【導(dǎo)讀】被控制對象或?qū)ο螬ぉの覀兎Q這些需要控制的工作機(jī)器、裝備為被控制對象或?qū)ο?。輸出量──將表征這些機(jī)器裝備工作狀態(tài)需要加以控制的物理參量，稱為被控制量（輸出量）。擾動量──使輸出量偏離所要求的目標(biāo)，或者說妨礙達(dá)到目標(biāo)，所作用的物理量稱為擾動量?？刂频娜蝿?wù)實際上就是形成控制作用的規(guī)律，使不管是否存在擾動，均能使被控制對象的輸出量滿足給定值的要求。閉環(huán)控制系統(tǒng)中各元件的作用和信號的流通情況，可用結(jié)構(gòu)圖表示。開環(huán)控制系統(tǒng)，因為輸入量與輸出量之間沒有反饋聯(lián)系，所以對干擾所造成的誤差，系統(tǒng)不具備修正能力。開環(huán)控制系統(tǒng)的控制精度，完全由采用高精度元件和有效的抗干擾措施來保證。穩(wěn)定是閉環(huán)控制系統(tǒng)正常工作必要條件。

　　

【正文】 對第二個系統(tǒng) tRRRtxtxtt221 )()()(lim??????? ???? 只要 R2≠ 0， t→∞時ε (∞ ) →∞ 由上面計算可以看出，靜態(tài)誤差系數(shù)相 同的兩個系統(tǒng)，可能具有不同的動態(tài)誤差系數(shù)。但是對同一系統(tǒng)，無論采用那種方法計算穩(wěn)態(tài)誤差其結(jié)果都是相同的。 四 、 減小穩(wěn)態(tài)誤差的方法 在控制系統(tǒng)設(shè)計和實現(xiàn)時，都要根據(jù)實際工作需要對系統(tǒng)提出穩(wěn)態(tài)誤差的要求，如何保證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差不超過要求值，可采用以下幾種方法減小穩(wěn)態(tài)誤差。 (1) 增大系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。 (2) 增加積分環(huán)節(jié) 除上述方法外，可以采用補償?shù)姆椒ā? 第 四 章 根軌跡法 教學(xué)內(nèi)容 ：根軌跡的基本概念，根軌跡的繪制法則，用根軌跡法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性。 教學(xué)要求： 熟練掌握：根軌跡的繪制方法， 用根軌跡法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性。 掌握：參數(shù)根軌跡的繪制 了解：通過時域分析和根軌跡的學(xué)習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一步明確，對于線性系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根（極點）的位置，是決定一個控制系統(tǒng)性能好壞的決定性因素。通過本章的學(xué)習(xí)，要結(jié)合時域分析的有關(guān)結(jié)論，做到知識的融會貫通。 課程精講： 一、根軌跡的基本概念 （一） 根軌跡概念： 閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能與閉環(huán)極點在 s 平面上的位置密切相關(guān) ， 系統(tǒng)的閉環(huán)極點也就是特征方程式的根 。 當(dāng)系統(tǒng)的某一個或某些參量變化時 ,特征方程的根在 s平面上運動的軌跡稱為根軌跡 . 根軌跡法 ： 直接由開環(huán)傳遞函 數(shù)求取閉環(huán)特征根的方法 。 例： 設(shè)控制系統(tǒng)如圖 41 所示 ? ? ? ? ?? ss KsG ? ? ? ?222 0???? ss Kss K , 開環(huán)極點： 01?p , 22 ??p ? ? ? ?? ?0202 Kss KsR sCs ????? ；式中 KK 20? 此系統(tǒng)的特征方程式可寫為： ? ? 02,112 1102 KsKsss ?????????? 討論 ： 200 210 ???? ssK ，時， 111 210 ????? ssK ，時， jsjsK ??????? 112 210 ，時， 圖 41 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 圖 310 標(biāo)準(zhǔn)化二階系統(tǒng) R(s) C(s) K s(+1) ?????????? jsjsK 11 210 ，時， 令 k為 0?∞ .可以用解析的方法求出閉環(huán)極點的全部數(shù)值，將這些數(shù)值標(biāo)住在 S 平面上，并連成光滑的粗實線，如圖 42所示。圖上，粗實線就稱為系統(tǒng)的根軌跡。 分析 ： 0K 變化時 ,根軌跡均位于左半 s平面 ,系統(tǒng)恒穩(wěn)定 。 根軌跡有兩條 ,兩個起點 2,0 21 ??? ss 10 0??K 時 。 閉環(huán)特征根為負(fù)實根 ,呈過阻尼狀態(tài) 。 