【文章內容簡介】 2121212121,1,0,)1(},{),(2121211?的分布律為所以).,(~,2,1,0,)1(},{}{1111210111112pnbXnkppCkYkXPkXPXknkknknk可見的邊緣分布律為關于????????????二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布 設 ( X,Y )為二維連續(xù)型隨機向量，具有概率密度 f (x, y)， 則 ? ??? ???????? xX dxdyyxfxFxF )),((),()(從而， X 的概率密度為 ? ?????? dyyxfdx xdFxf XX ),()()(.),()(),(的邊緣概率密度和關于關于為分別稱 YXYXyfxf YX同理， Y的概率密度為 ? ?????? dxyxfdy ydFyf YY ),()()(61)(: 10 ??? ? dxxxSD 的面積區(qū)域解)) . ((),( , }|),{( ),(:32如圖概率密度的邊緣和求關于均勻分布上服從在區(qū)域設二維隨機向量例yfxfYXyxyyxDYXYX???其它的概率密度為所以06{),(),(2 yxyyxfYX???x O y 2yx ??????????????????其它的邊緣概率密度：關于010)(66 ),()(xxXxxxdydyyxfxfX?????????????????其它的邊緣概率密度：關于010)(66 ),()(22yyYyyydxdxyxfyfY x O y 2yx ?例：求二維正態(tài)隨機變量的邊緣概率密度。 dyeexfxxyyxydyyxfxfxyxXX???????????? ????????????????????? ?????????2)1(212)(221212122112221212222112222121121)()())((2)(,),()(???????????????????????????于是由于解：??????????????????????? ?????????????????yeyfxedteexfxytyYxtxX,21)(,2121)(1122222121221212)(22)(122)(111222??????????????????同理則有令：結論： 1)由聯(lián)合密度能唯一確定兩個邊緣密度 , 反之不然 2)二維正態(tài)分布的兩邊緣分布均為一維正態(tài)分布，且不依賴于 ρ。 例 5：設 (X,Y)在圓域 x2+y2=1上服從均勻分布，求其邊緣密度。 ???????? 122 1 0y)f ( x ,Y)( X , yx?其他的密度函數(shù)解：則關于 X的邊緣密度為： 221 x 1 x( ) ( , )1 = 22 1 x 1 x 10 Xf x f x y d ydy?????????? ???? ? ???其 他 1 0 1 x y 則關于 Y的邊緣密度為： ??????????????1y1 2y1 2 0 ),()(?其他＝dxyxfxfY注意積分上下限的確定形式 1 0 1 x y 在第一章中，我們介紹了條件概率的概念 . )()()|(BPABPBAP ?在事件 B發(fā)生的條件下事件 A發(fā)生的條件概率 推廣到隨機變量 設有兩個 X,Y ， 在給定 Y 取某個或某些值的條件下，求 X 的概率分布 . 這個分布就是條件分布 . 第三節(jié) 條件分布 例如，考慮某大學的全體學生，從其中隨機抽取一個學生，分別以 X和 Y 表示其體重和身高 . 則 X 和 Y 它們都有一定的概率分布 . 現(xiàn)在若限制 Y (米 ), 在這個條件下去求 X 的條件分布，這就意味著要從該校的學生中把身高在 來，然后在挑出的學生中求其體重的分布 . 容易想象，這個分布與不加這個條件時的分布會很不一樣 . 例如，在條件分布中體重取大值的概率會顯著增加 . .,2,1}{},{}|{,0}{,.,2,1}{},{}|{,0}{,),( 的條件分布律條件下為在則稱若對于固定的同樣的條件分布律條件下隨機變量為在則稱若對于固定的是二維離散型隨機向量設YxXjxXPyYxXPxXyYPxXPiXyYiyYPyYxXPyYxXPyYPjYXiijiijijjjijij??????????????????????