【正文】 ???11112110100100010000)(nnnTnTTTTaaaCACACV其可觀測(cè)性矩陣 這就是形如（ 8－ 125）所示的 A、 C矩陣稱為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型 名稱的由來(lái)。 一個(gè)可觀測(cè)系統(tǒng)，當(dāng) A、 C陣不具有可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，也可選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q化為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型。 0det 2 ?VV2是一個(gè)右下三角陣， ，系統(tǒng)一定可觀測(cè)， 44 利用 A陣對(duì)角化的可控、可觀測(cè)性判據(jù)可知： 167。 可控性、可觀測(cè)性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系 cxybuAxx????? ?iniinnnzfzffyurrzz??????????????????????????111100??????167。 SISO系統(tǒng) 時(shí)，通過(guò)線性變換定將 A對(duì)角化 n?? ,1 ?當(dāng) A陣具有相異特征值 bAsICsu sysG 1)()( )()( ????由于 0?ir ix時(shí)， 當(dāng) 不可控； 0?if當(dāng) 時(shí)， 不可觀測(cè)。 ix)(sG試看傳遞函數(shù) 所具有的相應(yīng)特點(diǎn)。 45 )()()( 1 sbuAsIsx ???bAsI 1)( ??其中 乃是輸入至狀態(tài)向量之間的傳遞矩陣。 這可由狀態(tài)方程兩端取拉氏變換（令初始條件為零）來(lái)導(dǎo)出。 01 ?r當(dāng) 時(shí)， 1x 不可控， 1)( ?? AsIc 矩陣一定會(huì)出現(xiàn)零、極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象， 則 如 11122121000 1()01nnnnssrrssI A bsrrs?????????????????? ???? ??????? ???? ? ????? ?????? ? ?????????? ??????46 ??????????????????????)()()()(0)())(()(123211nnnssssssss????????????01)(cc x (s ))s( xAsIy ????1)( ?? AsIc 是初始狀態(tài)至輸出向量之間的傳遞矩陣。 對(duì)消現(xiàn)象，如 0f1 ?當(dāng) 時(shí)， 不可觀測(cè)，則 也一定會(huì)出現(xiàn)零、極點(diǎn) 1)( ?? AsIc1x? ?112120( ) 00nnssc sI A f fs??????????????????47 2120 nnffs s s? ? ???? ??? ? ??? 有以上分析可知： 單輸入 單輸出系統(tǒng)可控可觀測(cè)的充要條件是： 由動(dòng)態(tài)方程導(dǎo)出的傳遞函數(shù)不存在零極點(diǎn)對(duì)消（即傳遞函數(shù)不可約）； 以上判據(jù)僅適用于單輸入－單輸出系統(tǒng)，對(duì)多輸入－多輸出系 統(tǒng)一般不適用。 1)( ?? AsIc系統(tǒng)可觀測(cè)的充要條件是 不存在零極點(diǎn)對(duì)消。 ? ?1 3 2 2 112() 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) n n nns s s f s s fs s s? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ?bAsI 1)( ?? 不存在零極點(diǎn)對(duì)消， 或系統(tǒng)可控的充要條件是 48 例 840 已知下列動(dòng)態(tài)方程，試研究其可控性、可觀測(cè)性與傳遞 函數(shù)的關(guān)系。 ? ? xyuxx 10,1 ?????????????????2) ? ? xyuxx 01,0101 ???????????????? 3) ? ? xyuxx , 10 ????????????????? 1) 解 三個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)均為 )1)(()()()(?????ssssusysG存在零、極點(diǎn)對(duì)消。 ， 49 （ 1） A、 b為可控標(biāo)準(zhǔn)型 故可控不可觀測(cè)。 例 841 設(shè)二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試用狀態(tài)空間及傳遞函數(shù)描述判斷系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性，并說(shuō)明傳遞函數(shù)描述的不完全性。 