變化率與導數教案-資料下載頁
2025-08-05 03:54本頁面
【正文】 u，y分別有增量Δu，Δy，因為u=φ(x)在點x可導，所以u= (x)→0時，Δu→0.當Δu≠0時，由. 且.∴即 (當Δu＝0時，也成立)復合函數對自變量的導數，等于已知函數對中間變量的導數，乘以中間變量對自變量的導數 ：分解——求導——相乘——回代．三、講解范例：例1試說明下列函數是怎樣復合而成的？⑴； ⑵；⑶； ⑷．解：⑴函數由函數和復合而成；⑵函數由函數和復合而成；⑶函數由函數和復合而成；⑷函數由函數、和復合而成．說明：討論復合函數的構成時，“內層”、“外層”函數一般應是基本初等函數，如一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、三角函數等．例2寫出由下列函數復合而成的函數：⑴，； ?、疲猓孩?； ⑵．例3求的導數．解：設，則 ．注意：在利用復合函數的求導法則求導數后，所以在求復合函數的導數時，先要弄清復合函數是由哪些基本初等函數復合而成的，特別要注意將哪一部分看作一個整體，然后按照復合次序從外向內逐層求導.例4求f(x)=sinx2的導數.解：令y=f(x)=sinu。 u=x2∴=(sinu)′u(x2)x′=cosu2x=cosx22x=2xcosx2∴f′(x)=2xcosx2例5求y=sin2(2x+)的導數.分析: 設u=sin(2x+)時，求u′x，但此時u仍是復合函數，所以可再設v=2x+.解：令y=u2，u=sin(2x+)，再令u=sinv，v=2x+∴=y′u(u′vv′x)∴y′x=y′uu′vv′x=(u2)′u(sinv)′v(2x+)′x=2ucosv2=2sin(2x+)cos(2x+)2=4sin(2x+)cos(2x+)=2sin(4x+)即y′x=2sin(4x+)例6求的導數.解：令y=，u=ax2+bx+c∴=()′u(ax2+bx+c)′x=(2ax+b)=(ax2+bx+c)(2ax+b)=即y′x=例7求y=的導數.解：令∴=()′u()′x即y′x=－例8 求y=sin2的導數.解：令y=u2，u=sin，再令u=sinv，v=∴v′x=(u2)′u(sinv)′v()′x=2ucosv=2sincos=－sin∴y′x=－sin例9 求函數y=(2x2－3)的導數.分析: y可看成兩個函數的乘積，2x2－3可求導，是復合函數，可以先算出對x的導數.解：令y=uv，u=2x2－3，v=, 令v=，ω=1+x2 = (1+x2)′x=∴y′x=(uv)′x=u′xv+uv′x=(2x2－3)′x+(2x2－3)=4x即y′x= 四、鞏固練習：1．求下列函數的導數(先設中間變量，再求導).(1)y=(5x－3)4 (2)y=(2+3x)5 (3)y=(2－x2)3 (4)y=(2x3+x)2解：(1)令y=u4，u=5x－3∴=(u4)′u(5x－3)′x=4u35=4(5x－3)35=20(5x－3)3(2)令y=u5，u=2+3x∴=(u5)′u(2+3x)′x=5u43=5(2+3x)43=15(2+3x)4(3)令y=u3，u=2－x2∴=(u3)′u(2－x2)′x=3u2(－2x)=3(2－x2)2(－2x)=－6x(2－x2)2(4)令y=u2，u=2x3+x∴=(u2)′u(2x3+x)′x=2u(23x2+1)=2(2x3+x)(6x2+1)=24x5+16x3+2x(先設中間變量，再求導)(n∈N*)(1)y=sinnx (2)y=cosnx (3)y=tannx (4)y=cotnx解：(1)令y=sinu，u=nx=(sinu)′u(nx)′x=cosun=ncosnx(2)令y=cosu，u=nx=(cosu)′u(nx)′x=－sinun=－nsinnx(3)令y=tanu，u=nx=(tanu)′u(nx)′x=()′un=n==nsec2nx(4)令y=cotu，u=nx=(cotu)′u(nx)′x=()′un=n=－n=－=－ncsc2nx129
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