為什么用單位圓上點的坐標定義任意角的三角函數(shù)-資料下載頁
2025-09-27 19:16本頁面
【正文】 義方法都有采用．例如，由蘇聯(lián)科學院院士、蘇聯(lián)百科全書出版社出版，被陳省身先生譽為“對數(shù)學的貢獻，將無法估計”的、具有世界性權威的《數(shù)學百科全書》（中譯本在2000年由科學出版社出版）中，采用了“單位圓定義法”；中國大百科全書出版社的《中國大百科全書數(shù)學》（1992年版）中采用了“終邊定義法”．應當說，采用哪一種定義方法是一個取舍問題，沒有對錯之分，并不存在商榷的問題．因此，“單位圓上的點畢竟是特殊點，用它定義三角函數(shù)有失一般性”的認識是不正確的．值得強調的是正弦、余弦和正切函數(shù)在R（正切除a=(k∈Z) 外）上處處有定義，而不是角a的終邊上取點的任意性．事實上，在老師們熟悉的“終邊定義法”中，給出定義后有如下說明：“根據相似三角形的知識，對于確定的角a，這三個比值（如果有的話）都不會隨點P在a的終邊上的位置的改變而改變……對于確定的角a，上面三個比值都是唯一確定的．這就是說，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)．”這恰恰說明了“以角a的終邊與單位圓的交點坐標為‘比值’”是不失一般性的．另外，用“單位圓定義法”直截了當、簡潔易懂，不需要這樣的說明，就更顯出其好處了．（2）《高中數(shù)學課程標準（實驗）》只要求正弦、余弦和正切三個函數(shù)，其目的是削枝強干，是非常正確的．進一步地，三角函數(shù)中，正弦、余弦函數(shù)是“基本三角函數(shù)”，其余都是通過這兩個函數(shù)的運算（相除、取倒數(shù)等）而得到的，或者說是從這兩個函數(shù)“派生”出來的．這樣理解各三角函數(shù)的關系，那么“用單位圓上點的坐標定義正切函數(shù)，由于它未能化簡三角函數(shù)的比值，所以它就沒有什么特別的意義”的擔心也就不必要了．（3）“人教A版”在給出三角函數(shù)定義后，有如下兩個例題：例1 求的正弦、余弦和正切值．例2 已知角a的終邊經過點P0(－3，－4)，求角a的正弦、余弦和正切值．它們的作用主要是讓學生熟悉定義．例1的解答要用銳角三角函數(shù)知識，例2的解答要用一定的平面幾何知識，而許多學生的平面幾何基礎較差，所以有一定的困難，這是教學中需要注意的．另外，例2還有讓學生研究“終邊定義法”的意圖，教科書“邊空”的“小貼士”表明了這一點：“由例2可知，只要知道角a終邊上任意一點的坐標，就可以求出角a的三角函數(shù)值．因此，利用角a終邊上任意一點的坐標也可以定義三角函數(shù)．你能自己給出這種定義嗎？”至于類似“已知角a終邊上一點的坐標是（3a,4a）,求角a的三角函數(shù)值”的問題，顯然是一個細枝末節(jié)問題，與三角函數(shù)的核心知識無關．參考文獻：① [美]M. 克萊因. 古今數(shù)學思想（第二冊）[M]. 上海：上?？茖W技術出版社，1979，43② 項武義. 基礎數(shù)學講義叢書?基礎幾何學[M]. 北京：人民教育出版社，2004，82③ 同①，122~123④ 同②，82⑤ 同①，182⑥ 詳見②，84~87
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