【正文】 YYX ??解： (X,Y)的概率密度為 ? ????? dxyxfyf Y ),()(例 2： 設(shè)隨機(jī)變量 (X,Y)在區(qū)域 D={(x,y)∣ x2+y2≤1}上服從均勻分布，求條件概率密度 。 )( yxf YX特別 y=0和 y= 時(shí)條件概率密度分別為 21?????????其它＝01121)0(xyxf YX?????????其它＝0232331)21(xyxf YX類似于條件概率的乘法公式，也有 )()()()(),( yfyxfxfxyfyxf YYXXXY ??求 P{X1|Y=y} 例 3 設(shè) (X,Y)的概率密度是 ????????????????其它,00,0,),(yxyeeyxfyyx解 : ? ??? 1 | )|( dxyxf YXP{X1|Y=y} 為此 , 需求出 由于 于是對(duì) y 0, )(),()|(| yfyxfyxfYYX ???? ???0)( dxyeeyf yyxY??????0][ yxyyeye,ye ?? ???? y0,ye yx?? 0?x故對(duì) y0, P{X1|Y=y} ??? ??1dxye yx ?????1yxe ye 1??????????????????其它,00,0,),(yxyeeyxfyyx例 4 設(shè)數(shù) X 在區(qū)間 (0,1)均勻分布 ， 當(dāng)觀察到 X=x(0x1)時(shí) ， 數(shù) Y在區(qū)間 (x,1)上隨機(jī)地取值 .求 Y 的概率密度 . 解：依題意， X具有概率密度 ??? ???其它,010,1)(xxf X對(duì)于任意給定的值 x (0x1)， 在 X=x的條件下 ，Y 的條件概率密度為 X和 Y的聯(lián)合密度為 )|()(),( | xyfxfyxf XYX?????? ?????其它,010,11yxx于是得 Y的概率密度為 ? ????? dxyxfyf Y ),()(????? ??????? ?其它,010),1l n (110yyydxx已知邊緣密度、 條件密度，求 聯(lián)合密度 設(shè) F(x,y)為二維隨機(jī)變量 (x,y)的分布函數(shù)， (X,Y)關(guān)于X和關(guān)于 Y的邊緣分布函數(shù)分別為 FX(x)， FY(y)，則上式等價(jià)于 第四節(jié) 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 定義 8： 設(shè) X和 Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，如果對(duì)于任意實(shí)數(shù) x 和 y，事件 {X≤x}與 {Y≤y}相互獨(dú)立，即有 P{ X≤x , Y≤y }=P{X≤x} P{Y≤y}，則稱隨機(jī)變量 X與 Y相互獨(dú)立。 RyxyFxFyxF YX ??? ,),()(),(結(jié)論推廣：“若 X 與 Y 獨(dú)立，則對(duì)于任意一維區(qū)間 I1和 I2，事件 {X∈ I1}與 {Y∈ I2}相互獨(dú)立”。 P { x1 X ≤ x2 , y1 Y ≤ y2} =F ( x2, y2 ) – F ( x2, y1 ) – F ( x1, y2) + F ( x1 , y1 ) = FX ( x2) FY ( y2) FX (x2)FY( y1) FX(x1)FY(y2)+FX(x1)FY(y1) =[ FX (x2) –FX (x1)][ FY (y2)FY (y1)] = P{ x1 X ≤ x2} P{ y1 Y ≤ y2} 所以事件 {x1X≤ x2}與 {y1Y≤ y2}是相互獨(dú)立的。 由獨(dú)立性定義可證 “若 X 與 Y 相互獨(dú)立，則對(duì)于任意實(shí)數(shù) x1 x2, y1y2, 事件 { x1 X ≤ x2} 與事件 { y1 Y ≤y2} 相互獨(dú)立”。 當(dāng)（ X,Y）為離散型或連續(xù)型隨機(jī)向量時(shí)，可用它的分布律或概率密度來(lái)判別 X與 Y的獨(dú)立性。 對(duì)于二維離散型隨機(jī)變量 ,獨(dú)立條件為 :對(duì)（ X,Y）的任何取值 ( xi , yj )有 P{ X=xi ,Y=yj }= P{ X = xi} P{Y = yj } 對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量 ,獨(dú)立條件為 :對(duì)一切 x, y有 f (x,y) = f x( x) f y( y) 例 1: 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)的分布律如表所示。 X Y 1 0 2 1/2 2/20 1/20 2/20 1 2/20 1/20 2/20 1/2 4/20 2/20 4/20 問 X與 Y相互獨(dú)立嗎？ 解 : X與 Y的邊緣分布律分別為 X 1/2 1 1/2 pi. 1/4 1/4 1/2 Y 1 0 2 2/5 1/5 2/5 逐一驗(yàn)證可知， pij= pi . （ i=1,2,3, j=1,2,3）。 從而 X與 Y相互獨(dú)立。 是否獨(dú)立？與問：其他的聯(lián)合密度：設(shè)兩維隨機(jī)變量例YXyxyxeyxfYX 0 ,0 )( 0),( ),(2??? ?????解 :求得 X和 Y的概率密度 f X (x), f Y ( y)分別為： ?????? ?000)(xxexf xX?????? ?000)(yyeyf yY 容易驗(yàn)證對(duì)一切 x, y 有 f (x,y)=f x ( x ) f y (y) 故 X與 Y相互獨(dú)立． 例 3: 設(shè) X 和 Y 都服從參數(shù)為 1的指數(shù)分布，且相互獨(dú)立，試求 P{X+Y1}。 ?????? ?000)(yyeyf yY由于 X與 Y相互獨(dú)立，所以 ( X,Y )的概率密度為 ??? ??????