x1 u y x2 54s??11s?125( ) ( ( ) ( ) )4x s u s x ss????解 由結(jié)構(gòu)圖列寫(xiě)系統(tǒng)傳遞函數(shù) （ 2） A、 c為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型，故可觀測(cè)不可控。 2x 為不可控不可觀測(cè)的狀態(tài)變量。 （ 3）由 A陣對(duì)角化時(shí)的可控可觀測(cè)判據(jù)可知，系統(tǒng)不可控不可觀測(cè)， 21( ) ( )1x s y ss? ?12( ) ( ) [ ( ) ( ) ]y s x s u s x s? ? ?50 再寫(xiě)成向量 矩陣形式的動(dòng)態(tài)方程 buAxuxxxx ???????? ?????????????? ????????1501542121??由狀態(tài)可控性矩陣 S及可觀測(cè)性矩陣 V有 ? ? 5 2 5 ,015S b A b S???? ? ??? ??? 故不可控。 15 ,015T T TV C A C V??????? ? ???????? 故不可觀測(cè)。 由傳遞矩陣 1124 5 5 5 51()1 1 1 4 1455( 1 )1( 1 ) ( 5 )sssI A bss sssss??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ?????? ???? ??51 ? ? ? ?11)5)(1( )1(41 511541)( 21 ??? ???????????????sssssssAsIc兩式均出現(xiàn)零極點(diǎn)對(duì)消，系統(tǒng)不可控、不可觀測(cè)。 本系統(tǒng)原是 不穩(wěn)定系統(tǒng)，含一個(gè)右特征值 , 1??? ?s但如果用對(duì)消后的傳遞函數(shù)來(lái)描述系統(tǒng)時(shí)，會(huì)誤認(rèn)為系統(tǒng)穩(wěn)定。 167。 MIMO 系統(tǒng) )1)(5( ???? ssAsI系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為 二階系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式是二次多項(xiàng)式 ,對(duì)消結(jié)果是二階系統(tǒng)降為一階。 多輸入 多輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣存在零極點(diǎn)對(duì)消時(shí)，系統(tǒng)并非一定是不可控或不可觀測(cè)的， 需要利用傳遞函數(shù)矩陣中的行或列的線性相關(guān)性來(lái)判斷。 52 167。 連續(xù)系統(tǒng)離散化后的可控性與可觀測(cè)性 ? ?1 1 122 2 20 1 0 1001x x xuyx x x?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 2 2 21 1 122 2 2 21si nc os( ) ( )si n c ossttsst L sI A Lsttss??????? ? ???? ? ????????? ????? ? ? ? ????????????? 其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 它是可控標(biāo)準(zhǔn)型，故一定可控。 一個(gè)可控的連續(xù)系統(tǒng)，當(dāng)其離散化后并不一定能保持其可控性； 一個(gè)可觀測(cè)的連續(xù)系統(tǒng)，離散化后并也不一定能保持其可觀測(cè)性。 下面舉例說(shuō)明，設(shè)連續(xù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 : 53 167。 連續(xù)系統(tǒng)離散化后的可控性與可觀測(cè)性 ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( )x k T x k G T u k?? ? ? 其離散化狀態(tài)方程為 ? ????????????????????????????????TTTTTTTTGGSs i nc o ss i n2s i ns i nc o sc o sc o s12222離散化系統(tǒng)的可控性矩陣為 2121 c ossin()c os()() sinsin c osTTxkTukxk TTT??? ???? ? ??????? ???????? ?????? ????? ????當(dāng)采樣周期 ( 1 , 2 , )kTk????時(shí)，可控性矩陣為零陣，系統(tǒng)不可控。 54 故離散化系統(tǒng)的采樣周期選擇不當(dāng)時(shí)，便不能保持原連續(xù)系統(tǒng) 的可控性。 當(dāng)連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程不可控時(shí)，不管采樣周期 T如何選擇， 離散化系統(tǒng)一定是不可控的。 讀者可自行證明：離散后的系統(tǒng)不可觀測(cè)。