【正文】 試驗(yàn)中一個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響依賴于另一因素所取的水平時(shí)，稱兩因素有交互作用。 在多因素對(duì)比試驗(yàn)中，某些因素對(duì)指標(biāo)的影響往往是互相制約、互相聯(lián)系的。即在試驗(yàn)中不僅因素起作用，而且因素間有時(shí)聯(lián)合起來(lái)起作用，這種聯(lián)合作用并不等于各因素單獨(dú)作用所產(chǎn)生的影響之和，稱這種聯(lián)合作用為交互作用。 例：某農(nóng)場(chǎng)對(duì)四塊大豆試驗(yàn)田作施肥試驗(yàn)。每塊田以不同的方式施以磷肥和氮肥，其產(chǎn)量如下： 可以看出 當(dāng)施氮肥和不施氮肥時(shí)，施以 4公斤磷肥后的增產(chǎn)數(shù)量是不同的 當(dāng)施磷肥和不施磷肥時(shí)，施以 6公斤氮肥后的增產(chǎn)數(shù)量是不同的 若 N, P分別起作用時(shí)增產(chǎn)為 50, 30kg。但同時(shí)施時(shí)其效果并不是50+30=80kg，而是增產(chǎn) 560400=160kg，增加的 80公斤則為交互作用的效果。 P1=0 P2=4 P2P1 N1=0 400 450 50 N1=6 430 560 130 N2N1 30 110 對(duì)兩因素和多因素等重復(fù)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行的分析， 可以研究因素的 簡(jiǎn)單效應(yīng) 、 主效應(yīng) 和 因素間的交互作用（互作效應(yīng)） 。 下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 兩因素等重復(fù)試驗(yàn)的方差分析 基本概念 1 簡(jiǎn)單效應(yīng) (simple effect) 在某因素同一水平上，另一因素不同水平對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響稱為簡(jiǎn)單效應(yīng)。 在 A1（殺菌時(shí)間 55min）水平上： B2 B 1=； 在 A2 （殺菌時(shí)間 65min ）水平上： B2 B1=； 在 B1 （殺菌溫度 116℃ ）水平上： A2A1=； 在 B2 （殺菌溫度 121℃ ）水平上： A2A1= 下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 簡(jiǎn)單效應(yīng) A1（ 55min） A2(65min) A2A1 平均（ Bj） B1（ 116 ℃ ） B2(121 ℃ ) B2B1 平均（ Ai） 表 526 不同殺菌時(shí)間和溫度搭配下成品固形物含量 在表 526中，當(dāng) A因素由 A1水平變到 A2水平時(shí)， A因素的主效應(yīng)為 A2水平的平均數(shù)減去 A1水平的平均數(shù) ，即 A因素的主效應(yīng) == 同理， B因素的主效應(yīng) == 由于因素水平的改變而引起的平均數(shù)發(fā)生改變的量稱為主效應(yīng)。 主效應(yīng)也就是簡(jiǎn)單效應(yīng)的平均。 2 主效應(yīng) (main effect) 3 交互作用 （互作 效應(yīng) ， interaction effect） 在多因素試驗(yàn)中，一個(gè)因素的作用要受到另一個(gè)因素的影響，表現(xiàn)為某一因素在另一因素的不同水平上所產(chǎn)生的效應(yīng)不同，這種現(xiàn)象稱為該兩因素存在交互作用。 在表 526中： A在 B1水平上的效應(yīng) == A在 B2水平上的效應(yīng) = = B在 A1水平上的效應(yīng) == B在 A2水平上的效應(yīng) = = 可以看出， A的效應(yīng)隨著 B因素水平的不 同而不同，反之亦然，此時(shí)稱 A、 B兩因素間存在交互作用，記為 A B?；蛘哒f(shuō)， 某一因素的 簡(jiǎn)單效應(yīng)隨著另一因素水平的變化而變化時(shí)，則稱該兩因素間存在交互作用 。 互作效應(yīng) 可由（ A1B1+A2B2A1B2A2B1） /2來(lái)估計(jì)。 表 526中的互作效應(yīng)為： （ +） /2= 下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 互作效應(yīng)：實(shí)際是指由于兩個(gè)或兩個(gè)以上試驗(yàn)因素的相互作用而產(chǎn)生的效應(yīng)。 設(shè) A、 B兩因素， A因素有 a個(gè)水平， B因素有 b個(gè)水平，共有 ab個(gè)水平組合，每個(gè)水平組合有 n次重復(fù)試驗(yàn)，則全試驗(yàn)共有 abn個(gè)觀測(cè)值 。試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)據(jù)模式如表 527所示。 下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 兩因素等重復(fù)試驗(yàn)的方差分析 表 527 兩因素等重復(fù)觀測(cè)值試驗(yàn)數(shù)據(jù)模式 下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 A因素 B因素 Ai合計(jì) xi.. B1 B2 … Bb A1 x1jl x111 x121 … x1b1 x112 x122 … x1b2 x1.. x113 x123 … x1b3 … … … … x11n x12n … x1bn x1j. x11. x12. x1b. x1j. x11. x12. x1b. A2 … … … … … … … … … … … … 兩因素等重復(fù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)模式（部分） 表 527中 ? ? ?? ?? ??? ? ?? ?? ??????aibjnlijlainlijljbjnlijlinlijlijxxxxxxxx1 1 11 11 11... .....? ? ?? ?? ??? ? ?? ?? ??????aibjnlijlainlijljbjnlijlinlijlijabnxxanxxbnxxnxx1 1 11 11 11./.../../../下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 每個(gè)組合處理 n 次重復(fù)之和 B因素第 j水平an個(gè)數(shù)據(jù)之和 abn個(gè)數(shù)據(jù)總和 A因素第 i水平bn個(gè)數(shù)據(jù)之和 其中， 為總平均數(shù)； αi為 Ai的效應(yīng)； βj為 Bj的效應(yīng)； (αβ) ij為 Ai與 Bj的互作效應(yīng)。 ),2,1。,2,1。,2,1()(nlbjaix ijlijjiijl??? ???????? ???????(632) 兩因素等重復(fù)試驗(yàn)資料的數(shù)學(xué)模型為 : ?????????????????????? ??jiijjiijij..)()()()(ijji ??? ,0)()()(,0,01 1 1 11 1? ? ? ?? ?? ? ? ?? ??????nibjaibjijijijaibjji ????????分別為 Ai、 Bj、 Ai Bj觀測(cè)值總體平均數(shù)；且 偏差平方和與自由度分解 ijl?eBABATeBABATdfdfdfdfdfSSSSSSSSSS??????????下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 （ 530） 其中， SSA B， dfA B為 A因素與 B因素交互作用平方和與自由度。 為隨機(jī)誤差，相互獨(dú)立，且服從 N（ 0， σ2）。 若用 SSAB， dfAB表示 A、 B水平組合間的平方和與自由度，即 處理間平方和與自由度 ，則處理引起的變異可進(jìn)一步剖分為 A因素、 B因素及 A、 B交互作用 三部分，于是 SSAB、 dfAB可分解為： BABAABBABAABdfdfdfdfSSSSSSSS????????下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 （ 531） 矯正數(shù) abnxC /2...? 12 ???? ? ? ? abndfCxSS TijlT ，11 2 . ???? ?? abdfCxnSS ABijAB ，11 2.. ???? ? adfCxbnSS AiA ，11 2 .. ???? ? bdfCxanSS BjB ，總平方和與自由度 因素水平組合平方和與自由度 A因素平方和與自由度 （ 532） 各項(xiàng)平方和、自由度及均方的計(jì)算公式如下： B因素平方和與自由度 )1)(1(,????????badfSSSSSSSSBABAABBA)1(,????nabdfSSSSSSeABTe下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 交互作用平方和與自由度 誤差平方和與自由度 所以，相應(yīng)均方為 eeeBABABABBBAAAdfSSMSdfSSMSdfSSMSdfSSMS/,/,/,/???????因素 A的方差 因素 B的方差 A、 B互作的方差 誤差方差 列方差分析表，進(jìn)行 F檢驗(yàn) 變異來(lái)源 偏差平方和 自由度 方差 F值 顯著性 A因素 SSA a1 SSA/(a1) MSA/MSe B因素 SSB b1 SSB/(b1) MSB/MSe A B SSA B (a1)(b1) SSA B/ (a1)(b1) MSA B/MSe 誤差 SSe ab(n1) 總計(jì) SST abn1 表 528 方差分析表（固定模型） 多重比較 配方（ A） 食品添加劑（ B） B1 B2 B3 A1 8 7 6 8 7 5 8 6 6 A2 9 7 8 9 9 7 8 6 6 A3 7 8 10 7 7 9 6 8 9 表 529 3種食品添加劑對(duì) 3種不同配方蛋糕質(zhì)量的影響 【 例 55】 現(xiàn)有 3種食品添加劑對(duì) 3種不同配方蛋糕質(zhì)量的影響試驗(yàn)結(jié)果，試作方差分析 A因素 （ 配方 ） 有 3個(gè)水平 ， 即 a=3； B因素 （ 食品添加劑 ） 有 3個(gè)水平 ， 即 b=3；共有 ab=3 3=9個(gè)水平組合；每個(gè)水平組合重復(fù)數(shù) n=3；全試驗(yàn)共有=3 3 3=27個(gè)觀測(cè)值 。 下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 （ 1） 計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度 )333/(201/22...????? abnxCC)9988( 22222????????? ? ? ? ?CxSS ijlTC)282024(311 2222.???????? ?? ?CxnSS ijABC)666570(3311C)716961(33112222..2222..??????????????????CxanSSCxbnSSjBiA???????? BAABBASSSSSSSS ????? ABTe SSSSSS18)13(33)1(4)13)(13()1)(1(21312131????????????????????????nabdfbadfbdfadfeBABA下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 813312613331?????????????abdfab ndfABT變異來(lái)源 平方和 自由度 均 方 F 值 顯著性 A因素間 2 * B因素間 2 AxB 4 ** 誤 差 18 總變異 26 表 530 方差分析表 （ 2）列出方差分析表，進(jìn)行 F檢驗(yàn) 查臨界 F值： （ 2,18） =， （ 2,18） =； （ 4,18） =。 因?yàn)椋? FA＞ (2,18） ； FB(2,18） ； FA B＞ （ 4,18） ，表明不同配方、食品添加劑與配方的互作對(duì)蛋糕質(zhì)量有顯著或極顯著影響，而食品添加劑間的差異不顯著。因此，應(yīng)進(jìn)一步進(jìn)行不同處理均數(shù)間、配方各水平均數(shù)間 的多重比較。 ① 配方 因?yàn)?A因素各水平的重復(fù)數(shù)為 bn，故 A因素各水平的標(biāo)準(zhǔn)誤為： 對(duì)本例而言， bnMSS ex i /.... ?2 5 )33/(.. ???ixS下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 （ 3）多重比較 由 dfe=18，秩次距 k=2,3，從附表 5中查出 臨 界值 ，計(jì)算 LSR值 ，結(jié)果列于表 531。 下一