現(xiàn)代控制工程基礎-講(文件)
【正文】 ◆ kA=(kaij)， 即常數(shù)與矩陣的乘積是一個矩陣，其元素是常數(shù)與原 矩陣中所有元素的乘積。,1()(1mjnibacCABplljilij ?? ????? ??◆ 矩陣的乘法：矩陣相乘只有前一矩陣的列數(shù)與后一矩陣的行數(shù)相同時才有意義，即 矩陣乘法適用于結合律和分配律： (AB)C=A(BC) (A+B)C=AC+BC。 BT， (AB)T=BTAT， (AT)T=A 現(xiàn) 代 控 制 工 程 基 礎 ◆對于方陣 A，若 |A|≠0， 則 A1存在，且有 A1=adjA/|A| 例： ??????????????301213021A 017301213021d e t ??????A?????????????????????????????????????????????????????????????????7212374631321)1(2301)1(2102)1(0121)1(3101)1(3002)1(0113)1(3123)1(3021)1(332313322212312111Ta d j AIAa d j AA ??????????????????????????????????????????????????10001000117170001700017721237463301213021)(?????????????????7212374631711Aa d j AA (A1)1=A， (A1)T=(AT)1 現(xiàn) 代 控 制 工 程 基 礎 三、矩陣變換 ◆矩陣 A的下列變換，稱為 A的初等變換 ： (1) A的任意兩行或兩列互換； (2)用非 零數(shù)乘 A的一行或一列； (3)用一個數(shù)乘 A的一行 (一列 )加到另一行 (另一列 )上。用滿秩矩陣左 (或右 )乘 矩陣 A就等價于對矩陣 A作有限次的行 (或列 )初等變換。 ◆如果存在可逆矩陣 P，使得 P1AP=B，則矩陣 A與矩陣 B相似，記為 A~B。 如果 n階矩陣 A中包含有相同的特征值，就必存在滿秩矩陣 P使 P1AP成為約當標準 型矩陣。 矩陣 A稱為方程組的系數(shù)矩陣，矩陣B=[A C]稱為方程組的增廣矩陣。 現(xiàn) 代 控 制 工 程 基 礎 例：求 x+2y+3z=1平面上距離坐標原點最短的點的坐標和最短距離的大小。 ????????? dt tdadt tdA ij )()(? ??? ? dttadttA ij )()(TndxXfdxXfdxXfdXXdf ?????? ???? )()()()(21?mnijaAfdAAdf???????????? )()(現(xiàn) 代 控 制 工 程 基 礎 ◆向量 Z(X)=[z1(X) z2(X) ? zn(X)]T對向量 X=[x1 ? xm]T的微分 顯然，有 和 ◆標量 復合函數(shù) f(Y(X(t)),X(t),t)的微分，其中 Y(X(t))和 X(t)是向量， t是標量 ◆向量 復合函數(shù) Z(Y(X(t)),X(t),t)的微分，其中 Y(X(t))和 X(t)也是向量， t是標量 nmmnmnTmnmnnmdxdzdxdzdxdzdxdzdXXdZordxdzdxdzdxdzdxdzdXXdZ??????????????????????????????????????????11111111)()(TTdXXdZdXXdZ ????????? )()(tZdtdXXZtYdtdXXYYZdtdZXZXYYZdXdZ????????? ???????????????????? ???????? ?????????????? ???tftYYfdtdXYfXYXfdtdfXfYfXYdXdf TTTT??????????????????????????????????????????????????????現(xiàn) 代 控 制 工 程 基 礎 ?????? ??? IdXdXdXdXdXdZdXdZdX XdZdX XdZ TTTT ,)()( ?◆兩矩陣和的微分 (t為標量 ) ◆兩矩陣乘積的微分 (t為標量 ) ◆標量函數(shù) α(t)與矩陣 A(t)乘積的微分 (t為標量 ) ◆逆矩陣 A1(t)的微分 )()()()( 111 tAdt tdAtAdt tdA ??? ??dt tdBdt tdAtBtAdtd )()())()(( ???dt tdBtAtBdt tdAtBtAdtd )()()()())()(( ??))()(()())(())()(( dt tdAttAdt tdtAtdtd ??? ??現(xiàn) 代 控 制 工 程 基 礎 。)、 Φ2( ◆當 C=0，即齊次方程組 AX=0有非零解的充分必要條件是 rank(A)n。將 n個特征向量構成的矩陣 P稱為 特征 矩陣 ，且滿足 P1AP=Λ=diag(λ1 λ2 ? λn)，或為 PΛ=AP。對應的代數(shù)方程 |sIA|=0就稱為矩陣 A的 特征方程 ， 其根稱為矩陣 A的 特征值 。這說明：一個矩陣 A乘以一個滿秩矩陣后得到的 矩陣與矩陣 A的秩相同。 ◆滿秩矩陣可以由同型的單位矩陣經(jīng)過有限次的初等變換得到 。 ◆矩陣的代數(shù)和與乘積的轉置： (A177。矩陣的秩是矩陣中線性獨立行 (列 )向量數(shù)目的最大 值。 B=(aij177。 正交矩陣： 若方陣 A滿足 AAT=ATA=I(單位矩陣 )，則稱方陣 A是正交矩陣。 對稱矩陣： 如果方陣滿足 A=AT，則稱方陣 A為對稱矩陣。 ◆兩個 nⅹ n矩陣 A、 B相乘的行列式等于各自行列式的乘積。即 因
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