【正文】 zF zzz????? ????0)(?。埃啊　。拿芏群瘮?shù)為故zzezfZ Z　　　　　　　　　　　時(shí)，當(dāng)zzezezxzdyyxedxzFzZ?????? ??????1020)2(2)(0例 6：設(shè) 且 X與 Y相互 獨(dú)立，求 的概率密度。 ),0(~),0(~ 22 ?? NYNX22 YXZ ??22222221)(,21)( ??????yYxX eyfexf????由于 X與 Y相互獨(dú)立，于是 (X,Y)的概率密度為 2222221)()(),( ???yxYX eyfxfyxf????先求 Z 的分布函數(shù) FZ ( z ) 解 ： X 和 Y 的概率密度分別為 }{}{)( 22222 zYXPzYXPzF Z ?????????????2222222221zyxyxdxdye ???drred zr?? ?? 0 2202 2221 ?? ???2221 ?ze ???當(dāng) z0時(shí) FZ(z)=0 當(dāng) z ≥ 0 時(shí) }{}{)( 22 zYXPzZPzF Z ?????所以 0010)( {222?????zzezFzZ?于是可得 的概率密度 22 YXZ ?? )(zfZ?????????000)(2222zzezzfzZ??如果一隨機(jī)變量的概率密度為上式，稱該隨機(jī)變量服從參數(shù)為 ?的瑞利分布。由題可知，若 X,Y獨(dú)立服從同一分布 則 服從參數(shù)為 ? 的瑞利分布。 ),0( 2?N 22 YXZ ??設(shè) (X,Y)的聯(lián)合概率密度為 f(x,y)，現(xiàn)求 Z=X+Y 的概率密度。令 ，則 Z的分布函數(shù)為 }),{( zyxyxD z ???}{}{)( zYXPzZPzF Z ????? ???zDdxdyyxf ),(? ????? ???? yz dydxyxf )),(((1)和的分布 固定 z和 y對積分 作換元法 ,令 x + y=u 得 ? ???yz dxyxf ),(?? ????? ?? zyz duyyufdxyxf ),(),(于是： ? ?? ??????????? ??????zzZdudyyyufd u d yyyufzF)),((),()(yxOzyx ??z由概率密度定義，即得 Z 的概率密度為 ? ???? ?? dyyyzfzf Z ),()(由 X與 Y的對稱性，又可得 ? ???? ?? dxxzxfzf Z ),()(當(dāng) X與 Y相互獨(dú)立時(shí)，有 ? ????? ???? ???? dxxzfxfdyyfyzfzf YXYXZ )()()()()(其中 分別是 X 和 Y 的密度函數(shù)。 )(),( yfxfYX 這兩個(gè)公式稱為連續(xù)型隨機(jī)變量分布的卷積公式，簡稱為連續(xù)型的卷積公式。記為： YXZ fff ??例 7：設(shè)隨機(jī)變量 X,Y相互獨(dú)立，都服從 N(0,1)分布求 Z=X+Y 的密度 22 ()22( ) ( ) ( )12Z X Yzxxf z f x f z x d xe e d x?????????????? ???解 ： 　 　　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　? ???? ???? dxeezxz 22 )2(421?4422221212/ztzedteezxt?????????? ???令)2,0(~)122212(2222NZdxedxextdtexxt　　　?。眲t　　令１　　???????????????????????????機(jī)變量的情形此結(jié)論可推廣到ｎ個(gè)隨則　　相互獨(dú)立，注：一般，設(shè)),(~),(~),(~,22212221???????? baNYXZbNYaNXYX 有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布 . 更一般地 , 可以證明 : ),(~,2,1),(~2222121212nnnkkkNXXXZnkNX?????????????????????? 則且它們相互獨(dú)立設(shè) 例 8：設(shè) X， Y是相互獨(dú)立且其概率密度分別為 ??? ????? ???? 00)( 010)(其他　　　　其他１　　　yeyfxxfyYX 求： Z = X+Y 的概率密度 解：當(dāng) z≤ 0時(shí) (x≤ 0或 y≤ 0) f (x,y)=0 故 f Z ( z )=0 當(dāng) 0≤ z ≤ 1時(shí) 0 z 1 zzzz xzYXZeeedxedxxzfxfzf?????????????????1)1(.1)()()(0)(　　　 當(dāng) z 1 時(shí) )1(.1)()()(10)( ??????????????eedxedxxzfxfzfzxzYXZ　　　????????????????　　　　　　