數(shù)學新課標初高中銜接教材(教師版)-資料下載頁
2025-08-23 02:02本頁面
【正文】 說明：在本例中，利用了分類討論的方法，對a的所有可能情形進行討論．此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實數(shù)，而是取部分實數(shù)來研究，在解決這一類問題時，通常需要借助于函數(shù)圖象來直觀地解決問題．【例5】當時，求函數(shù)的最小值。 見書P51例2練習：求二次函數(shù)的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大（?。┲?。當 取時的函數(shù)值分別是，試比較的大小。當自變量在下列范圍內(nèi)取值時，求函數(shù)的最值。 （1）；（2）；（3）當時，求函數(shù)的最大值。已知，求函數(shù)的最小值。求函數(shù)的最大值和最小值。求函數(shù)的最大值或最小值。 求在區(qū)間上的最大值和最小值。答案：開口向上，對稱軸，頂點坐標，（1）5，3；（2）0，4；（3）0，4； 略； 略 5； 時，無最小值；（1） （2） （3） （4） （5） 二次函數(shù)的三種表示方式通過上一小節(jié)的學習，我們知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．頂點式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中頂點坐標是(－h(huán)，k)．除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來表示．為了研究另一種表示方式，我們先來研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交點個數(shù)．當拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸相交時，其函數(shù)值為零，于是有ax2＋bx＋c＝0． ① 并且方程①的解就是拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點的橫坐標（縱坐標為零），于是，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點個數(shù)與方程①的解的個數(shù)有關(guān)，而方程①的解的個數(shù)又與方程①的根的判別式Δ＝b2－4ac有關(guān)，由此可知，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點個數(shù)與根的判別式Δ＝b2－4ac存在下列關(guān)系：（1）當Δ＞0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個交點；反過來，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個交點，則Δ＞0也成立．（2）當Δ＝0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有一個交點（拋物線的頂點）；反過來，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有一個交點，則Δ＝0也成立．（3）當Δ＜0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸沒有交點；反過來，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸沒有交點，則Δ＜0也成立．于是，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個交點A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，所以x1＋x2＝，x1x2＝，即 ＝－(x1＋x 2)， ＝x1x2． 所以，y＝ax2＋bx＋c＝a() = a[x2－(x1＋x 2)x＋x1x2] ＝a(x－x1) (x－x2)． 由上面的推導過程可以得到下面結(jié)論： 若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點，則其函數(shù)關(guān)系式可以表示為y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)． 這樣，也就得到了表示二次函數(shù)的第三種方法：3．交點式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標．今后，在求二次函數(shù)的表達式時，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一般式、頂點式、交點式這三種表達形式中的某一形式來解題． 【例1】 已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點在直線y＝x＋1上，并且圖象經(jīng)過點（3，－1），求二次函數(shù)的解析式．分析：在解本例時，要充分利用題目中所給出的條件——最大值、頂點位置，從而可以將二次函數(shù)設成頂點式，再由函數(shù)圖象過定點來求解出系數(shù)a．解：∵二次函數(shù)的最大值為2，而最大值一定是其頂點的縱坐標，∴頂點的縱坐標為2．又頂點在直線y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴頂點坐標是（1，2）．設該二次函數(shù)的解析式為，∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（3，－1），∴，解得a＝－2．∴二次函數(shù)的解析式為，即y＝－2x2＋8x－7．說明：在解題時，由最大值確定出頂點的縱坐標，再利用頂點的位置求出頂點坐標，然后設出二次函數(shù)的頂點式，最終解決了問題．因此，在解題時，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡捷地解決問題．【例2】 已知二次函數(shù)的圖象過點(－3，0)，(1，0)，且頂點到x軸的距離等于2，求此二次函數(shù)的表達式．分析一：由于題目所給的條件中，二次函數(shù)的圖象所過的兩點實際上就是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標，于是可以將函數(shù)的表達式設成交點式．解法一：∵二次函數(shù)的圖象過點(－3，0)，(1，0)，∴可設二次函數(shù)為y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，展開，得 y＝ax2＋2ax－3a， 頂點的縱坐標為 ，由于二次函數(shù)圖象的頂點到x軸的距離2，∴|－4a|＝2，即a＝．所以，二次函數(shù)的表達式為y＝，或y＝－． 分析二：由于二次函數(shù)的圖象過點(－3，0)，(1，0)，所以，對稱軸為直線x＝－1，又由頂點到x軸的距離為2，可知頂點的縱坐標為2，或－2，于是，又可以將二次函數(shù)的表達式設成頂點式來解，然后再利用圖象過點(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函數(shù)的表達式． 解法二：∵二次函數(shù)的圖象過點(－3，0)，(1，0)，∴
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