導數(shù)的應用(1)(理)-資料下載頁
2025-09-25 17:25本頁面
【正文】 sx?0. ∴ x=tanx. ∵ x0 為 f(x) 的一個極值點 , ∴ x0=tanx0. ∵ sin2x= = , sin2x sin2x+cos2x tan2x 1+tan2x tan2x0 1+tan2x0 ∴ sin2x0= . ∴ [f(x0)]2=x02sin2x0=x02? tan2x0 1+tan2x0 =x02? 1+x02 x02 1+x02 x04 = . 1+x02 x04 ∴ [f(x0)]2= . 已知函數(shù) f(x)=x3+ax2+b(a, b?R). (1)若 a=1, 函數(shù) f(x) 的圖象能否總在直線 y=b 的下方 ? 說明理由 。 (2)若函數(shù) f(x) 在 [0, 2] 上是增函數(shù) , x=2 是方程 f(x)=0 的一個根 , 求證 : f(1)≤ 2。 (3)若曲線 f(x) 上任意不同兩點的連線的斜率小于 1, 求 a 的取值范圍 . 課后練習 6 (1)解 : 當 a=1 時 , 令 x=1 得 f(1 )=1+1+b=2+bb, ∴ 點 (1, 2+b)在函數(shù)圖象上 , 且在 直線 y=b 的上方 . ∴ 函數(shù) f(x) 的圖象不能總在直線 y=b 的下方 . 另 解 : 當 a=1 時 , f(x)=x3+x2+b, f?(x)=3x2+2x. 令 f?(x)=0 得 x1=0, x2= . 2 3 而 f( )= + +b= +bb, 2 3 4 9 27 4 27 8 ∴ 函數(shù) f(x) 的圖象不能總在直線 y=b 的下方 . ∴ 點 ( , +b) 在函數(shù)圖象上 , 且在 直線 y=b 的上方 . 2 3 27 4 已知函數(shù) f(x)=x3+ax2+b(a, b?R). (1)若 a=1, 函數(shù) f(x) 的圖象能否總在直線 y=b 的下方 ? 說明理由 。 (2)若函數(shù) f(x) 在 [0, 2] 上是增函數(shù) , x=2 是方程 f(x)=0 的一個根 , 求證 : f(1)≤ 2。 (3)若曲線 f(x) 上任意不同兩點的連線的斜率小于 1, 求 a 的取值范圍 . 課后練習 6 (2)證 : ∵ x=2 是方程 f(x)=0 的一個根 , ∴ f(2)=0 即 8+4a+b=0?b=84a. 又 f?(x)=3x2+2ax, 令 f?(x)=0 得 x1=0, x2= a. 2 3 ∵ 函數(shù) f(x) 在 [0, 2] 上是增函數(shù) , ∴ a≥ 2. 2 3 ∴ a≥ 3. ∴ f(1)=1+a+b=73a≤ 2, 即 f(1)≤ 2. 已知函數(shù) f(x)=x3+ax2+b(a, b?R). (3)若曲線 f(x) 上任意不同兩點的連線的斜率小于 1, 求 a 的取值范圍 . 課后練習 6 (3)解 : 設 P(x1, y1), Q(x2, y2) 為 曲線 y=f(x) 上任兩點 , x1?x2. ∵ 曲線 f(x) 上任意不同兩點的連線的斜率小于 1, ∵ x1?x2, 亦即 1 恒成立 . (x1x2)(x12+x1x2+x22)+a(x1x2)(x1+x2) x1x2 ∴ 1, y1y2 x1x2 x13+ax12+b(x23+ax22+b) x1x2 即 1, ∴ x1x21+(x1+x2)2a(x1+x2) 恒成立 . 而 x1x2 (x1+x2)2 恒成立 , 1 4 ∴ 1+(x1+x2)2a(x1+x2)≥ (x1+x2)2 恒成立 . 1 4 ∴ (x1+x2)2a(x1+x2)+1≥ 0 恒成立 . 3 4 ∴ a23≤ 0. ∴ 3 ≤ a≤ 3 . 已知函數(shù) f(x)=x3+ax2+b(a, b?R). (3)若曲線 f(x) 上任意不同兩點的連線的斜率小于 1, 求 a 的取值范圍 . 課后練習 6 另 解 : 設 P(x1, y1), Q(x2, y2) 為 曲線 y=f(x) 上任兩點 , 不妨 x1x2. ∵ 曲線 f(x) 上任意不同兩點的連線的斜率小于 1, ∵ x1x2, ∴ 1, y1y2 x1x2 ∴ x1x20. ∴ y1y2x1x2. 即 f(x1)f(x2)x1x2. ∴ f(x1)x1f(x2)x2. 記 g(x)=f(x)x, 則 g(x1)g(x2). ∴ g(x) 為 R 上的減函數(shù) . ∴ g?(x)≤0 即 3x2+2ax1≤0 對 x?R 恒成立 . ∴ a23≤ 0. ∴ 3 ≤ a≤ 3 .
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