為什么用單位圓上點的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)-展示頁
2024-10-12 19:16本頁面
【正文】 角三角形的問題等，這是對三角學(xué)的進一步系統(tǒng)化．總之，16世紀(jì)，三角學(xué)從天文學(xué)中分離出來，成為數(shù)學(xué)的一個獨立分支．不過，值得注意的是，這時所討論的“三角函數(shù)”僅限于銳角三角函數(shù)，而且研究銳角三角函數(shù)的目的在于解三角形和三角計算．任意角的三角函數(shù)的研究，與圓周運動的研究有直接關(guān)系．17世紀(jì)，“數(shù)學(xué)從運動的研究中引出了一個基本概念．在那以后的二百年里，這個概念在幾乎所有的工作中占中心位置，這就是函數(shù)──或變量間的關(guān)系──的概念．” “正弦、余弦函數(shù)是一對起源于圓周運動，密切配合的周期函數(shù)，它們是解析幾何學(xué)和周期函數(shù)的分析學(xué)中最為基本和重要的函數(shù)；而正弦、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)乃是圓的幾何性質(zhì)（主要是其對稱性）的直接反映．” 任意角的三角函數(shù)的系統(tǒng)化是在18世紀(jì)的微積分研究中完成的．“微積分的一般工作的結(jié)果是：初等函數(shù)被充分地認(rèn)識了，并實際已將它們發(fā)展成為我們今天所見到的樣子．”“三角函數(shù)的數(shù)學(xué)也系統(tǒng)化了．Newton和Leibniz給出了這些函數(shù)的級數(shù)展開式．兩個角的和與差的三角函數(shù)sin(x＋y)，sin(x－y)……的公式的發(fā)展應(yīng)歸功于一批人……最后，Euler于1748年在關(guān)于木星和土星運動中的不等式的一篇得獎文章中給出了三角函數(shù)的一個十分系統(tǒng)的處理．在Euler1748年的《引論》中已經(jīng)搞清了三角函數(shù)的周期性，并引入了角的弧度制．” 3．任意角的三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的關(guān)系從上述簡單回顧可以看到，任意角的三角函數(shù)雖然與三角學(xué)（銳角三角函數(shù)）有淵源關(guān)系，某種意義上可以把前者看成是后者的進一步發(fā)展，但它們研究的是兩類不同的問題．“三角學(xué)所討論的課題是三角形的各種各樣的幾何量之間的函數(shù)關(guān)系” ，銳角三角函數(shù)是解三角形的工具；而任意角的三角函數(shù)卻不限于此，它是一個周期函數(shù)，是研究現(xiàn)實世界中周期變化現(xiàn)象的“最有表現(xiàn)力的函數(shù)”．另外，從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史看，任意角的三角函數(shù)在18世紀(jì)之所以得到系統(tǒng)研究（其中很重要的是函數(shù)的三角級數(shù)展開式問題），一個主要原因是三角函數(shù)具有周期性，這一特殊屬性在天文學(xué)、物理學(xué)中有大量的應(yīng)用．三角級數(shù)“在天文學(xué)中之所以有用，顯然是由于它們是周期函數(shù)，而天文現(xiàn)象大都是周期的” ，而這種應(yīng)用又與當(dāng)時的數(shù)學(xué)研究的中心工作──微積分緊密結(jié)合，人們在研究行星運動的各種問題時，需要確定函數(shù)的Fourier展開式，而這種展開式（三角級數(shù)）的系數(shù)是用定積分表示的．所以，銳角三角函數(shù)是研究三角形各種幾何量之間的關(guān)系而發(fā)展起來的，任意角三角函數(shù)是研究現(xiàn)實中的周期現(xiàn)象而發(fā)展起來的．它們研究的對象不同，表現(xiàn)的性質(zhì)也不同．我們既不能把任意角的三角函數(shù)看成是銳角三角函數(shù)的推廣（或一般化），又不能把銳角三角函數(shù)看成是任意角的三角函數(shù)在銳角范圍內(nèi)的“限定”．4．用“單位圓定義法”的理由用單位圓上點的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)有許多優(yōu)點．
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