為什么用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)(文件)
【正文】 三角級(jí)數(shù)展開式問題），一個(gè)主要原因是三角函數(shù)具有周期性，這一特殊屬性在天文學(xué)、物理學(xué)中有大量的應(yīng)用．三角級(jí)數(shù)“在天文學(xué)中之所以有用，顯然是由于它們是周期函數(shù)，而天文現(xiàn)象大都是周期的” ，而這種應(yīng)用又與當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)研究的中心工作──微積分緊密結(jié)合，人們在研究行星運(yùn)動(dòng)的各種問題時(shí)，需要確定函數(shù)的Fourier展開式，而這種展開式（三角級(jí)數(shù)）的系數(shù)是用定積分表示的．所以，銳角三角函數(shù)是研究三角形各種幾何量之間的關(guān)系而發(fā)展起來的，任意角三角函數(shù)是研究現(xiàn)實(shí)中的周期現(xiàn)象而發(fā)展起來的．它們研究的對(duì)象不同，表現(xiàn)的性質(zhì)也不同．我們既不能把任意角的三角函數(shù)看成是銳角三角函數(shù)的推廣（或一般化），又不能把銳角三角函數(shù)看成是任意角的三角函數(shù)在銳角范圍內(nèi)的“限定”．4．用“單位圓定義法”的理由用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)有許多優(yōu)點(diǎn)．（1）簡單、清楚，突出三角函數(shù)最重要的性質(zhì)──周期性．采用“單位圓定義法”，對(duì)于任意角a，它的終邊與單位圓交點(diǎn)P(x，y)唯一確定，這樣，正弦、余弦函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即角a（弧度）對(duì)應(yīng)于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y──正弦，角a（弧度）對(duì)應(yīng)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x──余弦，可以得到非常清楚、明確的表示，而且這種表示也是簡單的．另外，“x= cosa，y= sina是單位圓的自然的動(dòng)態(tài)（解析）描述，由此可以想到，正弦、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)就是圓的幾何性質(zhì)（主要是對(duì)稱性）的解析表述”，其中，單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)隨著角a每隔2π（圓周長）而重復(fù)出現(xiàn)（點(diǎn)繞圓周一圈而回到原來的位置），非常直觀地顯示了這兩個(gè)函數(shù)的周期性．“終邊定義法”需要經(jīng)過“取點(diǎn)──求距離──求比值”等步驟，對(duì)應(yīng)關(guān)系不夠簡潔；“比值”作為三角函數(shù)值，其意義（幾何含義）不夠清晰； “從角的集合到比值的集合”的對(duì)應(yīng)關(guān)系與學(xué)生熟悉的一般函數(shù)概念中的“數(shù)集到數(shù)集”的對(duì)應(yīng)關(guān)系不一致，而且“比值”需要通過運(yùn)算才能得到，任意一個(gè)角所對(duì)應(yīng)的比值的唯一性（即與點(diǎn)的選取無關(guān)）也需要證明；“比值”的周期性變化規(guī)律也需要經(jīng)過推理才能得到．以往的教學(xué)實(shí)踐表明，許多學(xué)生在結(jié)束了三角函數(shù)的學(xué)習(xí)后還對(duì)三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不甚了了，與“終邊定義法”的這些問題不無關(guān)系．（2）有利于構(gòu)建任意角的三角函數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)．“單位圓定義法”以單位圓為載體，自變量a與函數(shù)值x，y的意義非常直觀而具體，單位圓中的三角函數(shù)線與定義有了直接聯(lián)系，從而使我們能方便地采用數(shù)形結(jié)合的思想討論三角函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)值符號(hào)的變化規(guī)律、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、周期性、單調(diào)性、最大值、最小值等．例如：● P(x，y)在單位圓上|x|≤1，|y|≤1，即正弦、余弦函數(shù)的值域?yàn)閇－1，1]；● |OP|2=1sin2a +cos2a =1；● 對(duì)于圓心的中心對(duì)稱性sin(π+a)=－sina，c
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