全稱量詞和特稱量詞(更新版)
【正文】 n xsin x.答案?、冖劢馕觥τ冖?，任意x∈，sin x＋cos x＝sin≤，∴此命題為假命題；對于②，當x∈(3，＋∞)時，x2－2x－1＝(x－1)2－20，∴此命題為真命題；對于③，當m＝0時， f(x)＝x2為偶函數(shù)，∴此命題為真命題；對于④，當x∈時，tan x0sin x，∴此命題為假命題．7．判斷下列命題是否為全稱命題或特稱命題，并判斷其真假．(1)存在一條直線，其斜率不存在；(2)對所有的實數(shù)a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；(3)存在實數(shù)x0，使得＝2.解 (1)是特稱命題，是真命題．(2)是全稱命題，是假命題．(3)是特稱命題，是假命題．二、能力提升8．對任意x3，xa恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案 (－∞，3]解析 對任意x3，xa恒成立，即大于3的數(shù)恒大于a，∴a≤3.9．給出下列四個命題：①a⊥b?a時，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②為假命題，對任意x∈R，x2＋1≠0，∴③為假命題，4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即當x＝1時，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④為假命題．∴①②③④均為假命題．11．判斷下列命題的真假：(1)對任意x∈R，|x|0；(2)對任意a∈R，函數(shù)y＝logax是單調函數(shù)；(3)對任意x∈R，x2－1；(4)存在a∈{向量}，使ab＝0”是真命題．12．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在實數(shù)m，使不等式m＋f(x)0對于任意x∈R恒成立？并說明理由；(2)若存在實數(shù)x，使不等式m－f(x)0成立，求實數(shù)m的取值范圍．解 (1)不等式m＋f(x)0可化為m－f(x)，即m－x2＋2x－5＝－(x－1)2－－(x－1)2－4對于任意x∈R恒成立，只需m－4即可．故存在實數(shù)m使不等式m＋f(x)0對于任意x∈R恒成立，此時m－4. (2)不等式m－f(x)0可化為mf(x)．若存在實數(shù)x使不等式mf(x)成立，只需mf(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，所以f(x)min＝4，所以m4.故所求實數(shù)m的取值范圍是(4，＋∞)．三、探究與拓展13．若任意x∈R，函數(shù)f(x)＝mx2＋x－m－a的圖像和x軸恒有公共點，求實數(shù)a的取值范圍．解 ①當m＝0時，f(x)＝x－a與x軸恒相交，所以a∈R；②當m≠0時，二次函數(shù)f(x)＝mx2＋x－m－a的圖像和x軸恒有公共點的充要條件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一個關于m的二次不等式，恒成立的充要條件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.綜上所述，當m＝0時，a∈R；當m≠0時，a∈[－1,1
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