【正文】 分組資料 為例來說明如何進行方差分析。 所謂交叉分組是指 A因素每個水平與 B因素的每個水平都要搭配 ，兩者交叉搭配形成 ab個水平組合即處理 ，試驗因素A 、 B在試驗中處于平等地位 。這種試驗以各處理是無重復(fù)觀測值還是有重復(fù)觀測值又分為兩種類型。 下一張 主 頁 退 出 上一張 兩因素?zé)o重復(fù)試驗資料的方差分析 表 520 兩因素?zé)o重復(fù)觀測值的試驗數(shù)據(jù)模式 注： A因素有 a個水平， B因素有 b個水平，共計有 ab個水平組合，每一組合觀測一次，有 ab個觀測值（表 520），xij 為 A的第 i水平與 B的第 j水平組合觀測值。,2,1( bjaix ijjiij?? ?????? ????下一張 主 頁 退 出 上一張 (526) αi， βj分別為 Ai、 Bj的效應(yīng)； αi=μiμ， βj=μjμ， μi、 μj分別為 Ai、 Bj觀測值總體平均數(shù)， 且 Σαi=0， Σβj=0； εij為隨機誤差，相互獨立，且服從 N(0， σ2) 交叉分組兩因素?zé)o重復(fù)觀測值的試驗， A因素的每個水平有 b次重復(fù)， B因素的每個水平有 a次重復(fù)，每個觀測值同時受到 A、 B 兩因素及隨機誤差的作用。 下一張 主 頁 退 出 上一張 偏差平方和與自由度的分解如下： eBATeBATdfdfdfdfSSSSSSSS?????? (527) 矯正數(shù) 總平方和 A因素偏差平方和 B因素偏差平方和 abxC /2..?CxxxSSaibjijaibjijT ???? ? ?? ?? ?? ? 1 1221..1)(CxbxxbSSaiiaiiA ???? ???? 12.2..1.1)(CxaxxaSSbjjbjjB ???? ???? 12.2..1.1)((528) 各項偏差平方和與自由度的計算公式為 : 誤差平方和 SSe=SSTSSASSB 總自由度 dfT=ab1 A因素自由度 dfA=a1 B因素自由度 dfB=b1 誤差自由度 dfe= dfT dfA – dfB =(a1)(b1) 相應(yīng)均方為 eeeBBBAAAdfSSMSdfSSMSdfSSMS/,/,/???【 例 54】 某廠現(xiàn)有化驗員 3人，擔(dān)任該廠牛奶酸度（ 176。每天從牛奶中抽樣一次進行檢驗，連續(xù) 10天的檢驗分析結(jié)果見表 522。 T ） 。 )103/(???? abxC下一張 主 頁 退 出 上一張 1 計算各項偏差平方和與自由度 C)(311C)(1011)(2222.2222.2222?????????????????????????? ???CxaSSCxbSSCxSSjBiAijT1892299110121312911031??????????????????????????????BATeBATBATedfdfdfdfbdfadfabdfSSSSSSSS 2 列出方差分析表，進行 F檢驗 下一張 主 頁 退 出 上一張 表 622 表 522資料的方差分析表 變異來源 SS df MS F值 顯著性 化驗員間 2 日期間 9 ** 誤差 18 合計 29 結(jié)果表明， 3個化驗員的化驗技術(shù)沒有顯著差異，不同日期牛奶的酸度有極顯著差異。故 ??? aMSS ex j根據(jù) dfe=18，秩次距 k=2， 3 ， … ， 10，查臨界 q 值 ，計算最小顯著極差 LSR，見表 524。酸度最高的是 B7，最低的是 B5和 B2。 在進行兩個因素或多個因素的試驗時，除了要研究每一個因素對試驗指標的影響外，往往更希望知道因素之間的交互作用對試驗指標的影響情況。 下一張 主 頁 退 出 上一張 兩個因素?zé)o重復(fù)觀測值試驗只適用于兩個因素間無交互作用的情況； 若兩因素間有交互作用， 則每個水平組合中只設(shè) 一個試驗單位 (觀察單位 )的試驗設(shè)計是不正確的或不完善的。 (2)這時若仍按前述方法進行方差分析，由于誤差均方值大（包含交互作用在內(nèi)），有可能掩蓋試驗因素的顯著性， 從而增大犯 Ⅱ 型錯誤的概率。 交互作用 交互作用：在多因素試驗中一個因素對試驗結(jié)果的影響依賴于另一因素所取的水平時，稱兩因素有交互作用。即在試驗中不僅因素起作用，而且因素間有時聯(lián)合起來起作用，這種聯(lián)合作用并不等于各因素單獨作用所產(chǎn)生的影響之和，稱這種聯(lián)合作用為交互作用。每塊田以不同的方式施以磷肥和氮肥，其產(chǎn)量如下： 可以看出 當(dāng)施氮肥和不施氮肥時，施以 4公斤磷肥后的增產(chǎn)數(shù)量是不同的 當(dāng)施磷肥和不施磷肥時，施以 6公斤氮肥后的增產(chǎn)數(shù)量是不同的 若 N, P分別起作用時增產(chǎn)為 50, 30kg。 P1=0 P2=4 P2P1 N1=0 400 450 50 N1=6 430 560 130 N2N1 30 110 對兩因素和多因素等重復(fù)試驗結(jié)果進行的分析， 可以研究因素的 簡單效應(yīng) 、 主效應(yīng) 和 因素間的交互作用（互作效應(yīng)） 。 