【正文】 境中,你認(rèn)為,對(duì)于任意角α，sinα怎樣定義好呢？上述問(wèn)題提得“大氣”，既能使學(xué)生的學(xué)習(xí)圍繞關(guān)鍵問(wèn)題展開(kāi)，若能依教材先作銳角情形的鋪墊，教學(xué)更符合學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”，需要引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)用坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)，，其中最主要的是使正弦函數(shù)、余弦函數(shù)從自變量（角的弧度數(shù)）到函數(shù)值（單位圓上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系更清楚、簡(jiǎn)單，突出了三角函數(shù)的本質(zhì)，有利于學(xué)生利用已有的函數(shù)概念來(lái)理解三角函數(shù)，其次是使三角函數(shù)反映的數(shù)形關(guān)系更直接，“優(yōu)點(diǎn)”，引入單位圓的“理由”應(yīng)該另辟蹊徑，白老師在引導(dǎo)學(xué)生完成用角的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)之后，從求簡(jiǎn)的角度設(shè)置問(wèn)題,不愧為“棋高一招”：大家有沒(méi)有辦法讓所得到的定義式變得更簡(jiǎn)單一點(diǎn)？在學(xué)生得出時(shí)定義式最簡(jiǎn)單后,白老師引入單位圓,，“定義”是一種“規(guī)定”，因此，第四環(huán)節(jié)中，教師可類(lèi)比用單位圓定義銳角三角函數(shù)情形，直接給出任意角三角函數(shù)定義，對(duì)學(xué)生而言，關(guān)鍵是理解這樣“規(guī)定”的合理性，對(duì)定義合理性認(rèn)知基礎(chǔ)就是三角函數(shù)的“函數(shù)”本質(zhì)——定義要符合一般函數(shù)的內(nèi)涵（函數(shù)三要素）.3．精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，讓課堂成為學(xué)生思維閃光的舞臺(tái) 基于上述認(rèn)識(shí)，對(duì)定義部分的教學(xué)，：周期現(xiàn)象是社會(huì)生活和科學(xué)實(shí)踐中的基本現(xiàn)象，大到宇宙運(yùn)動(dòng)，小到粒子變化，這些現(xiàn)象的共同特點(diǎn)是具有周期性，另外，如潮汐現(xiàn)象、簡(jiǎn)諧振動(dòng)、交流電等，也具有周期性，而“三角函數(shù)”？它具有哪些特別的性質(zhì)？在解決具有周期性變化規(guī)律的問(wèn)題中到底能發(fā)揮哪些作用？：：在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，它是怎樣定義的？ 意圖：從學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，：現(xiàn)在，角的概念已經(jīng)推廣到了任意角，上述定義方法能推廣到任意角嗎？ 意圖：引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，：如何定義任意角的三角函數(shù)？ 意圖：：我們知道，直角坐標(biāo)系是展示函數(shù)規(guī)律的載體，是構(gòu)架“數(shù)形結(jié)合”的天然橋梁，上堂課我們把任意角放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行研究，借助坐標(biāo)系，可以使角的討論簡(jiǎn)化，也能有效地表現(xiàn)出角的終邊位置“周而復(fù)始”“數(shù)”：：先考慮銳角的情形，如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，你能用點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角α的三角函數(shù)嗎？意圖：：各個(gè)比值與角之間有怎樣的關(guān)系？比值是角的函數(shù)嗎？意圖：扣準(zhǔn)函數(shù)概念的內(nèi)涵，把三角函數(shù)知識(shí)納入函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)，突出變量之間的依賴(lài)關(guān)系或?qū)?yīng)關(guān)系，作出主觀判斷，再用幾何畫(huà)板動(dòng)畫(huà)演示，得出結(jié)論：三個(gè)比值分別是以銳角α為自變量、：既然可在終邊上任取一點(diǎn)，那有沒(méi)有辦法讓所得的對(duì)應(yīng)關(guān)系變得更簡(jiǎn)單一點(diǎn)？ 意圖：，可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步明確：正弦、余弦、正切都是以銳角α為自變量、以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)（或比值）：類(lèi)比上述做法，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交點(diǎn)為P（x，y），定義正弦函數(shù)為，余弦函數(shù)為，? 