn)所形成的有關(guān)問題． 實驗與論證 設(shè)旋轉(zhuǎn)角 ∠A 1A0B1=α （ α ＜ ∠A 1A0A2）， θ 3， θ 4， θ 5， θ 6所表示的角如圖所示． （ 1）用含 α 的式子表示 ： θ 3= 60176。 ﹣ α ， θ 4= α ， θ 5= 36176。 ﹣ α ； θ 6= α ， （ 2）圖 1中，連接 A0H時，在不添加其他輔助線的情況下，直線 A0H是否垂直平分線段 A2B1？ 答： 是 ；請說明你的理由； 歸納與猜想 設(shè)正 n邊形 A0A1A2?A n﹣ 1與正 n邊形 A0B1B2?B n﹣ 1重合（其中， A1與 B1重合），現(xiàn)將正 n邊形A0B1B2?B n﹣ 1繞頂點 A0逆時針旋轉(zhuǎn) α （ ）． （ 3）設(shè) θ n與上述 “θ 3， θ 4， ?” 的意義一樣，請直接寫出 θ n的度數(shù)． 【考點】 線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；多邊形內(nèi)角與外角； 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）由正三角形的性質(zhì)得 α+θ 3=60176。 ，再由正方形的性質(zhì)得 θ 4=45176。 ﹣（ 45176。 ﹣α ） =α ，最后由正五邊形的性質(zhì)得 θ5=108176。 ﹣ 36176。 ﹣ 36176。 ﹣ α=36176。 ﹣ α ； （ 2）存在，如在圖 1中直線 A0H垂直且平分的線段 A2B1，由于 △A 0A1A2與 △A 0B1B2是全等的等邊三角形，推得 A2H=B1H，則點 H在線段 A2B1的垂直平分線上；由 A0A2=A0B1，則點 A0 在線段A2B1的垂直平分線上，從而得出直線 A0H垂直且平分的線段 A2B1 （ 3）規(guī)律：當 n為奇數(shù)時， θ n= ﹣ α ；當 n為偶數(shù) 時， θ n=α ． 【解答】 解：（ 1） 60176。 ﹣ α ， α ， 36176。 ﹣ α ． α ； （ 2）是 圖 1中直線 A0H垂直平分 A2B1，證明如下： 證明： ∵△A 0A1A2與 △B 0B1B2是全等的等邊三角形， ∴A 0A2=A0B1， ∴∠A 0A2B1=∠A 0B1A2． 又 ∵△A 0A1A2與 △A 0B1B2是等邊三角形， ∴∠A 0A2H=∠A 0B1H=60176。 ． ∴∠HA 2B1=∠HB 1A2． ∴A 2H=B1H． ∴ 點 H在線段 A2B1的垂直平分線上． 又 ∵A 0A2=A0B1， ∴ 點 A0在線段 A2B1的垂直平分線上． ∴ 直線 A0H垂直平分 A2B1． （ 3）當 n為奇數(shù)時， ； 當 n為偶數(shù)時， θ n=α ． 【點評】 此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識．線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等． 24．如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點 A（ 6， 0）、 B（﹣ 2， 0）和點 C（ 0，﹣ 8）． （ 1）求該二次函數(shù)的解析式； （ 2）設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點為 M，若點 K為 x軸上的動點，當 △KCM 的周長最小時，點 K的坐標為 （ ， 0） ； （ 3）連接 AC，有兩動點 P、 Q同時從點 O 出發(fā)，其中點 P以每秒 3個單位長度的速度沿折線 OAC按 O→A→C 的路線運動，點 Q以每秒 8個單位長度的速度沿折線 OCA按 O→C→A 的路線運動，當 P、 Q兩點相遇時，它們都停止運動，設(shè) P、 Q同時從點 O出發(fā) t秒時， △OPQ 的面積為 S． ① 請問 P、 Q兩點在運動過程中，是否存在 PQ∥OC ？