10?K 時 ， 閉環(huán)特征根為一 對重根 ,響應(yīng)為單調(diào)上升的指數(shù)曲線 。 10?K 時 ,閉環(huán)特征根為共軛 復(fù)根 ,響應(yīng)為衰減振蕩 . 的 0K 值求 開環(huán)增益 K 可有根軌跡上對應(yīng)得 . 0K 為可變參量繪制的根軌跡 ,稱 為常規(guī)根軌跡 . （二） 根軌跡的幅值條件和相角條件 設(shè)單閉環(huán)控制系統(tǒng)框圖如圖： 通常有兩種表示形式： A．時間常數(shù)形式： ??????? niimjjsTsKsHsG11)1()1()()(? B 零、極點形式：??????? niimjjpszsKsHsG110)()()()( 則，系統(tǒng)特征方程 : 1+G(s)H(s)=0 ? G(s)H(s)= 1 ? 幅值條件 : |G(s)H(s)|=1 相角條件 : ∟ G(s)H(s)=177。 (2k+1)π , k=0,1,2,? 考慮開環(huán)傳遞函數(shù)一 般形式：??????? niimjjpszsKsHsG110)()()()( ,因此 圖 43 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 圖 310 標(biāo)準(zhǔn)化二階系統(tǒng) R(s) C(s) H(S) G(S) 幅值條件 : 1||||110???????niimjjpszsK 或 ??????? mjjniizspsK110|||| 相角條件 : )()(1 1? ?? ? ?????mjni jj pszs=177。 (2q+1)π , q=0,1,2,? 說明：幅值條件與 K0有關(guān)，而相角條件與 K0無關(guān)。因此，凡能滿足相角條件的點必然滿足幅值條件；而滿足幅值條件的點不一定滿足相角條件！ 因此，繪制根軌跡的一般步驟是： 先找出 S平面上滿足相角條件的點 ，并把它們連成曲線；然后根據(jù)實際需要，用幅值條件確定相關(guān)點對應(yīng)的 K值。 二、 根軌跡的 繪制 規(guī)則 閉環(huán)特征方程： 1)()(110????????niimjjpszsK 上式表明了系統(tǒng)閉環(huán)極點和開環(huán)零、極點的關(guān)系。基于這種關(guān)系，就可以根據(jù)開環(huán)零、極點的分布確定閉環(huán)極點的位置了。 根軌跡是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)零、極點去繪制的。 在下面的討論中，假定所研究的變化是根軌跡增益值 K0，但是當(dāng)可變參數(shù)為系統(tǒng)的其他參數(shù)時，這些基本法則仍然適用。這些基本法則繪出的根軌跡，其相角遵循 1800+2kπ 條件的稱為 1800 根軌跡；其相角遵循 00+2kπ 條件的，稱為00 根軌跡。 規(guī)則 1： （對稱性法則）根軌跡對稱于 S平面的實軸。 規(guī)則 2： 根軌跡的分支數(shù)、根軌跡的起點和終點： 分支數(shù)等于特征方程的階數(shù)，為 n條；根軌從 n 個開環(huán)極點出發(fā)，其中 m 條終于開環(huán)零點， (nm)條終點在無窮遠(yuǎn)處。 ??????? mjjinizspsK110||||, K0=0為根軌跡的起點 s = pi ??????? niimjjpszsK110 ||||1， K0→∞為根軌跡的終點 s = zj 或 s→∞ 規(guī)則 3： 根軌跡在實軸上分布：實軸上某線段右邊的實零點和實極點總數(shù) 為奇數(shù)時 , 這些線段就是根軌跡的部分。 規(guī)則 4： 根軌跡的漸進(jìn)線 nm條趨向無窮遠(yuǎn)的根軌跡可由漸進(jìn)線決定：漸進(jìn)線的傾角為 : ?,2,1,0)12( ?? ??? qmn qa ?? 漸進(jìn)線與實軸的交點為 : 開環(huán)零點數(shù)開環(huán)極點數(shù) 開環(huán)零點的實部之和開環(huán)極點的實部之和 ?????? ? ?? ?mnzpnimj jia 1 1? 例 1：設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ：)22)(3( )2(3)()( 2 ??? ?? ssss sKsHsG,求漸進(jìn)線和與實軸的交點。 解 （ 1）系統(tǒng)的開環(huán)極點為 0，－ 3， (－ 1＋ j)和 (－ 1－ j),它們是根軌跡上各分支的起點。共有四條根軌跡分支。有一條根軌跡分支終止在有 限開環(huán)零點－ 2，其它三條根軌跡分支將趨向于無窮遠(yuǎn)處。 （ 2）確定根軌跡的漸近線 漸近線的傾斜角為 14 180)12()12( ? ??????? qmnqa ?? 取式中的 q=0， 1， 2，得 φ a=π /3， π ， 5π /3，或177。 60176。及－ 180176。 。 漸近線與實軸的交點為 114 )2()1130(1 11 ??? ?????????????? ??? ?? ?? jjzpmn mi inj ja? 