數(shù)學(xué)新課標(biāo)初高中銜接教材(教師版)-資料下載頁(yè)
2025-08-23 02:02本頁(yè)面
【正文】 說(shuō)明：在本例中，利用了分類討論的方法，對(duì)a的所有可能情形進(jìn)行討論．此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實(shí)數(shù)，而是取部分實(shí)數(shù)來(lái)研究，在解決這一類問(wèn)題時(shí)，通常需要借助于函數(shù)圖象來(lái)直觀地解決問(wèn)題．【例5】當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值。 見(jiàn)書(shū)P51例2練習(xí)：求二次函數(shù)的圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大（?。┲?。當(dāng) 取時(shí)的函數(shù)值分別是，試比較的大小。當(dāng)自變量在下列范圍內(nèi)取值時(shí)，求函數(shù)的最值。 （1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值。已知，求函數(shù)的最小值。求函數(shù)的最大值和最小值。求函數(shù)的最大值或最小值。 求在區(qū)間上的最大值和最小值。答案：開(kāi)口向上，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，（1）5，3；（2）0，4；（3）0，4； 略； 略 5； 時(shí)，無(wú)最小值；（1） （2） （3） （4） （5） 二次函數(shù)的三種表示方式通過(guò)上一小節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．頂點(diǎn)式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中頂點(diǎn)坐標(biāo)是(－h(huán)，k)．除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來(lái)表示．為了研究另一種表示方式，我們先來(lái)研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)．當(dāng)拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸相交時(shí)，其函數(shù)值為零，于是有ax2＋bx＋c＝0． ① 并且方程①的解就是拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（縱坐標(biāo)為零），于是，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程①的解的個(gè)數(shù)有關(guān)，而方程①的解的個(gè)數(shù)又與方程①的根的判別式Δ＝b2－4ac有關(guān)，由此可知，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的判別式Δ＝b2－4ac存在下列關(guān)系：（1）當(dāng)Δ＞0時(shí)，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則Δ＞0也成立．（2）當(dāng)Δ＝0時(shí)，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)（拋物線的頂點(diǎn)）；反過(guò)來(lái)，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，則Δ＝0也成立．（3）當(dāng)Δ＜0時(shí)，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則Δ＜0也成立．于是，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，所以x1＋x2＝，x1x2＝，即 ＝－(x1＋x 2)， ＝x1x2． 所以，y＝ax2＋bx＋c＝a() = a[x2－(x1＋x 2)x＋x1x2] ＝a(x－x1) (x－x2)． 由上面的推導(dǎo)過(guò)程可以得到下面結(jié)論： 若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點(diǎn)，則其函數(shù)關(guān)系式可以表示為y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)． 這樣，也就得到了表示二次函數(shù)的第三種方法：3．交點(diǎn)式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．今后，在求二次函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式這三種表達(dá)形式中的某一形式來(lái)解題． 【例1】 已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點(diǎn)在直線y＝x＋1上，并且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，－1），求二次函數(shù)的解析式．分析：在解本例時(shí)，要充分利用題目中所給出的條件——最大值、頂點(diǎn)位置，從而可以將二次函數(shù)設(shè)成頂點(diǎn)式，再由函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)來(lái)求解出系數(shù)a．解：∵二次函數(shù)的最大值為2，而最大值一定是其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2．又頂點(diǎn)在直線y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2）．設(shè)該二次函數(shù)的解析式為，∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，－1），∴，解得a＝－2．∴二次函數(shù)的解析式為，即y＝－2x2＋8x－7．說(shuō)明：在解題時(shí)，由最大值確定出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)的位置求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，最終解決了問(wèn)題．因此，在解題時(shí)，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題．【例2】 已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2，求此二次函數(shù)的表達(dá)式．分析一：由于題目所給的條件中，二次函數(shù)的圖象所過(guò)的兩點(diǎn)實(shí)際上就是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，于是可以將函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成交點(diǎn)式．解法一：∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，∴可設(shè)二次函數(shù)為y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，展開(kāi)，得 y＝ax2＋2ax－3a， 頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ，由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離2，∴|－4a|＝2，即a＝．所以，二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝，或y＝－． 分析二：由于二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，所以，對(duì)稱軸為直線x＝－1，又由頂點(diǎn)到x軸的距離為2，可知頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，或－2，于是，又可以將二次函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成頂點(diǎn)式來(lái)解，然后再利用圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函數(shù)的表達(dá)式． 解法二：∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，∴
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