gauss消元-資料下載頁
2025-08-01 17:20本頁面
【正文】 ，具有計(jì)算簡的基本方法，它是直接消元法是解線性方程組的事。是一件很簡單個(gè)未知量的線性方程組算機(jī)解含有從這個(gè)表可以看出用計(jì)回代消元的函數(shù)）代時(shí)間（作為陣按秒計(jì)算得消元及回矩那么下表給出，對(duì)滿的為用在一次運(yùn)算上的時(shí)間假設(shè)對(duì)某計(jì)算機(jī)來說，上。在簡約成三角形的形式大時(shí)，主要的工作量花而當(dāng)G a u s snnsnp100:,151?? 方法的特點(diǎn) 由具體計(jì)算結(jié)果可知 ,全主元素法的精度優(yōu)于主元素法 ,這是由于全主元素是在全體系數(shù)中選主元 ,故它對(duì)控制舍入誤差十分有效 .但全主元素法在計(jì)算過程中 ,需同時(shí)作行與列的互換 ,因而程序比較復(fù)雜 ,計(jì)算時(shí)間較長 .列主元素法的精度雖稍低于全主元素法 ,但其計(jì)算簡單工作量大為減少 ,且計(jì)算經(jīng)驗(yàn)與理論分析均表明 ,它與全主元素法同樣具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性 ,列主元素法是求解中小型稠密性方程組的最好方法之一 . (選主元消去法 (包括解線性方程組的所有直接的方法 )比較適用于中小型方程組 .對(duì)高階方程組 ,即使奇數(shù)矩陣是稀疏的 ,但在計(jì)算中很難保持稀疏性 ,因而有存儲(chǔ)量大，程序復(fù)雜等不足 ,所幸的是這一缺點(diǎn)可用迭代法解決 . 另外 ,高斯選主元消去法還可技巧性的解決一些特殊線性方程組 由于誤差的影響 ,計(jì)算過程中可能出現(xiàn)一些壞現(xiàn)象 ,要盡可能防止 ,表現(xiàn)在求解線性方程組的消元法比較上 ,則應(yīng)該注意要簡化運(yùn)算 ,減小運(yùn)算次數(shù) ,提高效率 。提高數(shù)值穩(wěn)定性等 . 線性方程組解對(duì)系數(shù)的敏感性 在計(jì)算過程中，由于計(jì)算機(jī)字長的有限性，不可避免地產(chǎn)生所謂的舍入誤差。同時(shí)，由于所求問題的初始數(shù)據(jù)（例如線形方程組的系數(shù)矩陣和右端項(xiàng)系數(shù)）往往是帶有一定誤差的。因此計(jì)算結(jié)果總是不可避免地帶有誤差，或者說，如果初始數(shù)據(jù)有擾動(dòng)，勢(shì)必將帶來具有一定誤差的計(jì)算結(jié)果６雜諳咝畏匠套 A x = b來說，由于觀測(cè)或計(jì)算等原因，線形方程組兩端的系數(shù) A和 b都帶有誤差 ?A和 ?b，這樣實(shí)際建立的方程組是近似方程組 (A+?A)(x+?x)=b+?b。對(duì)近似方程組求出的解是原問題的真解 x加上誤差 ?x,即 x+?x。而 ? x是由 ?A及 ?b引起的，它的大小將直接影響所求解的可靠性。 這種解依賴于方程組系數(shù)的誤差 ?A及 ?b的問題，稱為線性方程組解對(duì)系數(shù)的敏感性。 方程組的系數(shù)矩陣發(fā)生微小擾動(dòng) ， 就有可能引起方程組性質(zhì)上的變化 ， 這是方程組本身的 “ 條件問題 ” 。 相對(duì)誤差關(guān)系式 ： 設(shè)原線形方程組 A x= b 和近似方程組 (A+?A)(x+?x)=b+?b 在 ?A=0,?b?0 ?A?0,?b=0 ?????????????AAAA111bbAA ?? ????? ? 1???????????????????bbAAAA ????111一般情形 由這些關(guān)系式可看到 ， 帶有擾動(dòng)的近似方程組中 ， 擾動(dòng)的大小直接影響著所求解的相對(duì)誤差 ， 故可作如下定義： 定義：設(shè) A非奇異 ， 稱 ||A1||||A|| 為矩陣 A的條件數(shù) ， 記 為 Cond (A)， 即 Cond (A)= ||A1||||A||. Cond (A)可反映出方程組解對(duì)系數(shù)的敏感性。 對(duì)此，可通過下面的例子加以理解。 方程組 此方程組的準(zhǔn)確解為 x1=0, x2=1。 現(xiàn)將其右端加以微小的擾動(dòng)使之變?yōu)椋? 經(jīng)計(jì)算可得準(zhǔn)確解為 x1=2, x2=3. 這兩個(gè)方程組的解相差很大 ， 說明方程組的解對(duì)常數(shù)項(xiàng) b的擾動(dòng)很敏感 。 同時(shí)注意到 ||A||=, ||A1||=?104 ,故有 Cond (A)= ?105 ,可見條件數(shù)很大 . ???????1210 0 2121XXXX???????120 0 0 2121XXXXTb )0,(??一般來說 ， 方程組的條件數(shù)越小 ， 求得的解就越可靠；反之， 解的可靠性就越差 。 通常當(dāng)從方程組 A x = b求出計(jì)算解 x**后 ， 有時(shí)用殘向量 r = b Ax** 的大小來檢驗(yàn) x**的精度 ， 認(rèn)為如果對(duì)某種范數(shù) ||r||很小 ， 就說明是好的 。 不過要記住這種處理在某些情況下是不準(zhǔn)確的， 例如 ， 對(duì)上述舉例的方程組 ， 當(dāng)用某種方法求得計(jì)算解后 ，則有 ， 顯然 ||r||是很小的 ， 但與其真實(shí)解相差很大 。 為說明這方面的原因 ， 我們可以把殘向量 r看成是 A x = b的右端有擾動(dòng)的 ?b， 由相對(duì)誤差關(guān)系式 ， 有： brc o n dbr )(1 ??????????不可輕易用殘向量 ||r||的大小來判斷計(jì)算解的精度
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