其他　　　　　　　　　　　　　　　　　的密度函數(shù)01)1(101)( zeezezfYXZzzZ0 1 z ??????????21),( ),( }{)( ,),(),(DDzd x d yyxfd x d yyxfzZPzFZYXZYXZyxfYX的分布函數(shù)為的概率密度現(xiàn)求又的聯(lián)合概率密度為設(shè)商的分布)2(? ??? ?? ??? 0 ),(),(1yzDd x d yyxfd x d yyxf而yx1D2Dzyx ?? ??? ???yz z duyyuyfdxyxf ),(),(得? ?? ?????????????zzDd y d uyyuyfd u d yyyuyfdxdyyxf00),(),(),(1于是),0(),(, ?????yyxudxyxfyz yz 作換元積分對于固定的? ??? ?? ??? 0 ),(),(:2yzDd u d yyyuyfd x d yyxf類似地可得? ??? ???? z d yd uyyuyf0 ),(? ????????0),(),(1yzDd x d yyxfd x d yyxf而yx1D2Dzyx ????? ??21),(),()(:DDz d x d yyxfd x d yyxfzF故有:的概率密度為由概率密度定義可得YXZ ??? ? ???? ?? ?? 00 ]),(),([ dudyyyuyfdyyyuyfz? ??? ????? z dudyyyufy ]),(||[? ????? dyyyzfyzf Z ),(||)(: 相互獨(dú)立時(shí)有與當(dāng) YX ? ????? dyyfyzfyzf YXz )()(||)(.)()( 的概率密度和分別為和其中 YXyfxf YX29 : ,0 2 0( ) { ( ) {0 0 0 0:.xyXYXYe x e yf x f yxyXZY?????????例 設(shè) 和 相 互 獨(dú) 立 它 們 的 概 率 密 度 分 別 為求 的 概 率 密 度? ????? dyyfyzfyzfZ YXZ )()(||)(: 的概率密度為解2202z 0 ( ) 2( 2 )y z yZf z y e e d y z?? ??? ? ? ???當(dāng) 時(shí)z 0 , ( ) 0Zfz??當(dāng) 時(shí)22 z0( 2) ( )0 z 0ZX zZ f zY? ????? ?? ??所 以 的 概 率 密 度 為的分布函數(shù)與現(xiàn)在求的分布函數(shù)為設(shè) NMyxFYX ),(),(的分布及 ),m i n (),m a x ()3( YXNYXM ??),(},{ }),{ m a x(}{)(zzFzYzXPzYXPzMPzF M????????? ? ? ? ? ?? ?).,()()( 11 },{1}),{ m i n (1 }),{ m i n (}{)(zzFzFzFzzFzFzFzYzXPzYXPzYXPzNPzFYXYXN???????????????????，.,)(),( 的邊緣分布函數(shù)分別為 YXyFxF YX))(1))((1(1)( )()()(zFzFzFzFzFzFYXYXNYXM?????獨(dú)立時(shí)有與當(dāng)),2,1)((, 21nixFXnXXXiXini???的分布函數(shù)為且個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是設(shè).的情形個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量上兩式容易推廣到 n)](1[)](1) ] [(1[1)()()()()(),m i n ( ),m a x (21212121zFzFzFzFzFzFzFzFXXXNXXXMnXXXNXnXXMnn????????????的分布函數(shù)為則nNnMnzFzFzFzFxFXXX)](1[1)( )]([)( ),(, 21????則有布函數(shù)相互獨(dú)立具有相同的分若 ?1 0 ,12( 1 ) ( 2 ) , ,12,0 0( ) ( )0 0 0 00 , 0 ,.L L LLLXYx yex eyf x f yXYx yLZ? ?? ???? ???? ? ?????? ??? ???例 ： 設(shè) 系 統(tǒng) 由 兩 個(gè) 相 互 獨(dú) 立 的 子 系 統(tǒng) 和 聯(lián) 接 而 成其 聯(lián) 接 方 式 分 別 為 串 聯(lián) 并 聯(lián) 如 圖 所 示 設(shè) 和的 壽 命 分 別 為 和 已 知 它 們 的 密 度 函 數(shù) 分 別 為其 中 試 分 別 就 以 上 兩 種 聯(lián) 接 方 式求 出 系 統(tǒng) 的 壽 命 的 概 率 密 度X Y 1L 2LX 1LY 2L分布函數(shù)分別為和 YX的概率密度為得 Z的分布函數(shù)為Z),m i n (,21YXZLLLL?的壽命為所以這時(shí)工作就停止系統(tǒng)中有一個(gè)損壞時(shí)和當(dāng)解 : (1)串聯(lián)情況 ??????????? ??0 001)](1) ] [(1[1)( )(zzeyFxFzF zYXZ??X Y 1L 2L?????????????? ??0 001)(0 001)(yyeyFxxexF yYxX?????