【正文】 由上式可知，當(dāng) |G1(s)G2(s)H(s)|1 和 |G1(s)H(s)|1 時(shí)，Φ N(s)≈ 0，這意味著擾動(dòng) N(s)的影響被抑制掉了。這是閉環(huán)系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)之一。此外，當(dāng) |G1(s)G2(s)H(s)|1時(shí) ,)(1)( sHsR ??, 即Φ R與前向通路的傳遞函數(shù) G1(s)G2(s)無關(guān)，只與反饋通路的傳遞函數(shù) H(s)成反比。這是閉環(huán)系統(tǒng)的另一優(yōu)點(diǎn)。 （ 4）系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù) 以誤差信號 E(s)為輸出、以給定量 R(s)或干擾量 N(s)為輸入量的閉環(huán)傳遞函數(shù)稱為系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。 在 R(s)作用下的誤差傳遞函數(shù) 設(shè) N(s)＝ 0，再用反饋運(yùn)算法則得誤差傳遞函數(shù)為 )()()(1 1)( )( 21 sHsGsGsR sE R ?? 上式對于反饋系統(tǒng)的誤差分 析是非常重要的。 在 N(s)作用下的誤差傳遞函數(shù) 設(shè) R(s)＝ 0，再根據(jù)正饋運(yùn)算法則得誤差傳遞函數(shù)為 )()()(1 )()()( )( 21 2 sHsGsG sHsGsN sE N ? ?? 在 R(s)和 N(s)同時(shí)作用下的合成誤差 ，可應(yīng)用疊加原理求得，即 E(s)=ER(s)+EN(s) 以上各式中，當(dāng) H(s)=1時(shí)，就得到單位反饋系統(tǒng)的各種傳遞函數(shù)。 繪制系統(tǒng)方框圖的步驟 1．首先按照系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和工作原理，分解出各環(huán)節(jié)； 2．列寫系統(tǒng)各組成 環(huán)節(jié)的運(yùn)動(dòng)方程，并進(jìn)行線性化； 3．求初始條件皆為零時(shí)的各組成環(huán)節(jié)的拉氏變換式； 4．分別以方框圖的形式表達(dá)各環(huán)節(jié)的拉氏變換式； 5．將各環(huán)節(jié)的方框圖中的相同變量用箭頭聯(lián)接起來，便構(gòu)成系統(tǒng)的總方框圖。 第 3 章 輔導(dǎo) 好文檔 ,好知識(shí) 23 控制系統(tǒng)典型的輸入信號 1. 階躍函數(shù) 階躍函數(shù)的定義是 ???? ??0 ,00 ,)(ttAr tx 式中 A 為常數(shù)。 A 等于 1 的階躍函數(shù)稱為單位階躍函數(shù)，如圖所示。它表示為 xr(t)＝ l(t)，或 xr(t)=u(t) 單位階躍函數(shù)的拉氏變換為 Xr(s)=L[1(t)]=1/s 在 t＝ 0 處的階躍信號，相當(dāng)于一個(gè)不變的信號突然加到系統(tǒng)上；對于恒值系統(tǒng)，相當(dāng)于給定值突然變化或者突然變化的擾動(dòng)量；對于隨動(dòng)系統(tǒng)，相當(dāng)于加一突變的給定位置信號。 2. 斜坡函數(shù) 這種函數(shù)的定義是 ????? ???0 ,00 , )(tttAtxr 式中 A 為常數(shù)。該函數(shù)的拉氏變換是 Xr(s)=L[At]=A/s2 這種函數(shù)相當(dāng)于隨動(dòng)系統(tǒng)中加入一按恒速變化的位置信號，該恒速度為 A。當(dāng) A＝ l時(shí)，稱為單位斜坡函數(shù)，如圖所示。 3. 拋物線函數(shù) 如圖 所示，這種函數(shù)的定義是 ????? ???0 ,00 , t)( 2ttAtxr 好文檔 ,好知識(shí) 24 式中 A 為常數(shù)。這種函數(shù)相當(dāng)于隨動(dòng)系統(tǒng)中加入一按照恒加速變化的位置信號，該恒加速度為 A。拋物線函數(shù)的拉氏變換是 Xr(s)=L[At2]=2A/s3 當(dāng) A＝ 1/2 時(shí)，稱為單位拋物線函數(shù)，即 Xr(s)=1/s3。 4. 脈沖函數(shù) 這種函數(shù)的定義是 ??????? ???????0)( 0 ,)0( ,0 ,0)(?????tAtttx r 式中 A 為常數(shù)， ε 為趨于零的正數(shù)。脈沖函數(shù)的拉氏變換是 AALsX r ???????? ? ??lim0)( 當(dāng) A＝ 1，ε→ 0 時(shí)，稱為單位脈沖函數(shù)δ (t)，如圖 所示。單位脈沖函數(shù)的面積等于 l，即 ???? ?1)( dtt? 在 t＝ t0處的單位脈沖函數(shù)用δ (tt0)來表示，它滿足如下條件 幅值為無窮大、持續(xù)時(shí)間為零的脈沖純屬數(shù)學(xué)上的假設(shè)，但在系統(tǒng)分析中卻很有用處。單位脈沖函數(shù)δ (t)可認(rèn)為是在間斷點(diǎn)上單位階躍函數(shù)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，即 反之，單位脈沖函數(shù)δ (t)的積分就是單位階躍函數(shù)。 控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo) 對控制系統(tǒng)的一般要求歸納為穩(wěn) 、準(zhǔn)、快。