為什么用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)-資料下載頁(yè)
2024-10-06 19:16本頁(yè)面
【正文】 義方法都有采用．例如，由蘇聯(lián)科學(xué)院院士、蘇聯(lián)百科全書(shū)出版社出版，被陳省身先生譽(yù)為“對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，將無(wú)法估計(jì)”的、具有世界性權(quán)威的《數(shù)學(xué)百科全書(shū)》（中譯本在2000年由科學(xué)出版社出版）中，采用了“單位圓定義法”；中國(guó)大百科全書(shū)出版社的《中國(guó)大百科全書(shū)數(shù)學(xué)》（1992年版）中采用了“終邊定義法”．應(yīng)當(dāng)說(shuō)，采用哪一種定義方法是一個(gè)取舍問(wèn)題，沒(méi)有對(duì)錯(cuò)之分，并不存在商榷的問(wèn)題．因此，“單位圓上的點(diǎn)畢竟是特殊點(diǎn)，用它定義三角函數(shù)有失一般性”的認(rèn)識(shí)是不正確的．值得強(qiáng)調(diào)的是正弦、余弦和正切函數(shù)在R（正切除a=(k∈Z) 外）上處處有定義，而不是角a的終邊上取點(diǎn)的任意性．事實(shí)上，在老師們熟悉的“終邊定義法”中，給出定義后有如下說(shuō)明：“根據(jù)相似三角形的知識(shí)，對(duì)于確定的角a，這三個(gè)比值（如果有的話）都不會(huì)隨點(diǎn)P在a的終邊上的位置的改變而改變……對(duì)于確定的角a，上面三個(gè)比值都是唯一確定的．這就是說(shuō)，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)．”這恰恰說(shuō)明了“以角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為‘比值’”是不失一般性的．另外，用“單位圓定義法”直截了當(dāng)、簡(jiǎn)潔易懂，不需要這樣的說(shuō)明，就更顯出其好處了．（2）《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》只要求正弦、余弦和正切三個(gè)函數(shù)，其目的是削枝強(qiáng)干，是非常正確的．進(jìn)一步地，三角函數(shù)中，正弦、余弦函數(shù)是“基本三角函數(shù)”，其余都是通過(guò)這兩個(gè)函數(shù)的運(yùn)算（相除、取倒數(shù)等）而得到的，或者說(shuō)是從這兩個(gè)函數(shù)“派生”出來(lái)的．這樣理解各三角函數(shù)的關(guān)系，那么“用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義正切函數(shù)，由于它未能化簡(jiǎn)三角函數(shù)的比值，所以它就沒(méi)有什么特別的意義”的擔(dān)心也就不必要了．（3）“人教A版”在給出三角函數(shù)定義后，有如下兩個(gè)例題：例1 求的正弦、余弦和正切值．例2 已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0(－3，－4)，求角a的正弦、余弦和正切值．它們的作用主要是讓學(xué)生熟悉定義．例1的解答要用銳角三角函數(shù)知識(shí)，例2的解答要用一定的平面幾何知識(shí)，而許多學(xué)生的平面幾何基礎(chǔ)較差，所以有一定的困難，這是教學(xué)中需要注意的．另外，例2還有讓學(xué)生研究“終邊定義法”的意圖，教科書(shū)“邊空”的“小貼士”表明了這一點(diǎn)：“由例2可知，只要知道角a終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以求出角a的三角函數(shù)值．因此，利用角a終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)也可以定義三角函數(shù)．你能自己給出這種定義嗎？”至于類(lèi)似“已知角a終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)是（3a,4a）,求角a的三角函數(shù)值”的問(wèn)題，顯然是一個(gè)細(xì)枝末節(jié)問(wèn)題，與三角函數(shù)的核心知識(shí)無(wú)關(guān)．參考文獻(xiàn)：① [美]M. 克萊因. 古今數(shù)學(xué)思想（第二冊(cè)）[M]. 上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1979，43② 項(xiàng)武義. 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)講義叢書(shū)?基礎(chǔ)幾何學(xué)[M]. 北京：人民教育出版社，2004，82③ 同①，122~123④ 同②，82⑤ 同①，182⑥ 詳見(jiàn)②，84~87
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