意圖：給出任意角三角函數(shù)的定義,引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)三要素說(shuō)明定義的合理性，明確任意角三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則、定義域、先讓學(xué)生作出主觀判斷，再用幾何畫(huà)板動(dòng)畫(huà)演示，同時(shí)作好解釋說(shuō)明，得出結(jié)論：正弦、余弦、正切都是以任意角α為自變量、以單位圓上的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值（如果存在的話）、值域.“任意角三角函數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計(jì)陶維林（江蘇南京師范大學(xué)附屬中學(xué)，210003）一．內(nèi)容和內(nèi)容解析三角函數(shù)是一個(gè)重要的基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型．它的基礎(chǔ)主要是幾何中的相似形和圓，研究方法主要是代數(shù)中的圖象分析和式子變形，三角函數(shù)的研究已經(jīng)初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來(lái)．它在物理學(xué)、天文學(xué)、測(cè)量學(xué)等學(xué)科中都有重要的應(yīng)用，它是解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具，它是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中其他學(xué)科的基礎(chǔ)．角的概念已經(jīng)由銳角擴(kuò)展到0176。~360176。內(nèi)的角，再擴(kuò)充到任意角，相應(yīng)地，銳角三角函數(shù)概念也必須有所擴(kuò)充．任意角三角函數(shù)概念的出現(xiàn)是角的概念擴(kuò)充的必然結(jié)果．比較銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)這兩個(gè)概念，共同點(diǎn)是，它們都是“比值”，不同點(diǎn)是銳角三角函數(shù)是“線段長(zhǎng)度的比值”，而任意角三角函數(shù)是直角坐標(biāo)系中“坐標(biāo)與長(zhǎng)度的比值，或者是坐標(biāo)的比值”．正是由于“比值”這一與在角的終邊上所取點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)的特點(diǎn)，因此，可以用角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)（或坐標(biāo)的比值）來(lái)表示任意角的三角函數(shù)，這是概念的核心．這樣定義，不僅簡(jiǎn)化了任意角三角函數(shù)的表示，也為后續(xù)研究它的性質(zhì)帶來(lái)了方便．從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)類(lèi)似于從自然數(shù)到整數(shù)擴(kuò)充的過(guò)程，產(chǎn)生了“符號(hào)問(wèn)題”．因此，學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)可以與銳角三角函數(shù)相類(lèi)比，借助銳角三角函數(shù)的概念建立起任意角三角函數(shù)的概念．任意角三角函數(shù)概念的重點(diǎn)是任意角的正弦、余弦、正切的定義．它們是本節(jié)，乃至本章的基本概念，是學(xué)習(xí)其他與三角函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)，具有根本的重要的作用．解決這一重點(diǎn)的關(guān)鍵，是學(xué)會(huì)用直角坐標(biāo)系中，角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示三角函數(shù)．因?yàn)檎泻瘮?shù)并不獨(dú)立，最主要的是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)．任意角三角函數(shù)自然具有函數(shù)的一切特征，有它的定義域，對(duì)應(yīng)法則以及值域．任意角三角函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集（或它的子集），這是因?yàn)椋诮⒒《戎埔院?，角的集合與實(shí)數(shù)集合間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從這個(gè)意義上說(shuō)，“角是實(shí)數(shù)”，三角函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)．各種不同的三角函數(shù)定義了不同的對(duì)應(yīng)法則，因而可能有不同的定義域與值域．任意角三角函數(shù)概念是核心概念，它是解決一切三角函數(shù)問(wèn)題的基點(diǎn)．無(wú)論是研究三角函數(shù)在各象限中的符號(hào)、特殊角的三角函數(shù)值，還是同角三角函數(shù)間的關(guān)系，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，等等，都具有基本的重要的意義．