為什么用單位圓上點的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)-在線瀏覽
2024-11-07 19:16本頁面
【正文】 （1）簡單、清楚，突出三角函數(shù)最重要的性質(zhì)──周期性．采用“單位圓定義法”，對于任意角a，它的終邊與單位圓交點P(x，y)唯一確定，這樣，正弦、余弦函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系，即角a（弧度）對應(yīng)于點P的縱坐標(biāo)y──正弦，角a（弧度）對應(yīng)于點P的橫坐標(biāo)x──余弦，可以得到非常清楚、明確的表示，而且這種表示也是簡單的．另外，“x= cosa，y= sina是單位圓的自然的動態(tài)（解析）描述，由此可以想到，正弦、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)就是圓的幾何性質(zhì)（主要是對稱性）的解析表述”，其中，單位圓上點的坐標(biāo)隨著角a每隔2π（圓周長）而重復(fù)出現(xiàn)（點繞圓周一圈而回到原來的位置），非常直觀地顯示了這兩個函數(shù)的周期性．“終邊定義法”需要經(jīng)過“取點──求距離──求比值”等步驟，對應(yīng)關(guān)系不夠簡潔；“比值”作為三角函數(shù)值，其意義（幾何含義）不夠清晰； “從角的集合到比值的集合”的對應(yīng)關(guān)系與學(xué)生熟悉的一般函數(shù)概念中的“數(shù)集到數(shù)集”的對應(yīng)關(guān)系不一致，而且“比值”需要通過運算才能得到，任意一個角所對應(yīng)的比值的唯一性（即與點的選取無關(guān)）也需要證明；“比值”的周期性變化規(guī)律也需要經(jīng)過推理才能得到．以往的教學(xué)實踐表明，許多學(xué)生在結(jié)束了三角函數(shù)的學(xué)習(xí)后還對三角函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不甚了了，與“終邊定義法”的這些問題不無關(guān)系．（2）有利于構(gòu)建任意角的三角函數(shù)的知識結(jié)構(gòu)．“單位圓定義法”以單位圓為載體，自變量a與函數(shù)值x，y的意義非常直觀而具體，單位圓中的三角函數(shù)線與定義有了直接聯(lián)系，從而使我們能方便地采用數(shù)形結(jié)合的思想討論三角函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)值符號的變化規(guī)律、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、周期性、單調(diào)性、最大值、最小值等．例如：● P(x，y)在單位圓上|x|≤1，|y|≤1，即正弦、余弦函數(shù)的值域為[－1，1]；● |OP|2=1sin2a +cos2a =1；● 對于圓心的中心對稱性sin(π+a)=－sina，cos(π+a)=－cosa；● 對于x軸的軸對稱性sin(－a)=－sina，cos(－a)=cosa；● 對于y軸的軸對稱性sin(π－a)=sina，cos(π－a)=－cosa；● 對于直線y=x的軸對稱性sin(－a)=cosa，cos(－a)=sina；● sina在[－，]內(nèi)的單調(diào)性為什么用單位圓上點的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室 章建躍在人教版《普通高中實驗教科書數(shù)學(xué)4 a：－ 0 πx：－1010－1 sina在[－，]上單調(diào)遞增，在[，]上單調(diào)遞減；……另外，學(xué)生在學(xué)習(xí)弧度制時，對于引進弧度制的必要性較難理解．“單位圓定義法”可以啟發(fā)學(xué)生反思：采用弧度制度量角，就是用單位圓的半徑來度量角，這時角度和半徑長度的單位一致，這樣，三角函
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