全稱量詞和特稱量詞-資料下載頁
2025-08-05 02:38本頁面
【正文】 之積等于－1.其中全稱命題是________．答案 ①②④解析 ①②省略了量詞“所有的”，④含有量詞“任意”．10．四個(gè)命題：①任意x∈R，x2－3x＋20恒成立；②存在x∈Q，x2＝2；③存在x∈R，x2＋1＝0；④任意x∈R,4x22x－1＋．答案 0解析 x2－3x＋20，Δ＝(－3)2－420，∵當(dāng)x2或x1時(shí)，x2－3x＋20才成立，∴①為假命題．當(dāng)且僅當(dāng)x＝177。時(shí)，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②為假命題，對(duì)任意x∈R，x2＋1≠0，∴③為假命題，4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即當(dāng)x＝1時(shí)，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④為假命題．∴①②③④均為假命題．11．判斷下列命題的真假：(1)對(duì)任意x∈R，|x|0；(2)對(duì)任意a∈R，函數(shù)y＝logax是單調(diào)函數(shù)；(3)對(duì)任意x∈R，x2－1；(4)存在a∈{向量}，使ab＝0.解 (1)由于0∈R，當(dāng)x＝0時(shí)，|x|0不成立，因此命題“對(duì)任意x∈R，|x|0”是假命題．(2)由于1∈R，當(dāng)a＝1時(shí)，y＝logax無意義，因此命題“對(duì)任意a∈R，函數(shù)y＝logax是單調(diào)函數(shù)”是假命題．(3)由于對(duì)任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2－1.因此命題“對(duì)任意x∈R，x2－1”是真命題．(4)由于0∈{向量}，當(dāng)a＝0時(shí)，能使ab＝0，因此命題“存在a∈{向量}，使ab＝0”是真命題．12．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在實(shí)數(shù)m，使不等式m＋f(x)0對(duì)于任意x∈R恒成立？并說明理由；(2)若存在實(shí)數(shù)x，使不等式m－f(x)0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解 (1)不等式m＋f(x)0可化為m－f(x)，即m－x2＋2x－5＝－(x－1)2－－(x－1)2－4對(duì)于任意x∈R恒成立，只需m－4即可．故存在實(shí)數(shù)m使不等式m＋f(x)0對(duì)于任意x∈R恒成立，此時(shí)m－4. (2)不等式m－f(x)0可化為mf(x)．若存在實(shí)數(shù)x使不等式mf(x)成立，只需mf(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，所以f(x)min＝4，所以m4.故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4，＋∞)．三、探究與拓展13．若任意x∈R，函數(shù)f(x)＝mx2＋x－m－a的圖像和x軸恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解?、佼?dāng)m＝0時(shí)，f(x)＝x－a與x軸恒相交，所以a∈R；②當(dāng)m≠0時(shí)，二次函數(shù)f(x)＝mx2＋x－m－a的圖像和x軸恒有公共點(diǎn)的充要條件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一個(gè)關(guān)于m的二次不等式，恒成立的充要條件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.綜上所述，當(dāng)m＝0時(shí)，a∈R；當(dāng)m≠0時(shí)，a∈[－1,1]．
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