二維離散型隨機變量的條件分布律 定義 6: 條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切性質 . 正如條件概率是一種概率，具有概率的一切性質 . 例如： i=1,2, … 例：已知 （ X,Y） 的聯(lián)合分布律如下所示： 求 ：（ 1）在 Y=1的條件下， X的條件分布律； （ 2）在 X=2的條件下， Y的條件分布律。 X Y 1 2 3 4 P{Y=yi} 1 2 3 1/4 1/8 1/12 1/16 0 1/8 1/12 1/16 0 0 1/12 2/16 25/48 13/48 10/48 P{X=xi} 1/4 1/4 1/4 1/4 解 ：（ 1）由聯(lián)合分布律表可知邊緣分布律 .于是 的條件分布律為的條件下即，在 XYYXPYXPYXPYXP12534825/161}1|4{2544825/121}1|3{2564825/81}1|2{25124825/41}1|1{?????????????????X 1 2 3 4 P 12/25 6/25 4/25 3/25 (2)同理可求得在 X=2的條件下 Y 的條件分布律為 Y 1 2 3 P 1/2 1/2 0 例 1： 一射手進行射擊 ,每次射擊擊中目標的概率均為p(0p1)且假設各次擊中目標與否相互獨立 ,射擊進行到擊中目標兩次為止 .設以 X表示到第一次擊中目標所需要的射擊次數(shù) ,以 Y 表示總共進行的射擊次數(shù) .試求 (X,Y)的聯(lián)合分布律和條件分布律 . pqimnmqpnYmXP n????????? ?1,2,1,2,1,},{ 22??解 : (X,Y)的聯(lián)合分布律為： ...2,1 },{}{ 11221???????????????mpqqpnYmXPmXPmmnnmn＝＝又...3,2 )1( },{}{ 22112211??????????????nqpnqpnymXPnYPnnmnnm＝＝1,2,111)1(}|{,3,22222????????????nmnqpnqpnYmXPXnYnnn??的條件分布律為下在條件對于固定的??,2,1}|{,2,11122?????????????mmnpqpqqpmXnYPYmXmmnmn的條件分布律為下在條件對于固定的...2,1 },{}{ 11221???????????????mpqqpnYmXPmXPmmnnmn＝＝又二維連續(xù)型隨機變量的條件分布 定義 7： 對固定的實數(shù) y，設對于任意給定的正數(shù) ε， P{ yε Y ≤ y+ε}0, 且若對于任意實數(shù) x，極限 }{lim 0 ??? ??????? yYyxXP}{},{lim0 ????? ???????????? yYyPyYyxXP存在，則稱此極限為在條件 Y=y下 X 的條件分布函數(shù)， 記作 P 或記為 . }{ yYxX ?? )( yxFYX同樣 ,在 X=x條件下隨機變量 Y的條件分布函數(shù) }{lim)( 0 ??? ?????? ?? xXxyYPxyF XY為)|( xyF XY設 (X,Y)的分布函數(shù)為 F(x,y)，概率密度為 f(x,y)。若在點(x,y)處 f(x,y)連續(xù)，邊緣概率密度 fY(y)連續(xù)，且 fY(y)0，則有： )(),(2/)]()([2/)],(),([lim)()(),(),(lim}{},{lim)(000yFdydyyxFyFyFyxFyxFyFyFyxFyxFyYyPyYyxXPyxFYYYYYYX??????????????????????????????????????????????????亦即 ?????? ?? xYYxYX duyfyufyfduyufyxF )( ),()(),()( 類似地在相應條件下可得在 X=x 條件下 Y 的條件概率密度為 )(),()(xfyxfxyfXXY ?若記 為條件 Y=y下 X的條件概率函數(shù)，則由上式知： )(),()(yfyxfyxfYYX ?)( yxf YX????????其它011),(22 yxyxf ?且有邊緣概率密度 ??????????? ????其它011121 21122yydxyy ??當－ 1y1時有： ????????????????其它＝01112112/1)(),()(2222yxyyyyfyxfyxf