在建立任意角三角函數(shù)這個(gè)定義的過(guò)程中，學(xué)生可以感受到數(shù)與形結(jié)合，以及類(lèi)比、運(yùn)動(dòng)、變化、對(duì)應(yīng)等數(shù)學(xué)思想方法． 二．目標(biāo)和目標(biāo)解析本節(jié)課的目標(biāo)是，理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義．學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)sinα，cosα，tanα，了解三角函數(shù)是直角三角形中邊長(zhǎng)的比值，這個(gè)比值僅與銳角的大小有關(guān)，是隨著銳角取值的變化而變化的，其值是惟一確定的，等函數(shù)的要素．這是任意角三角函數(shù)概念的“生長(zhǎng)點(diǎn)”．理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）定義的關(guān)鍵是由銳角三角函數(shù)這個(gè)線段長(zhǎng)度的比值擴(kuò)展為點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值．因此，對(duì)銳角三角函數(shù)理解得怎樣，對(duì)理解任意角三角函數(shù)有決定意義，復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)，加深對(duì)銳角三角函數(shù)的理解是必要的．要實(shí)現(xiàn)讓學(xué)生“理解”任意角三角函數(shù)定義的教學(xué)目標(biāo)，莫過(guò)于讓學(xué)生參與任意角三角函數(shù)定義的過(guò)程．讓學(xué)生感受到因角的概念的擴(kuò)展，銳角三角函數(shù)概念擴(kuò)展的必要性，任意角三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)概念的自然延伸．反過(guò)來(lái)，既然銳角集合是任意角集合的子集，那么，銳角三角函數(shù)也應(yīng)該是任意角三角函數(shù)的特殊情況，是一個(gè)包含關(guān)系．讓學(xué)生參與定義，可以感受到這樣定義的合理性，感受到這個(gè)定義是自然的．三．教學(xué)問(wèn)題診斷分析從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，從認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展的角度來(lái)說(shuō)，是屬于“下、上位關(guān)系學(xué)習(xí)”，是一個(gè)從特殊到一般的過(guò)程，“先行組織者”是銳角三角函數(shù)的概念．教學(xué)策略上先復(fù)習(xí)包容性小、抽象概括程度低的銳角三角函數(shù)的概念，然后讓學(xué)生“再創(chuàng)造”抽象程度高的上位概念（參與定義），并形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓原有的銳角三角函數(shù)的概念類(lèi)屬于抽象程度更高的任意角三角函數(shù)的概念之中．學(xué)生過(guò)去在直角三角形中研究過(guò)銳角三角函數(shù)，這對(duì)研究任意角三角函數(shù)在認(rèn)識(shí)上會(huì)有一定的局限性，所以學(xué)生在用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)研究三角函數(shù)可能會(huì)有一定的困難．可以讓學(xué)生在原有的對(duì)銳角三角函數(shù)的幾何認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，嘗試讓學(xué)生建立用終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角三角函數(shù)，或者嘗試用終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)定義銳角三角函數(shù)，然后再定義任意角的三角函數(shù)．教學(xué)的另一個(gè)難點(diǎn)是，任意角三角函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集（或它的子集）．因?yàn)閷W(xué)生剛剛接觸弧度制，未必能理解“把角的集合與實(shí)數(shù)集建立一一對(duì)應(yīng)”到底是為了什么．可以在復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)時(shí)，把銳角說(shuō)成區(qū)間（0，四．教學(xué)支持條件分析利用幾何畫(huà)板軟件，可以動(dòng)態(tài)改變角的終邊位置，從而改變角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)大小的特點(diǎn)，便于學(xué)生認(rèn)識(shí)任意角的位置的改變，所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值也改變的特點(diǎn)，感受函數(shù)的本質(zhì)；感受終邊相同的角具有相同的三角函數(shù)值；也便于觀察各三角函數(shù)在各象限中符號(hào)的變化情況，加深對(duì)任意角三角函數(shù)概念的理解，增強(qiáng)教學(xué)效果．）