數(shù)學(xué)新課標(biāo)初高中銜接教材(教師版)-免費(fèi)閱讀
【正文】 求函數(shù)的最大值和最小值。. 乘法公式我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 ．我們還可以通過(guò)證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三數(shù)和平方公式 ；（4）兩數(shù)和立方公式 ；（5）兩數(shù)差立方公式 ．對(duì)上面列出的五個(gè)公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明．【例1】 計(jì)算：．解法一：原式= = =．解法二：原式= = =．【例2】 已知，求的值．解： ． 練習(xí)：已知，求的值．解： 原式=已知，求的值．解： 原式= ① ②，把②代入①得原式=說(shuō)明：注意字母的整體代換技巧的應(yīng)用．. 因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法．一、公式法【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多項(xiàng)式： (1) (2) 分析： (1)中，(2)中．解：(1) (2) 說(shuō)明：(1) 在運(yùn)用立方和(差)公式分解因式時(shí)，經(jīng)常要逆用冪的運(yùn)算法則，如，這里逆用了法則；(2) 在運(yùn)用立方和(差)公式分解因式時(shí)，一定要看準(zhǔn)因式中各項(xiàng)的符號(hào)．二、分組分解法從前面可以看出，能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項(xiàng)式，主要是二項(xiàng)式和三項(xiàng)式．而對(duì)于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，如既沒(méi)有公式可用，也沒(méi)有公因式可以提?。虼?，可以先將多項(xiàng)式分組處理．這種利用分組來(lái)因式分解的方法叫做分組分解法．分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組． 【例2】把分解因式． 分析：按照原先分組方式，無(wú)公因式可提，需要把括號(hào)打開(kāi)后重新分組，然后再分解因式．解： 說(shuō)明：由例例4可以看出，分組時(shí)運(yùn)用了加法結(jié)合律，而為了合理分組，先運(yùn)用了加法交換律，分組后，為了提公因式，又運(yùn)用了分配律．由此可以看出運(yùn)算律在因式分解中所起的作用． 【例3】把分解因式． 分析：先將系數(shù)2提出后，得到，其中前三項(xiàng)作為一組，它是一個(gè)完全平方式，再和第四項(xiàng)形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式．解： 說(shuō)明：從例例6可以看出：如果一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分組后，各組都能直接運(yùn)用公式或提取公因式進(jìn)行分解，并且各組在分解后，它們之間又能運(yùn)用公式或有公因式，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以分組分解法來(lái)分解因式．三、十字相乘法1．型的因式分解這類(lèi)式子在許多問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是：(1) 二次項(xiàng)系數(shù)是1；(2) 常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；(3) 一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和．因此，運(yùn)用這個(gè)公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式．【例4】 分解因式： （1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3）； （4）． 解：（1）如圖1．2－1，將二次項(xiàng)x2分解成圖中的兩個(gè)x的積，再將常數(shù)項(xiàng)2分解成－1與－2的乘積，而圖中的對(duì)角線上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為－3x，就是x2－3x＋2中的一次項(xiàng)，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．－ay－byxx圖1．2－4－2611圖1．2－3－1－211圖1．2－2－1－2xx圖1．2－1 說(shuō)明：今后在分解與本例類(lèi)似的二次三項(xiàng)式時(shí)，可以直接將圖1．2－1中的兩個(gè)x用1來(lái)表示（如圖1．2－2所示）．（2）由圖1．2－3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．（3）由圖1．2－4，得－11xy圖1．2－5 ＝（4）＝xy＋(x－y)－1＝(x－1) (y+1) （如圖1．2－5所示）．2．關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．若關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是、則二次三項(xiàng)式就可分解為.【例5】 把下列關(guān)于x的二次多項(xiàng)式分解因式：（1）； （2）．解： （1）令=0，則解得， ∴= =．（2）令=0，則解得， ∴=．四、其它因式分解的方法 1．配方法 【例6】分解因式解： 說(shuō)明：這種設(shè)法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項(xiàng)式化為兩個(gè)平方式，然后用平方差公式分解．當(dāng)然，本題還有其它方法，請(qǐng)大家試驗(yàn)．2．拆、添項(xiàng)法 【例7】分解因式 分析：此多項(xiàng)式顯然不能直接提取公因式或運(yùn)用公式，分組也不易進(jìn)行．細(xì)查式中無(wú)一次項(xiàng)，如果它能分解成幾個(gè)因式的積，那么進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，必是把一次項(xiàng)系數(shù)合并為0了，可考慮通過(guò)添項(xiàng)或拆項(xiàng)解決．解： 說(shuō)明：本解法把原常數(shù)4拆成1與3的和，將多項(xiàng)式分成兩組，滿(mǎn)足系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例，造成可以用公式法及提取公因式的條件．本題還可以將拆成，將多項(xiàng)式分成兩組和．一般地，把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解，可以按照下列步驟進(jìn)行：(1) 如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，那么可以嘗試運(yùn)用公式來(lái)分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組或其它方法(如十字相乘法)來(lái)分解；(4) 分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止
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