現(xiàn)代控制工程基礎(chǔ)-講-資料下載頁
2025-09-11 21:33本頁面
【正文】 (1) 定常線性代數(shù)方程組的矩陣形式為： AX=C 其中 A∈ Rm n ， X∈ Rn ， C∈ Rm。 矩陣 A稱為方程組的系數(shù)矩陣，矩陣B=[A C]稱為方程組的增廣矩陣。該方程組解的情況是： (1)當(dāng) rank(A)=rank(B)=n時，方程組有唯一解 (2)當(dāng) rank(A)rank(B)時，方程組無解 (3)當(dāng) rank(A)=rank(B)n時，方程組有無窮多解 特別地 ◆在 m=n，且 |A|≠0時，方程組有唯一解。 ◆當(dāng) C=0，即齊次方程組 AX=0有非零解的充分必要條件是 rank(A)n。 現(xiàn) 代 控 制 工 程 基 礎(chǔ) ?線性方程 AX=C（ A∈ Rm n； C∈ Rm ）在 mn和 rand(A)=m時，有無窮多個解，其中的最小范數(shù)解為 X=AT(AAT)1C 歐氏范數(shù)定義為： ||X||=(XTX)1/2 ?線性方程 AX=C（ A∈ Rm n； C∈ Rm ）在 nm和 rand(A)=n時，方程的最小二乘解為 X= (AAT)1ATC 最小二乘解就是 (AXC)的歐氏范數(shù)。 現(xiàn) 代 控 制 工 程 基 礎(chǔ) 例：求 x+2y+3z=1平面上距離坐標(biāo)原點(diǎn)最短的點(diǎn)的坐標(biāo)和最短距離的大小。 解： x+2y+3z=1 ? ? 1321 ???????????zyxA=[1 2 3], C=1 X=AT(AAT)1C=[1/14 2/14 3/14]T 2/1222????????? ?????????????????????X現(xiàn) 代 控 制 工 程 基 礎(chǔ) (2) 線性矩陣微分方程為： nmRXtXtFXtEtXDdtdX ?????? 00 )(,)()()(nmItDtttIttEtt??????????????),(,)(),(),(),(,),()(),(222111????????此微分方程的唯一解為 ? ?????? tt dtFtttXttXttX 0 ),()(),(),(),(),( 210202200 ????其中的矩陣 Φ1()、 Φ2()滿足 nmmmnn RtFRtERtD ??? ??? )(,)(,)(現(xiàn) 代 控 制 工 程 基 礎(chǔ) 若矩陣 D(t)=D、 E(t)=E是常數(shù)矩陣，則有 )(2)(1 ),(,),( ?? ?? ?? ???? tDtE etet現(xiàn) 代 控 制 工 程 基 礎(chǔ) 若 dX/dt=0，且矩陣 D、 E、 F均為常數(shù)矩陣，就有 )()()( tFXtEtXDdtdX ??? FEXXD ???方程（ XD+EX=F）存在唯一解的充分必要條件是：矩陣 D、 E的特征值滿足 ), . . . ,1, . . . ,1(0)()( mjniED ji ???? ??若 n=m， D=A， E=AT， F=Q（ Q=QT）就有 FEXXD ??? QXAXA T ???若矩陣 A漸近穩(wěn)定，則方程（ XA+ATX=Q）有唯一實(shí)對稱解，可以表示為 ??? 0 dtQeeX AttA T并具有性質(zhì) : (1)Q≥0(≤0)→X≥0(≤0) ； (2)Q1≥Q2→X 1≥X2 六、矩陣的微分與積分 ◆矩陣 A(t)=(aij(t)) 對標(biāo)量 t的微分 ◆矩陣 A(t)=(aij(t))的積分 (t為標(biāo)量 ) ◆標(biāo)量 函數(shù) f(A)對矩陣 A=(aij)n m的微分 特別地， 標(biāo)量 函數(shù) f(X)對向量 X=[x1 ? xn]T的微分 通常將 df(A)/dA稱為函數(shù) f()沿矩陣 A∈ Rn m方向的 梯度 ，記為 ?f(A)∈ Rn m。 ????????? dt tdadt tdA ij )()(? ??? ? dttadttA ij )()(TndxXfdxXfdxXfdXXdf ?????? ???? )()()()(21?mnijaAfdAAdf???????????? )()(現(xiàn) 代 控 制 工 程 基 礎(chǔ) ◆向量 Z(X)=[z1(X) z2(X) ? zn(X)]T對向量 X=[x1 ? xm]T的微分 顯然，有 和 ◆標(biāo)量 復(fù)合函數(shù) f(Y(X(t)),X(t),t)的微分，其中 Y(X(t))和 X(t)是向量， t是標(biāo)量 ◆向量 復(fù)合函數(shù) Z(Y(X(t)),X(t),t)的微分，其中 Y(X(t))和 X(t)也是向量， t是標(biāo)量 nmmnmnTmnmnnmdxdzdxdzdxdzdxdzdXXdZordxdzdxdzdxdzdxdzdXXdZ??????????????????????????????????????????11111111)()(TTdXXdZdXXdZ ????????? )()(tZdtdXXZtYdtdXXYYZdtdZXZXYYZdXdZ????????? ???????????????????? ???????? ?????????????? ???tftYYfdtdXYfXYXfdtdfXfYfXYdXdf TTTT??????????????????????????????????????????????????????現(xiàn) 代 控 制 工 程 基 礎(chǔ) ?????? ??? IdXdXdXdXdXdZdXdZdX XdZdX XdZ TTTT ,)()( ?◆兩矩陣和的微分 (t為標(biāo)量 ) ◆兩矩陣乘積的微分 (t為標(biāo)量 ) ◆標(biāo)量函數(shù) α(t)與矩陣 A(t)乘積的微分 (t為標(biāo)量 ) ◆逆矩陣 A1(t)的微分 )()()()( 111 tAdt tdAtAdt tdA ??? ??dt tdBdt tdAtBtAdtd )()())()(( ???dt tdBtAtBdt tdAtBtAdtd )()()()())()(( ??))()(()())(())()(( dt tdAttAdt tdtAtdtd ??? ??現(xiàn) 代 控 制 工 程 基 礎(chǔ)
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