內(nèi)的角，以便分散這個(gè)難點(diǎn)． 五．教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 1．理解銳角三角函數(shù)要理解任意角三角函數(shù)首先要理解銳角三角函數(shù)．銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的先行組織者．問(wèn)題1 任意畫(huà)一個(gè)銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．教師用幾何畫(huà)板任意畫(huà)一個(gè)銳角．要求學(xué)生自己任意也畫(huà)一個(gè)銳角，利用手中的三角板畫(huà)直角三角形，度量角α的對(duì)邊長(zhǎng)、斜邊長(zhǎng)，計(jì)算比值．意圖：復(fù)習(xí)初中所學(xué)習(xí)過(guò)的銳角三角函數(shù)，加深對(duì)銳角三角函數(shù)概念的理解，它是學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)的基礎(chǔ)．突出：（1）與點(diǎn)的位置的選取無(wú)關(guān)；（2）是直角三角形中線段長(zhǎng)度的比值． 問(wèn)題2 能否把某條線段畫(huà)成單位長(zhǎng)，有些三角函數(shù)值不用計(jì)算就可以得到？意圖：學(xué)生根據(jù)自己實(shí)際畫(huà)圖操作，以及計(jì)算比值的體驗(yàn)，會(huì)很快認(rèn)為把斜邊畫(huà)成單位長(zhǎng)比較方便，為后續(xù)任意角三角函數(shù)的“單位圓定義法”做鋪墊．問(wèn)題3 銳角三角函數(shù)sinα作為一個(gè)函數(shù)，自變量以及與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別是什么？意圖：以便與后面的任意角三角函數(shù)的自變量是角（的弧度，對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)），對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是α的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)比較．銳角三角函數(shù)sinα作為一個(gè)函數(shù)，自變量是銳角．由于角的弧度值與實(shí)數(shù)可以一一對(duì)應(yīng)，所以，α是（0，）上的實(shí)數(shù)．而與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值sinα是線段長(zhǎng)度的比值，是區(qū)間（0，1）上的實(shí)數(shù)．問(wèn)題4 你產(chǎn)生過(guò)這個(gè)疑問(wèn)嗎：“三角函數(shù)只有這三個(gè)？”意圖：這個(gè)問(wèn)題具有元認(rèn)知提示的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生勤于思考，逐步學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、研究問(wèn)題．三條邊相互比，可以產(chǎn)生六個(gè)比．還有哪三個(gè)呢？再把已知的三個(gè)倒過(guò)來(lái)． 2．任意角三角函數(shù)定義的“再創(chuàng)造”教師利用幾何畫(huà)板，把角α的頂點(diǎn)定義為原點(diǎn)，一邊與x軸的正半軸重合，轉(zhuǎn)動(dòng)另一條邊，表現(xiàn)任意角．問(wèn)題5 現(xiàn)在，角的范圍擴(kuò)大了．在直角坐標(biāo)系中，使得角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環(huán)境下，你認(rèn)為，對(duì)于任意角α，sinα，cosα，tanα怎樣來(lái)定義好呢？意圖：可以打破知識(shí)結(jié)構(gòu)的平衡，感受到學(xué)習(xí)新知識(shí)的必要性——角的范圍擴(kuò)大了，銳角三角函數(shù)也應(yīng)該“與時(shí)俱進(jìn)”，并不顯得突然．把定義的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生參與定義過(guò)程，發(fā)展思維．有兩種可能的回答．可能一：在α的終邊上任意畫(huà)一點(diǎn)P（x，y），|OP|＝r．可能二：設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P（x，y）．不論出現(xiàn)可能一還是可能二，都再問(wèn)：“都是這樣的嗎？”引導(dǎo)學(xué)生議論，以確認(rèn)兩種定義方法的一致性、各自特點(diǎn)．再問(wèn)“你贊成哪一種？”，統(tǒng)一認(rèn)識(shí)，建立任意角三角函數(shù)的定義．（板書(shū)）因?yàn)榍懊嬉呀?jīng)有引導(dǎo)，學(xué)生可能很快接受“可能二”． 3．任意角三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)（對(duì)定義的體驗(yàn)）問(wèn)題6（1）求下列三角函數(shù)值：?jiǎn)栴}6（2）說(shuō)出幾個(gè)使得cosα＝1的α的值． 意圖：通過(guò)定義的簡(jiǎn)單應(yīng)用，把握定義的內(nèi)涵．