全稱量詞和特稱量詞(文件)
【正文】 式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求實數(shù)a的取值范圍；(2)令p(x)：ax2＋2x＋10，若對任意x∈R，p(x)是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．解 (1)關于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥，∴實數(shù)a的取值范圍為.(2)∵對任意x∈R，p(x)是真命題．∴對任意x∈R，ax2＋2x＋10恒成立，當a＝0時，不等式為2x＋10不恒成立，當a≠0時，若不等式恒成立，則∴a1.反思與感悟 有解和恒成立問題是特稱命題和全稱命題的應用，注意二者的區(qū)別．跟蹤訓練3 (1)對于任意實數(shù)x，不等式sin x＋cos xm恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(2)存在實數(shù)x，不等式sin x＋cos xm有解，求實數(shù)m的取值范圍．解 (1)令y＝sin x＋cos x，x∈R，∵y＝sin x＋cos x＝sin≥－，又∵任意x∈R，sin x＋cos xm恒成立，∴只要m－即可．∴所求m的取值范圍是(－∞，－)．(2)令y＝sin x＋cos x，x∈R，∵y＝sin x＋cos x＝sin∈[－，]．又∵存在x∈R，sin x＋cos xm有解，∴只要m即可，∴所求m的取值范圍是(－∞，)． 1．下列命題中特稱命題的個數(shù)是( )①有些自然數(shù)是偶數(shù)；②正方形是菱形；③能被6整除的數(shù)也能被3整除；④對于任意x∈R，總有|sin x|≤1.A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析 命題①含有存在量詞；命題②可以敘述為“所有的正方形都是菱形”，故為全稱命題；命題③可以敘述為“一切能被6整除的數(shù)都能被3整除”，是全稱命題；而命題④是全稱命題．故有一個特稱命題．2．下列命題中，不是全稱命題的是( )A．任何一個實數(shù)乘以0都等于0B．自然數(shù)都是正整數(shù)C．每一個向量都有大小D．一定存在沒有最大值的二次函數(shù)答案 D解析 D選項是特稱命題．3．下列命題中的假命題是( )A．存在x∈R，lg x＝0 B．存在x∈R，tan x＝1C．任意x∈R，x30 D．任意x∈R,2x0答案 C解析 對于A，當x＝1時，lg x＝0，正確；對于B，當x＝時，tan x＝1，正確；對于C，當x＜0時，x3＜0，錯誤；對于D，任意x∈R,2x＞0，正確．4．用量詞符號“任意”“存在”表述下列命題：(1)凸n邊形的外角和等于2π.(2)有一個有理數(shù)x0滿足x＝3.(3)對任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解 (1)任意x∈{x|x是凸n邊形}，x的外角和是2π.(2)存在x0∈Q，x＝3.(3)任意α∈R，sin2α＋cos2α＝1.[呈重點、現(xiàn)規(guī)律]1．
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