規(guī)則 5： 根軌跡的分離點、會合點、分離角：兩條以上根軌跡的交點。 分離點和會合點必須滿足方程 00 ?dsdK 必要 條件 分離角 根軌跡離開重極點處的切線與實軸正方向的夾角 分離角 = rq ?)12( ? ， r為重根數(shù)， q=0,1,2? 例 2： 已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為)164)(1( )1()()( 20 ??? ?? ssss sKsHsG，確定根軌跡的分離點。 解 ：系統(tǒng)的特征方程式為： 0)1()164)(1( 02 ?????? sKssss 即： 1 )164)(1( 20 ? ????? s ssssK 利用 0/0 ?dsdK ,則有 ： 0)1( 162421103 22340 ?? ?????? s ssssdsdK 解之可得 ，分離點 d1= 和 d2=－ 。 規(guī)則 6： 根軌跡的出射角和入射角： 出射角 ： 從復(fù)數(shù)極點出發(fā)的角度。入射角 ： 到達(dá)復(fù)數(shù)零點的角度。 由相角條件 : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，， 2101243211 ????????????????? qqpspspspszs iiiii ? 4psi ? 時，則： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1434241444 12 zpppppppqps ip ????????????????? ?? 一般情況，出射角： ? ? ? ?????????????????? ?????nkiiikmjjkpk ppzp11?? 同理，入射角： ? ? ? ?????????????????? ?????niikmkjjjkzk pzzz11?? 規(guī)則 7： 根軌跡與虛 軸的交點 兩種方法 : (1)用勞斯判據(jù)求 (2)將 ?js? 帶入特征方程求解 例 3： 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：)2)(1( 2)()( ??? sss KsHsG，試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。 解 根據(jù)繪制根軌跡的法則，先確定根軌跡上的一些特殊點，然后繪制其根軌跡圖。 （ 1）系統(tǒng)的開環(huán)極點為 0 ， 1? ， 2? 是根軌跡各分支的起點 。由于系統(tǒng)沒有有限開環(huán)零點，三條根軌跡分支均趨向于無窮遠(yuǎn)處。 （ 2）系統(tǒng)的根軌跡有 3??mn 條漸進(jìn)線 漸進(jìn)線的傾斜角為 03 18 0)12()12( ? ??????? qmnqa ?? 取式中的 q=0， 1， 2，得 φ a=π /3， π ， 5π /3。 漸進(jìn)線與實軸的交點為： 13 )210(1 11 ??????????? ??? ?? ??mi inj ja zpmn? （ 3）實軸上的根軌跡位于原點與－ 1點之間以及－ 2點的左邊，如圖的粗實線所示。 （ 4）確定分離點： 系統(tǒng)的特征方程式為： 0223 23 ???? Ksss 即： )23(21 23 sssK ???? 利用 0/ ?dsdK ，則有： 0)26(21 23 ????? ssdsdK 解得： ??s 和 ??s 由于在 － 1到 － 2 之間的實軸上沒有根軌跡，故 s2=－ 顯然不是所要求的分離點。因此，兩個極點之間的分離點應(yīng)為 s1=－ 。 （ 5）確定根軌跡與虛軸的交點 方法一 利用勞斯判據(jù) 確定 勞斯行列表為 3s 1 2 2s 3 2K 1s 326 K? 0 0s 2K 由勞斯判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定時 K 的極限值為 3。相應(yīng)于 K=3的頻率可由輔助方程 06323 22 ???? sKs 確定。 解之得根軌跡與虛軸的交點為 2js ?? 。根軌跡與虛軸交點處的頻率為 ????? 方法二 令 ?js? 代入特征方程式，可得： 02)(2)(3)( 23 ???? Kjjj ??? 即： 0)2()32( 22 ???? ??? jK 令上述方程中的實部和虛部分別等于零，即： 032 2 ?? ?K ， 02 2 ???? 所以 ： 2??? 3?K 系統(tǒng)的根軌跡如圖所示： 規(guī)則 8： 閉環(huán)極點的和與積 . 系統(tǒng)特征方程 (nm 時 )為 閉環(huán)極點的和： ? ?開環(huán)極點之和和 ???ni ip1 閉環(huán)極點的積： ? ? ? ????? ??mj ini i zKp 101積 可利用此性質(zhì)判閉環(huán)極點 is 的分布情況 。 一些 is 變化后 ,另一些 is 會做相反變化 。 例 4：在例 3中， 確定根軌跡各分支上每一點的 K 值 根據(jù)繪制根軌跡