導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用-資料下載頁
2025-08-22 19:33本頁面
【正文】 數(shù)在點可微，則按定義有①式成立。①式兩邊除以，得 。于是，當時，由上式就得到。因此，如果函數(shù)在點可微，則在點也一定可導(dǎo)（即存在），且。反之，如果在點可導(dǎo)，即存在，根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系，上式可寫成，其中（當）。由此又有。因，且不依賴于，故上式相當于①式，所以在點也是可微的。由此可見，函數(shù)在點可微的充分必要條件是函數(shù)在點可導(dǎo)，且當在點可微時，其微分一定是。 ②當時，有。從而，當時，與是等價無窮小，這時有， ③即是的主部。又由于是的線性函數(shù)，所以在的條件下，我們說是的線性主部（當）。這是由③式有，從而也有。式子表示以近似代替時的相對誤差，于是我們得到結(jié)論：在的條件下，以微分近似代替增量時，相對誤差當時趨于零。因此，在很小時，有精確度較好的近似等式。函數(shù)在任意點的微分，稱為函數(shù)的微分，記作或，即。注1：由微分的定義，我們可以把導(dǎo)數(shù)看成微分的商。例如求對的導(dǎo)數(shù)時就可以看成微分與微分的商，即。注2：函數(shù)在一點處的微分是函數(shù)增量的近似值，它與函數(shù)增量僅相差的高階無窮小。因此要會應(yīng)用下面兩個公式：。作近似計算。2． 微分的幾何意義為了對微分有比較直觀的了解，我們來說明微分的幾何意義。圖22在直角坐標系中，函數(shù)的圖形是一條曲線。對于某一固定的值，曲線上有一個確定點當自變量有微小增量時，：。過M點作曲線的切線,它的傾角為，則，即 。由此可見，當是曲線上的M點的縱坐標的增量時，就是曲線的切線上M點的縱坐標的相應(yīng)增量。當很小時，比小得多。因此在點的鄰近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。二、 分運算法則及微分公式表由，很容易得到微分的運算法則及微分公式表（當都可導(dǎo)）：1) ，2) ，3) ，4) 。5) 微分公式表：6) ，7) ，8) ，9) ，10) ，11) ，12) ，13) ，14) ，15) ，16) ，17) ，18) ，19) ，20) 。注：上述公式必須記牢，對以后學(xué)習(xí)積分學(xué)很有好處，而且上述公式要從右向左背。例如：，。復(fù)合函數(shù)微分法則與復(fù)合函數(shù)的 求導(dǎo)法則相應(yīng)的復(fù)合函數(shù)的微分法則可推導(dǎo)如下：設(shè)及都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)的微分為。由于，所以，復(fù)合函數(shù)的微分公式也可以寫成或。由此可見，無論是自變量還是另一個變量的可微函數(shù)，微分形式保持不變。這一性質(zhì)稱為微分形式不變性。這性質(zhì)表示，當變換自變量時（即設(shè)為另一變量的任一可微函數(shù)時），微分形式并不改變。例 求函數(shù)在點x=0和x=1處的微分。解 例 求函數(shù)當時的微分。解 ，所以 例 設(shè)，求。解 例 設(shè)，求。（讓學(xué)生做練習(xí)）自我訓(xùn)練：（1），求。（2），求。（3）可導(dǎo)，求。（4），求。（5）有一半徑為的鐵球，問大約用多少體積的銀。三 微分在近似計算函數(shù)的近似計算，1．若函數(shù)y＝f(x)在點x0處可導(dǎo)，當自變量改變Δx時，寫出函數(shù)在點x0處的微分dy和函數(shù)改變量Δy．dy＝f39。(x0)Δx，y＝f(x0＋Δx)－f(x0)． 2．(接著上面問題提問)在什么條件下可用dy近似代替Δy？為什么？ 因為dy和Δy相差一個比|Δx|變小的速度更快的量，即Δy－dy＝aΔx， 其中a滿足 所以當|Δx|很小的時候，可用dy近似代替Δy，即 （1） 而|Δx|越小，近似程度越好．將(1)式移項，得 （2） 再令x0＋Δx＝x此時x為變量，則有Δx＝x－x0，所以(2)變成如下的形式 （3） 提問：從(3)或(2)可得到什么啟示？ (3)或(2)告訴我們這樣一個事實：要求函數(shù)y＝f(x)在某一點x處的值，可以通過求在點x0處(x0是x附近的點)的f(x0)和f39。(x0)來近似地計算．而且|x－x0|＝|Δx|越小越好，即x0越靠近x越好． 因此，如果求函數(shù)y＝f(x)在某一點處的值比較困難，而在x附近的某一點x0處，f(x0)和f39。(x0)的值易求，那么就可以用(3)式求f(x)值．例 計算的近似值。解 設(shè)，利用公式，有 這里，于是有 小結(jié) 1．由dy≈Δy可得公式f(x)≈f(x0)＋f39。(x0)(x－x0)． ?、龠\用此公式時，應(yīng)選好自變量的初始值x0． ?、谶x好x0的原則是：f(x0)和f39。(x0)易求；x0應(yīng)是x點附近的點，且越靠近越好． ?、酃降膸缀我饬x是：在點(x0，y0)附近可用切線y－y0＝f39。(x0)(x－x0)來近似表示曲線y＝f(x)． 2．當x0＝0時，上面公式變成f(x)≈f(0)＋f39。(0)x由此可推導(dǎo)出一系列近似公式： 運用這些公式應(yīng)注意其條件：|x|充分小．啟發(fā)與思考在用微分作近似計算時，的取值原則是什么？微分在近似計算中的應(yīng)用，怎樣才能提高精確度？小結(jié)：本節(jié)講述了微分的定義，練習(xí)了微分的運算和利用微分作近似計算希望大家熟記微分公式，為以后學(xué)習(xí)積分大好基礎(chǔ)作業(yè)：作業(yè)見作業(yè)卡 第 38 頁 共 38
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