在 A1（殺菌時間 55min）水平上： B2 B 1=； 在 A2 （殺菌時間 65min ）水平上： B2 B1=； 在 B1 （殺菌溫度 116℃ ）水平上： A2A1=； 在 B2 （殺菌溫度 121℃ ）水平上： A2A1= 下一張 主 頁 退 出 上一張 簡單效應(yīng) A1（ 55min） A2(65min) A2A1 平均（ Bj） B1（ 116 ℃ ） B2(121 ℃ ) B2B1 平均（ Ai） 表 526 不同殺菌時間和溫度搭配下成品固形物含量 在表 526中，當(dāng) A因素由 A1水平變到 A2水平時， A因素的主效應(yīng)為 A2水平的平均數(shù)減去 A1水平的平均數(shù) ，即 A因素的主效應(yīng) == 同理， B因素的主效應(yīng) == 由于因素水平的改變而引起的平均數(shù)發(fā)生改變的量稱為主效應(yīng)。 2 主效應(yīng) (main effect) 3 交互作用 （互作 效應(yīng) ， interaction effect） 在多因素試驗中，一個因素的作用要受到另一個因素的影響，表現(xiàn)為某一因素在另一因素的不同水平上所產(chǎn)生的效應(yīng)不同，這種現(xiàn)象稱為該兩因素存在交互作用?；蛘哒f， 某一因素的 簡單效應(yīng)隨著另一因素水平的變化而變化時，則稱該兩因素間存在交互作用 。 表 526中的互作效應(yīng)為： （ +） /2= 下一張 主 頁 退 出 上一張 下一張 主 頁 退 出 上一張 互作效應(yīng)：實際是指由于兩個或兩個以上試驗因素的相互作用而產(chǎn)生的效應(yīng)。試驗結(jié)果的數(shù)據(jù)模式如表 527所示。 ),2,1。,2,1()(nlbjaix ijlijjiijl??? ???????? ???????(632) 兩因素等重復(fù)試驗資料的數(shù)學(xué)模型為 : ?????????????????????? ??jiijjiijij..)()()()(ijji ??? ,0)()()(,0,01 1 1 11 1? ? ? ?? ?? ? ? ?? ??????nibjaibjijijijaibjji ????????分別為 Ai、 Bj、 Ai Bj觀測值總體平均數(shù)；且 偏差平方和與自由度分解 ijl?eBABATeBABATdfdfdfdfdfSSSSSSSSSS??????????下一張 主 頁 退 出 上一張 （ 530） 其中， SSA B， dfA B為 A因素與 B因素交互作用平方和與自由度。 若用 SSAB， dfAB表示 A、 B水平組合間的平方和與自由度，即 處理間平方和與自由度 ，則處理引起的變異可進一步剖分為 A因素、 B因素及 A、 B交互作用 三部分，于是 SSAB、 dfAB可分解為： BABAABBABAABdfdfdfdfSSSSSSSS????????下一張 主 頁 退 出 上一張 （ 531） 矯正數(shù) abnxC /2...? 12 ???? ? ? ? abndfCxSS TijlT ，11 2 . ???? ?? abdfCxnSS ABijAB ，11 2.. ???? ? adfCxbnSS AiA ，11 2 .. ???? ? bdfCxanSS BjB ，總平方和與自由度 因素水平組合平方和與自由度 A因素平方和與自由度 （ 532） 各項平方和、自由度及均方的計算公式如下： B因素平方和與自由度 )1)(1(,????????badfSSSSSSSSBABAABBA)1(,????nabdfSSSSSSeABTe下一張 主 頁 退 出 上一張 交互作用平方和與自由度 誤差平方和與自由度 所以，相應(yīng)均方為 eeeBABABABBBAAAdfSSMSdfSSMSdfSSMSdfSSMS/,/,/,/???????因素 A的方差 因素 B的方差 A、 B互作的方差 誤差方差 列方差分析表，進行 F檢驗 變異來源 偏差平方和 自由度 方差 F值 顯著性 A因素 SSA a1 SSA/(a1) MSA/MSe B因素 SSB b1 SSB/(b1) MSB/MSe A B SSA B (a1)(b1) SSA B/ (a1)(b1) MSA B/MSe 誤差 SSe ab(n1) 總計 SST abn1 表 528 方差分析表（固定模型） 多重比較 配方（ A） 食品添加劑（ B） B1 B2 B3 A1 8 7 6 8 7 5 8 6 6 A2 9 7 8 9 9 7 8 6 6 A3 7 8 10 7 7 9 6 8 9 表 529 3種食品添加劑對 3種不同配方蛋糕質(zhì)量的影響 【 例 55】 現(xiàn)有 3種食品添加劑對 3種不同配方蛋糕質(zhì)量的影響試驗結(jié)果，試作方差分析 A因素 （ 配方 ） 有 3個水平 ， 即 a=3； B因素 （ 食品添加劑 ） 有 3個水平 ， 即 b=3；共有 ab=3 3=9個水平組合；每個水平組合重復(fù)數(shù) n=3；全試驗共有=3 3 3=27個觀測值 。 因為， FA＞ (2,18） ； FB(2,18） ； FA B＞ （ 4,18） ，表明不同配方、食品添加劑與配方的互作對蛋糕質(zhì)量有顯著或極顯著影響，而食品添加劑間的差異不顯著。 ① 配方 因為 A因素各水平的重復(fù)數(shù)為 bn，故 A因素各水平的標準誤為： 對本例而言， bnMSS ex i /.... ?2 5 )33/(.. ???ixS下一張 主 頁 退 出 上一張 （ 3）多重比較 由 dfe=18，秩次距 k=2,3，從附表 5中查出 臨 界值 ，計算 LSR值 ，結(jié)果列于表