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屆數(shù)學(xué)32導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)-資料下載頁

2025-08-17 10:48本頁面
  

【正文】 三、解答題7. (13分)(2012江西)已知函數(shù)f(x)=(ax2+bx+c)ex在[0,1]上單調(diào)遞減且滿足f(0)=1,f(1)=0.(1)求a的取值范圍;(2)設(shè)g(x)=f(x)-f′(x),求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值.解 (1)由f(0)=1,f(1)=0,得c=1,a+b=-1,則f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex,f′(x)=[ax2+(a-1)x-a]ex,依題意需對任意x∈(0,1),有f′(x)0.當(dāng)a0時(shí),因?yàn)槎魏瘮?shù)y=ax2+(a-1)x-a的圖象開口向上,而f′(0)=-a0,所以需f′(1)=(a-1)e0,即0a1.當(dāng)a=1時(shí),對任意x∈(0,1)有f′(x)=(x2-1)ex0,f(x)符合條件;當(dāng)a=0時(shí),對任意x∈(0,1),f′(x)=-xex0,f(x)符合條件;當(dāng)a0時(shí),因?yàn)閒′(0)=-a0,f(x)不符合條件.故a的取值范圍為0≤a≤1.(2)因?yàn)間(x)=(-2ax+1+a)ex,所以g′(x)=(-2ax+1-a)ex.(i)當(dāng)a=0時(shí),g′(x)=ex0,g(x)在x=0處取得最小值g(0)=1,在x=1處取得最大值g(1)=e.[來源:中教網(wǎng)](ii)當(dāng)a=1時(shí),對于任意x∈(0,1)有g(shù)′(x)=-2xex0,g(x)在x=0處取得最大值g(0)=2,在x=1處取得最小值g(1)=0.(iii)當(dāng)0a1時(shí),由g′(x)=0得x=0.①若≥1,即0a≤時(shí),g(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,g(x)在x=0處取得最小值g(0)=1+a,在x=1處取得最大值g(1)=(1-a)e.②若1,即a1時(shí),g(x)在x=處取得最大值g=2ae,在x=0或x=1處取得最小值.而g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e,則當(dāng)a≤時(shí),g(x)在x=0處取得最小值g(0)=1+a;當(dāng)a1時(shí),g(x)在x=1處取得最小值g(1)=(1-a)e.第 7 頁 共 7 頁
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