工程上 為了定量評價(jià)系統(tǒng)性能好壞，必須給出控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)的準(zhǔn)確定義和定量計(jì)算方法。 好文檔 ,好知識(shí) 25 1 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)通常有如下幾項(xiàng)： 延遲時(shí)間 dt 階躍響應(yīng)第一次達(dá)到終值 )(?h 的 50％ 所需的時(shí)間。 上升時(shí)間 rt 階躍響應(yīng)從終值的 10％上升到 終值的 90％ 所需的時(shí)間；對有振蕩的系統(tǒng)，也可定義為從 0 到第一次達(dá)到終值所需的時(shí)間。 峰值時(shí)間 pt 階躍響應(yīng)越過穩(wěn)態(tài)值 )(?h 達(dá)到第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。 調(diào)節(jié)時(shí)間 st 階 躍響到達(dá)并保持在終值 )(?h 5? ％ 誤差帶內(nèi)所需的最短時(shí)間； 有時(shí)也用終值的 2? ％誤差 帶 來定義調(diào)節(jié)時(shí)間。 超調(diào)量 ? ％ 峰值 )(pth 超出終值 )(?h 的百分比，即 ? ％ 100)( )()( ?? ??? h hth p％ 在上述動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)中，工程上最常用的是調(diào)節(jié)時(shí)間 st （描述“快”），超調(diào)量 ? ％ （描述“勻”）以及峰值時(shí)間 pt 。 2 穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo) 穩(wěn)態(tài)誤差是時(shí)間趨于無窮時(shí)系統(tǒng)實(shí)際輸出與理想輸出之間的誤差，是系統(tǒng)控制精度或抗干擾能力的一種度量。穩(wěn)態(tài)誤差有不同定義，通常在典型輸入下進(jìn)行測定或計(jì)算。 一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 一 . 一階系統(tǒng)的數(shù) 學(xué)模型 由一階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。一些控制元部件及簡單系統(tǒng)如 RC 網(wǎng)絡(luò)、發(fā)電機(jī)、空氣加熱器、液面控制系統(tǒng)等都是一階系統(tǒng)。 因?yàn)閱挝浑A躍函數(shù)的拉氏變換為 R(s)=1/s，故輸出的拉氏變換式為 11111)()()( ????????? Ts TssTssRssC 取 C(s)的拉氏反變換得 tTec(t) 11 ??? 或?qū)懗? ttss ccc(t) ?? 式中， css=1，代表穩(wěn)態(tài)分量； tTtt ec 1??? 代表暫態(tài)分量。當(dāng)時(shí)間 t 趨于無窮，暫態(tài)分量衰減為零。顯然，一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是一條由零開始，按指數(shù)規(guī)律上升并最終趨于 1 的曲線，如圖所示。響應(yīng)曲線具有非振蕩特征，故又稱為非周期響應(yīng)。 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 好文檔 ,好知識(shí) 26 二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 典型二階系統(tǒng)方框圖，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為： ? ? ? ?? ? vm vmv mv KssT KsTsK sTsKsR sCs ????? ???? 2)1(/1 )1(/ 22 22 nnn ss ???? ??? 式中 Kv開環(huán)增益； ω n無阻尼自然 頻率或固有頻率，mvn TK?? ； ζ 阻尼比，mnT?? 21? 。 二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 s2+2ζω ns+ω 2n=0 其特征根為 ns ??? ?????? ???? 122,1 1. 臨界阻尼 (ζ =1) 其時(shí)域響應(yīng)為 ? ? )1(1 tetc ntn ?? ??? ? 上式包含一個(gè)衰減指數(shù)項(xiàng)。 c(t)為一無超調(diào)的單調(diào)上升曲線，如圖 38b 所示。 (a) (b) (c) ζ ≥ 1 時(shí)二階系統(tǒng)的特征根的分布與單位階躍響應(yīng) 2. 過阻尼 (ζ＞ 1) 具有兩個(gè)不同負(fù)實(shí)根 ])1(,[ 221 nss ??? ???? 的慣性環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)拉氏變換式。其時(shí)域響應(yīng)必然包含二個(gè)衰減的指數(shù)項(xiàng)，其動(dòng)態(tài)過程呈現(xiàn)非周期性，沒有超調(diào)和振蕩。圖為其特征根分布圖。 好文檔 ,好知識(shí) 27 3. 欠阻尼（ 0ζ＜ 1） 圖 39 0ζ＜ 1 時(shí)二階系統(tǒng)特征根的分布 圖 310 欠阻尼時(shí)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 4. 