屆數(shù)學32導數(shù)的應用(一)-資料下載頁
2025-08-17 10:48本頁面
【正文】 三、解答題7． (13分)(2012江西)已知函數(shù)f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex在[0,1]上單調遞減且滿足f(0)＝1，f(1)＝0.(1)求a的取值范圍；(2)設g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值．解 (1)由f(0)＝1，f(1)＝0，得c＝1，a＋b＝－1，則f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]ex，依題意需對任意x∈(0,1)，有f′(x)0.當a0時，因為二次函數(shù)y＝ax2＋(a－1)x－a的圖象開口向上，而f′(0)＝－a0，所以需f′(1)＝(a－1)e0，即0a1.當a＝1時，對任意x∈(0,1)有f′(x)＝(x2－1)ex0，f(x)符合條件；當a＝0時，對任意x∈(0,1)，f′(x)＝－xex0，f(x)符合條件；當a0時，因為f′(0)＝－a0，f(x)不符合條件．故a的取值范圍為0≤a≤1.(2)因為g(x)＝(－2ax＋1＋a)ex，所以g′(x)＝(－2ax＋1－a)ex.(i)當a＝0時，g′(x)＝ex0，g(x)在x＝0處取得最小值g(0)＝1，在x＝1處取得最大值g(1)＝e.[來源:中教網(wǎng)](ii)當a＝1時，對于任意x∈(0,1)有g′(x)＝－2xex0，g(x)在x＝0處取得最大值g(0)＝2，在x＝1處取得最小值g(1)＝0.(iii)當0a1時，由g′(x)＝0得x＝0.①若≥1，即0a≤時，g(x)在[0,1]上單調遞增，g(x)在x＝0處取得最小值g(0)＝1＋a，在x＝1處取得最大值g(1)＝(1－a)e.②若1，即a1時，g(x)在x＝處取得最大值g＝2ae，在x＝0或x＝1處取得最小值．而g(0)＝1＋a，g(1)＝(1－a)e，則當a≤時，g(x)在x＝0處取得最小值g(0)＝1＋a；當a1時，g(x)在x＝1處取得最小值g(1)＝(1－a)e.第 7 頁 共 7 頁
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