逐題給出，對(duì)于每一個(gè)答案，都要求學(xué)生說(shuō)出“你是怎樣得到的．”突出“畫(huà)終邊，找交點(diǎn)坐標(biāo)，算比值（對(duì)正切函數(shù)）”的步驟．問(wèn)題6（3）指出下列函數(shù)值：意圖：角的終邊位置決定了三角函數(shù)值的大?。K邊位置相同的角同一三角函數(shù)值相等．于是有 sin（α＋2kπ）＝sinα，cos（α＋2kπ）＝cosα，tan（α＋2kπ）＝tanα．（其中k∈Z）問(wèn)題6（4）①確定下列三角函數(shù)的符號(hào)：②θ在哪個(gè)象限？請(qǐng)說(shuō)明理由．反過(guò)來(lái)呢？③角α的哪些三角函數(shù)值在第二、三象限都是負(fù)數(shù)？為什么？ ④tanα在哪些象限中取正數(shù)？為什么？ 意圖：認(rèn)識(shí)三角函數(shù)在各象限中的符號(hào)．問(wèn)題7 做了這么多題，要反思．你是否發(fā)現(xiàn)了任意角三角函數(shù)的一些性質(zhì)？還有些什么體會(huì)？ 意圖：體驗(yàn)以后的概括，階段小結(jié)．（1）抓住各三角函數(shù)的定義不放；（2）各象限中三角函數(shù)的符號(hào)特點(diǎn)，等．教師板書(shū)學(xué)生獲得的成果、感受． 4．任意角三角函數(shù)的定義域問(wèn)題8 α是任意角，作為函數(shù)的sinα，cosα，tanα，它們的定義域分別是什么？意圖：三角函數(shù)也是函數(shù)，自然應(yīng)該關(guān)心它的定義域．建立了角的弧度制，角的集合與實(shí)數(shù)集合之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此，sinα，cosα的定義域是R；tanα＝中，x≠0，于是tanα的定義域是仍然緊扣定義，并引導(dǎo)以弧度制表示它的定義域． 5．練習(xí)（1）確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)，并借助計(jì)算器計(jì)算：（2）求下列三角函數(shù)值：6．小結(jié)問(wèn)題9 下課后，你走出教室，如果有人問(wèn)你：“過(guò)去你就學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)，今天又學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)，它們的差別在哪里呢？”你怎么回答他？意圖：通過(guò)問(wèn)題小結(jié)．不追求面面俱到，突出銳角三角函數(shù)是三角形中，邊長(zhǎng)的比值，而任意角的三角函數(shù)是直角坐標(biāo)系中角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)，或者是坐標(biāo)的比值．若時(shí)間允許，再問(wèn)：“還有其他收獲嗎？”比如，終邊相同的角的同一三角函數(shù)相等；各象限三角函數(shù)的符號(hào)；任意角三角函數(shù)的定義域，等． 六．目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)（1），寫(xiě)出α的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，并寫(xiě)出tanα的值．（2）求下列三角函數(shù)的值：（3）角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)是Q，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)是1/2，說(shuō)出幾個(gè)滿(mǎn)足條件的角α．（4）點(diǎn)P（3，－4）在角α終邊上，說(shuō)出sinα，cosα，tanα分別是多少？（1）實(shí)際教學(xué)片段上課始，教師用幾何畫(huà)板任意畫(huà)一個(gè)銳角，提出問(wèn)題1：“任意畫(huà)一個(gè)銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．”然后走進(jìn)學(xué)生中間，觀察他們的學(xué)習(xí)行為．結(jié)果發(fā)現(xiàn)，有一部分同學(xué)畫(huà)出角之后，一片茫然．教師又不愿意把結(jié)果告訴學(xué)生，提示同桌的兩位同學(xué)可以商量一下，并提示，完成的同學(xué)請(qǐng)舉手示意，以便教師了解情況，結(jié)果舉手的人很少．之后，教師提問(wèn)一位舉手的學(xué)生，問(wèn)：“你是怎么做的？”她要求上黑板，教師非常贊成．她在黑板上畫(huà)出一個(gè)直角三角形，并不熟練地寫(xiě)出一個(gè)銳角的正弦是它的對(duì)邊比斜邊以及余弦、正切等三個(gè)三角函數(shù)．之后，教師又與學(xué)生討論了問(wèn)題2：能否把某條線段畫(huà)成單位長(zhǎng)，有些三角函數(shù)值不用計(jì)算就可以得到？學(xué)生比較一致認(rèn)為把斜邊長(zhǎng)畫(huà)成單位長(zhǎng)比較好，為“單位圓定義法”做必要的鋪墊．接著討論問(wèn)題3：銳角三角函數(shù)sinα作為一個(gè)函數(shù)，自變量以及與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別是什么？在教師類(lèi)比正方形的面積s＝a2的提示下