為什么用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)-預(yù)覽頁
【正文】 ：－1010－1 sina在[－，]上單調(diào)遞增，在[，]上單調(diào)遞減；……另外，學(xué)生在學(xué)習(xí)弧度制時(shí)，對于引進(jìn)弧度制的必要性較難理解．“單位圓定義法”可以啟發(fā)學(xué)生反思：采用弧度制度量角，就是用單位圓的半徑來度量角，這時(shí)角度和半徑長度的單位一致，這樣，三角函數(shù)就是以實(shí)數(shù)（弧度數(shù)）為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)（也是實(shí)數(shù)）為函數(shù)值的函數(shù)，這就與函數(shù)的一般定義一致了．另外，我們還可以這樣來理解三角函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系：把實(shí)數(shù)軸想象為一條柔軟的細(xì)線，原點(diǎn)固定在單位點(diǎn)A（1，0），數(shù)軸的正半軸逆時(shí)針纏繞在單位圓上，負(fù)半軸順時(shí)針纏繞在單位圓上，那么數(shù)軸上的任意一個(gè)實(shí)數(shù)（點(diǎn)）a被纏繞到單位圓上的點(diǎn)P(cosa，sina)．（3）符合三角函數(shù)的發(fā)展歷史．前述三角函數(shù)發(fā)展史已經(jīng)表明，任意角的三角函數(shù)是因研究圓周運(yùn)動(dòng)的需要而產(chǎn)生的，數(shù)學(xué)史上，三角函數(shù)曾經(jīng)被稱為“圓函數(shù)”．所以，采用“單位圓定義法”能更真實(shí)地反映三角函數(shù)的發(fā)展進(jìn)程．（4）有利于后續(xù)學(xué)習(xí)．前已述及，“單位圓定義法”使三角函數(shù)反映的數(shù)形關(guān)系更直接，為后面討論三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像奠定了很好的直觀基礎(chǔ)．不僅如此，這一定義還能為“兩角和與差的三角函數(shù)”的學(xué)習(xí)帶來方便，因?yàn)楹停ú睿┙枪綄?shí)際上是“圓的旋轉(zhuǎn)對稱性”的解析表述，和（差）化積公式也是圓的反射對稱性的解析表述． 另外，這一定義中角的度量直接采用了弧度制，能為微積分的學(xué)習(xí)帶來方便．例如，重要極限=1幾乎就是定義的一個(gè)“推論”．5．教科書中的任意角的三角函數(shù)的引入方式“人教A版”首先通過“思考”，提出用直角坐標(biāo)系中角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)的問題，以引導(dǎo)學(xué)生回憶銳角三角函數(shù)概念，體會(huì)引進(jìn)象限角概念后，用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)比表示銳角三角函數(shù)的意義．教科書在定義任意角的三角函數(shù)之前，作了如下鋪墊：直角三角形為載體的銳角三角函數(shù)象限角為載體的銳角三角函數(shù)單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)這樣做的目的主要是為了以銳角三角函數(shù)為認(rèn)知基礎(chǔ)來學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)，使學(xué)生初步體會(huì)用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)所具有的簡單、方便并反映本質(zhì)的好處，從而為“單位圓定義法”做好認(rèn)知準(zhǔn)備．需要注意的是，這樣做并不表明任意角的三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)之間有一般與特殊的關(guān)系．事實(shí)上，用“單位圓定義法”單刀直入給出定義，然后再在適當(dāng)時(shí)機(jī)聯(lián)系銳角三角函數(shù)，這也是一種不錯(cuò)的選擇．6．幾點(diǎn)說明（1）“單位圓定義法”與“終邊定義法”本質(zhì)上是一致的．正因?yàn)榇?，各種數(shù)學(xué)出版物中，兩種定義方法都有采用．例如，由蘇聯(lián)科學(xué)院院士、蘇聯(lián)百科全書出版社出版，被陳省身先生譽(yù)為“對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，將無法估計(jì)”的、具有世界性權(quán)威的《數(shù)學(xué)百科全書》（中譯本在2000年由科學(xué)出版社出版）中，采用了“單位圓定義法”；中國大百科全書出版社的《中國大百科全書1
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