基本不等式全題型-資料下載頁(yè)
2025-08-05 04:52本頁(yè)面
【正文】 件產(chǎn)品的平均費(fèi)用為y元，由題意得y＝＋≥2＝20.當(dāng)且僅當(dāng)＝(x0)，即x＝80時(shí)“＝”成立，故選B.9．(12分)為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個(gè)底寬為2 m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱(如圖所示)，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱的底長(zhǎng)為a m，高度為b m．已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分別與a，b的乘積成反比，現(xiàn)有制箱材料60 ：當(dāng)a，b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小(A，B孔的面積忽略不計(jì))?解 方法一 設(shè)y為流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則y＝，其中k0為比例系數(shù)，依題意，求使y值最小的a，b的值．根據(jù)題設(shè)，有4b＋2ab＋2a＝60 (a0，b0)，解得b＝ (0a30)．①于是y＝＝＝＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＋2＝時(shí)等號(hào)成立，y取得最小值．這時(shí)a＝6或a＝－10(舍)，將其代入①式，得b＝3.故當(dāng)a為6 m，b為3 m時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小．方法二 依題意，求使ab值最大的a，b的值．由題設(shè)，知4b＋2ab＋2a＝60 (a0，b0)，即a＋2b＋ab＝30 (a0，b0)．因?yàn)閍＋2b≥2，所以2＋ab≤30，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時(shí)，上式取等號(hào)．由a0，b0，解得0ab≤18，即當(dāng)a＝2b時(shí)，ab取得最大值，其最大值為18.所以2b2＝18，解得b＝3，進(jìn)而求得a＝6.故當(dāng)a為6 m，b為3 m時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最?。?．(13分)甲、乙兩地相距s千米，一船由甲地逆水勻速行駛至乙地，水速為常量p(單位：千米/小時(shí))，船在靜水中的最大速度為q千米/小時(shí)(qp)．已知船每小時(shí)的燃料費(fèi)用(單位：元)與船在靜水中的速度v(單位：千米/小時(shí))的平方成正比，比例系數(shù)為k.(1)把全程燃料費(fèi)用y(單位：元)表示為船在靜水中的速度v的函數(shù)，并求出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)為了使全程燃料費(fèi)用最小，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為多少？解 (1)由題意，知船每小時(shí)的燃料費(fèi)用是kv2，全程航行時(shí)間為，于是全程燃料費(fèi)用y＝kv2 (pv≤q)．(2)由(1)，知y＝kv2＝ks＝ks[v＋p＋]＝ks[v－p＋＋2p]≥ks[2＋2p]＝4ksp(當(dāng)且僅當(dāng)v－p＝，即v＝2p時(shí)等號(hào)成立)．①當(dāng)2p∈(p，q]，即2p≤q時(shí)，ymin＝4ksp，此時(shí)船的前進(jìn)速度為2p－p＝p；②當(dāng)2p?(p，q]，即2pq時(shí)，函數(shù)y＝kv2在(p，q]內(nèi)單調(diào)遞減，所以ymin＝ks，此時(shí)船的前進(jìn)速度為q－p.故為了使全程燃料費(fèi)用最小，當(dāng)2p≤q時(shí)，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為p千米/小時(shí)；當(dāng)2pq時(shí)，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為(q－p)千米/小時(shí)．[例2] (2012江蘇高考)如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(1)求炮的最大射程；(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，試問(wèn)它的橫坐標(biāo)a不超過(guò)多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說(shuō)明理由．[自主解答] (1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x＞0，k＞0，故x＝＝≤＝10，當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時(shí)取等號(hào)．所以炮的最大射程為10千米．(2)因?yàn)閍＞0，所以炮彈可擊中目標(biāo)?存在k＞0，＝ka－(1＋k2)a2成立?關(guān)于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根?判別式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0?a≤，可擊中目標(biāo)．2．(2012福州質(zhì)檢)某種商品原來(lái)每件售價(jià)為25元，年銷售8萬(wàn)件．(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2 000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？(2)為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定明年對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷策略改革，并提高定價(jià)到x元．公司擬投入(x2－600)萬(wàn)元作為技改費(fèi)用，投入50萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用，投入x萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用．試問(wèn)：當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)每件商品的定價(jià)．解：(1)設(shè)每件定價(jià)為t元，依題意，有t≥258，整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.因此要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價(jià)最多為40元．(2)依題意，x＞25時(shí)，不等式ax≥258＋50＋(x2－600)＋x有解，等價(jià)于x＞25時(shí)，a≥＋x＋有解．∵＋x≥2 ＝10(當(dāng)且僅當(dāng)x＝30時(shí)，等號(hào)成立)，∴a≥.，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元．
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