無阻尼 (ζ＝ 0) ? ? )( 22 2 nnsssC ???? 其時(shí)域響應(yīng)為 ? ? ttc n?cos1?? 在這種情況下，系統(tǒng)的響應(yīng)為等幅 (不衰減 )振蕩， 圖ζ＝ 0 時(shí)特征根的分布 圖ζ＝ 0 時(shí)二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 5. 負(fù)阻尼（ζ＜ 0） 當(dāng)ζ＜ 0 時(shí)，特征根將位于復(fù)平面的虛軸之右，其時(shí)域響應(yīng)中的 e 的指數(shù)將是正的時(shí)間函數(shù)，因而 tne??? 為發(fā)散的，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 顯然，ζ≤ 0 時(shí)的二階系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的，而在ζ ≥ 1 時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的速度又太慢，所以對二階系統(tǒng)而言，欠阻尼情況是最有實(shí)際意義的。下面討論這種情況下的二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。 欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài) 性能指標(biāo) 1. 上升時(shí)間 tr 上升時(shí)間 tr 是指瞬態(tài)響應(yīng)第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間。 21 ????? ?? ?????ndrt 由此式可見，阻尼比ζ越小，上升時(shí)間 tr 則越小 ； ζ越大則 tr 越大。固有頻率ω n越大， tr 越小，反之則 tr 越大。 好文檔 ,好知識(shí) 28 2. 峰值時(shí)間 tp及最大超調(diào)量 Mp 21 ????? ???ndpt 最大超調(diào)量 ??? )1/(m a x 2)( ?????? eccM p 最大超調(diào)百分?jǐn)?shù) %100.)( )(% )1/(m a x 2 ???? ???? ??? ec ccc 3. 調(diào)整時(shí)間 ts 4)]1l n (214[1%)2( 3)]1l n (213[1%)5(22????????????????????????，nnsnnstt 圖 313 二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的一對包絡(luò)線 圖 314 調(diào)節(jié)時(shí)間和阻尼比的近似關(guān)系 根據(jù)以上分析，二階振蕩系統(tǒng)特征參數(shù)ζ和ω n與瞬態(tài)性能指標(biāo) (δ 4. 振蕩次數(shù) μ 在調(diào)整時(shí)問 ts之內(nèi)，輸出 c(t)波動(dòng)的次數(shù)稱為振蕩次數(shù) μ，顯然 fstt?? 式中 2122 ?? ??? ???ndft ， 稱為阻尼振蕩的周期時(shí)間。 ? ? 122 122 ??? TSSTs? 這一系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)瞬態(tài)特性指標(biāo)為： 最大超調(diào)百分?jǐn)?shù) %%100)1/(% 2 ??? ?? ???? e 上升時(shí)間 Ttnr 2 ???? ?? ?? 調(diào)整時(shí)間 ? ? Tts %2 ? (用近似式求得為 8T) ? ? Tts %5 ? (用近似式求得為 6T) 好文檔 ,好知識(shí) 29 有一位置隨動(dòng)系統(tǒng)其中 Kk＝ 4。求該系統(tǒng)的 (１ )固有頻率； (2)阻尼比； (3)超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間； (4)如果要求實(shí)現(xiàn)工程最佳參數(shù)ζ＝ l／ 2 ，開環(huán)放大系數(shù)k 值應(yīng)是多少？ 【解】系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ? ?kk Kss Ks ??? 2? 4?kK 與二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式的傳遞函數(shù) ? ? 22 22nnn sss ????? ??? 對比得： (1) 固有頻率 24 ??? kn K? (2) 阻尼比 由 12 ?n?? 得 21 ?? n?? (3) 超調(diào) ? ? %47%1 0 0% )1/( 2 ??? ?? ne ??? (4) 調(diào)整時(shí)間 ? ? stns 63%5 ?? ?? 當(dāng)要求21??時(shí)，由 12 ?n?? 得 ,21 2 ??? nkn K ?? 可見該系統(tǒng)要滿足工程最佳參數(shù)的要求，須降低開環(huán)放大系數(shù) kK 的值。但是，降低 kK 值將增大系統(tǒng)的誤差。 勞斯穩(wěn)定判據(jù) 將系統(tǒng)的特征方程式寫成如下標(biāo)準(zhǔn)式 0122110 ?????? ??? nnnnn asasasasa ?? 將各系數(shù)組成如下排列的勞斯表 1112124321343212