其它00,0)()(),( )( yxeyfxfyxf yxYX于是 ???????1),(}1{yxdxdyyxfYXP解 : 設(shè) f X (x) , f Y ( y) 分別為 X和 Y的概率密度，則 ?????? ?000)(xxexf xX2 6 4 110 10 )( ???? ?? ??? ? edyedx x yx第五節(jié) 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 二維離散型隨機(jī)變量的函數(shù)分布 1) ( X,Y ) 取值為有限個(gè) . 分析與一維類似 . 求下列隨機(jī)變量函數(shù)的分布律 (1) Z=2XY (2) Z=X+Y 2 (X,Y) (1,1) (1,1) (1,2) (2,1) (2,1) (2,2) 2XY － 1 3 4 5 3 2 X+Y2 0 0 3 3 3 6 P 5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20 解 :列表 例 1 設(shè) ( X,Y )的聯(lián)合分布律為 1/20 6/20 2 3/20 2/20 1 3/20 5/20 1 2 1 X Y 2) ( X,Y )取值為可列個(gè) ,僅討論兩相互獨(dú)立隨機(jī)變量之和的分布 . 即設(shè) X ,Y 相互獨(dú)立 , 其概率分布為 P{X=k}= P (k) k = 0,1,2,… P{Y=r}= Q(r) r = 0,1,2,… 求 : Z =X+Y 的概率分布 解 : Z 的可能取值為 0,1,2,… P{ Z=i }=P{ X+Y= i} =P{X=0,Y=i}+P{X=1,Y = i1}+…+ P{ X=i,Y=0} ????????????????ikkiQkPikkiYPkXPikkiYkXP0)()(0}{}{0},{此結(jié)果可作為公式使用 ,稱為 離散型的卷積公式 =P{X=0,Y=i}+P{X=1,Y = i1}+…+ P{ X=i,Y=0} 解：依題意 ???????riirYiXPrZP0},{}{例 2 若 X和 Y相互獨(dú)立 ,它們分別服從參數(shù)為 的泊松分布 , 證明 Z=X+Y服從參數(shù)為 21 ,??21 ?? ?的泊松分布 . 由卷積公式 i=0,1,2,… j=0,1,2,… !}{ 11ieiXP i?????!}{ 22jejYP j????????????riirYiXPrZP0},{}{????rir i λi λ( r i ) !λei!λe021 21?????rir ii)λ( λλλi ! ( r i ) !r!r!e02121,)(! 21)( 21rre ???? ?? ??即 Z服從參數(shù)為 的泊松分布 . 21 ?? ?r =0,1， … ??????riirYPiXP0}{}{例 3 設(shè) X和 Y相互獨(dú)立， X~B(n1, p),Y~B(n2, p),求 Z=X+Y 的分布 . 回憶第二章對(duì)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量所作的直觀解釋 : 同樣， Y是在 n2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A出現(xiàn)的次數(shù) ,每次試驗(yàn)中 A出現(xiàn)的概率為 p. 若 X~ B(n1,p),則 X 是在 n1次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A出現(xiàn)的次數(shù) ,每次試驗(yàn)中 A出現(xiàn)的概率都為 p. 故 Z=X+Y 是在 n1+n2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗(yàn)中 A出現(xiàn)的概率為 p，于是 Z是以（ n1+n2， p）為參數(shù)的二項(xiàng)隨機(jī)變量，即 Z ~ B(n1+n2, p). 設(shè) ( X,Y) 為連續(xù)型隨機(jī)向量，具有概率密度 f (x , y)，又 Z=g (X,Y) ( g (x , y)為已知的連續(xù)函數(shù) )。大部分情況下， Z是一連續(xù)型隨機(jī)變量。 }),({}{)( zYXgPzZPzF Z ????d x d yyxfzyxg),(),(????求 Z的概率密度，方法：先求出 Z 的分布函數(shù) 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)分布 再通過 求出 Z的概率密度 。 dzzdFzf ZZ)()( ?)(zfZ即首先找出上式右端的積分區(qū)域 Dz。如果求得了FZ(z) ,那么可通過 求出 Z 的概率密度 。 dzzdFzf ZZ)()( ?)(zfZ求解過程中，關(guān)鍵在于將事件 {Z≤z}等價(jià)地轉(zhuǎn)化為用(X,Y)表示的事件 {g(X,Y) ≤z}={(X,Y) }, 其中 。 zD?}),(),{( zyxgyxD z ??4 : ( X , Y ) ( x 2 y ) 2 e 0 , 0f ( x , y )02xyZ X Y?????? ?????例 設(shè) 二 維 隨 機(jī) 變 量 的 密 度 函 數(shù) 為　 　 　 　 　 　 其 他求 隨 機(jī) 變 量 的 密 度 函 數(shù)2( ) ,( ) { } { 2 }( , )ZZx y zZ F zF z P Z z P X Y zf x y d x d y??? ? ? ? ?? ??解 ： 設(shè) 的 分 布 函 數(shù) 為 則y z 0 x y=(zx)/2 0)(0 ?? zFz Z時(shí)，當(dāng)0)(0 ?? zFz Z時(shí)，當(dāng)???????? ??0100)(zzeez