第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征-資料下載頁
2025-08-01 13:40本頁面
【正文】 y x y x y x yx y y x x y yx x x x x?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ????? ??? ? ? ???元故該商品每周期望獲利為 14167元 . 44 四 , 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 1. 設(shè) C是常數(shù) , 則 E(C)=C 2. 若 C是常數(shù) , 則 E(CX)=CE(X)。 證明 只對離散型情形進(jìn)行證明 , 設(shè) X的概率分布為 P{X=xi}=pi, (i=1,2,?), 由定理 1, 有 11( ) ( ) ( )i i i iiiE CX Cx p C x p CE X????? ? ???45 3. E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)。 注 : 這個性質(zhì)可推廣到有限個隨機(jī)變量之和的情形 . 4. 設(shè) X,Y獨(dú)立 , 則 E(XY)=E(X)E(Y)。 證明 只對連續(xù)型情形證明 , 設(shè) (X,Y)的聯(lián)合密度為 f(x,y), 其邊緣概率密度分別為 fX(x)和 fY(y), 由定理 2知 ( ) ( , ) d dE X Y x y f x y x y? ? ? ? ? ?? ??46 因?yàn)?X和 Y相互獨(dú)立 , f(x,y)=fX(x)?fY(y), 所以有 ( ) ( ) ( ) d d( ) d ( ) d( ) ( )XYXYE X Y x y f x f y x yx f x x y f y yE X E Y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????????注 :由 E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出 X,Y獨(dú)立 . 47 例如 , 在例 6中 , 我們已計(jì)算得 E(XY)=E(X)E(Y)=9/4, 但 P{X=1,Y=0}=0, P{X=1}=3/4, P{Y=0}=1/8, 顯然 P{X=1,Y=0}?P{X=1}?P{Y=0} 故 X與 Y不獨(dú)立 . 48 例 10 一民航送客車載有 20位旅客自機(jī)場開出 , 旅客有 10個車站可以下車 . 如到達(dá)一個車站沒有旅客下車就不停車 . 以 X表示停車的次數(shù) , 求 E(X)(設(shè)每位旅客在各個車站下車是等可能的 , 并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立 . 49 解 引入隨機(jī)變量 .10,2,1,1,0?????? iiiX i站有人下車在第站沒有人下車在第易知 X=X1+X2+ … + X10. 按題意 , 任一旅客不在第 i站下車的概率為 9/10, 因此 20位旅客都不在第 i站下車的概率為 (9/10)20, 在第 i站有人下車的概率為 1(9/10)20, 也就是 P{Xi=0}=(9/10)20, P{Xi=1}=1(9/10)20, i=1,2, …,10. 50 P{Xi=0}=(9/10)20, P{Xi=1}=1(9/10)20, i=1,2, …,10. 由此 E(Xi)=1(9/10)20, i=1,2, …,10. 進(jìn)而 E(X)=E(X1+X2+ … + X10) =E(X1)+E(X2)+ … + E(X10) =10?[1(9/10)20]=(次 ) 51 注 : 本題是將 X分解成數(shù)個隨機(jī)變量之和 , 然后利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之和來求數(shù)學(xué)期望 , 這種處理方法具有一定的普遍意義 . 52 課堂練習(xí) 1. 設(shè)甲 , 乙兩人玩必分勝負(fù)的賭博游戲 , 假定游戲的規(guī)則不公正 , 以致兩人獲勝的概率不等 , 甲為 p, 乙為 q, pq, p+q=1. 為了補(bǔ)償乙的不利地位 , 另行規(guī)定兩人下的賭注不相等 , 甲為 a, 乙為 b, ab. 現(xiàn)在的問題是 : a究竟應(yīng)比 b大多少 , 才能做到公正 ? 53 2. 某種新藥在 400名病人中進(jìn)行臨床試驗(yàn) , 有一半人服用 , 一半人未服 , 經(jīng)過 5天后 , 有 210人痊愈 , 其中 190人是服了新藥的 . 試用概率統(tǒng)計(jì)方法說明新藥的療效 . 3. 把數(shù)字 1,2, …, n任意地排成一列 , 如果數(shù)字 k恰好出現(xiàn)在第 k個位置上 , 則稱為一個巧合 , 求巧合個數(shù)的數(shù)學(xué)期望 .
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