若存在，請求出此時 t的值；若不存在，請說明理由； ② 請求出 S關(guān)于 t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 t的取值范圍； ③ 設(shè) S0是 ② 中函數(shù) S的最大值，直接寫出 S0的值． 【考點】 二次函數(shù)綜合題． 【專題】 壓軸題． 【分析】 （ 1）根據(jù)已知的與 x 軸的兩個交點 坐標和經(jīng)過的一點利用交點式求二次函數(shù)的解析式即可； （ 2）首先根據(jù)上題求得的函數(shù)的解析式確定頂點坐標，然后求得點 C關(guān)于 x軸的對稱點的坐標 C′ ，從而求得直線 C′M 的解析式，求得與 x軸的交點坐標即可； （ 3） ① 如果 DE∥OC ，此時點 D， E應(yīng)分別在線段 OA， CA上，先求出這個區(qū)間 t的取值范圍，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，求出此時 t的值，然后看 t的值是否符合此種情況下 t的取值范圍．如果符合則這個 t的值就是所求的值，如果不符合，那么就說明不存在這樣的t． ② 本題要分三種情況進行討論： 當 Q在 OC上， P在 OA上，即 當 0≤t≤1 時，此時 S= OP?OQ，由此可得出關(guān)于 S， t的函數(shù)關(guān)系式； 當 Q在 CA 上， P在 OA 上，即當 1＜ t≤2 時，此時 S= OPQ 點的縱坐標．由此可得出關(guān)于S， t的函數(shù)關(guān)系式； 當 Q， P都在 CA上時，即當 2＜ t＜ 相遇時用的時間，此時 S=S△AOQ ﹣ S△AOP ，由此可得出 S，t的函數(shù)關(guān)系式； 綜上所述，可得出不同的 t的取值范圍內(nèi)，函數(shù)的不同表達式． ③ 根據(jù) ② 的函數(shù)即可得出 S的最大值． 【解答】 解：（ 1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為 y=a（ x+2）（ x﹣ 6）（ a≠0 ）， ∵ 圖象過點（ 0，﹣ 8） ∴a= ∴ 二次函數(shù)的解析式為 y= x2﹣ x﹣ 8； （ 2） ∵y= x2﹣ x﹣ 8= （ x2﹣ 4x+4﹣ 4）﹣ 8= （ x﹣ 2） 2﹣ ∴ 點 M的坐標為（ 2，﹣ ） ∵ 點 C的坐標為（ 0，﹣ 8）， ∴ 點 C關(guān)于 x軸對稱的點 C′ 的坐標為（ 0， 8） ∴ 直線 C′M 的解析式為： y=﹣ x+8 令 y=0 得﹣ x+8=0 解得： x= ∴ 點 K的坐標為（ ， 0）； （ 3） ① 不存在 PQ∥OC ， 若 PQ∥OC ，則點 P， Q分別在線段 OA， CA上， 此時， 1＜ t＜ 2 ∵PQ∥OC ， ∴△APQ∽△AOC ∴ ∵ AP=6﹣ 3t AQ=18﹣ 8t， ∴ ∴t= ∵t= ＞ 2不滿足 1＜ t＜ 2； ∴ 不存在 PQ∥OC ； ② 分情況討論如下， 情況 1： 0≤t≤1 S= OP?OQ= 3t8t=12t 2； 情況 2： 1＜ t≤2 作 QE⊥OA ，垂足為 E， S= OP?EQ= 3t =﹣ + 情況 3： 2＜ t＜ 作 OF⊥AC ，垂足為 F，則 OF= S= QP?OF= （ 24﹣ 11t） =﹣ + ； 綜上所述， 當 0≤t≤1 時， S=12t2，函數(shù)的最大值是 12； 當 1＜ t≤2 時， S=﹣ + ，函數(shù)的最大值是 ； 當 2＜ t＜ ， S= QP?OF=﹣ + ，函數(shù)的最大值為 ； ∴S 0的值為 ． 【點評】 本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點，綜合性較強，考查學生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．