【正文】 11212 IM??22121 IM??互感的單位與自感相同 。 同樣 ， 我們可以用載流回路 C2的磁場在回路 C1上產(chǎn)生的磁鏈 Ψ21與電流 I2的比來定義互感 M21， 即 互感的大小也取決于回路的尺寸、形狀以及介質(zhì)的磁導(dǎo)率和回路的匝數(shù)。 第三章 恒定電流的電場和磁場 圖 320 內(nèi)自感 第三章 恒定電流的電場和磁場 當(dāng)導(dǎo)線的直徑遠(yuǎn)小于回路的尺寸而且也遠(yuǎn)小于兩個(gè)回路之間的最近距離時(shí) ， 兩回路都可以用軸線的幾何回路代替 。 設(shè)兩個(gè)回路都只有一匝 。 當(dāng)回路 C1載有電流 I1時(shí) ， C2上的磁鏈為 212211212 2 2 dlAdSBS C ?????? ? ??式中， A12為電流 I1在 C2上的磁矢位，即 ?? 1 11012 4 C RdlIA ??? ?? ??????2 12 12101121221101244C CC CRdldlIMRdldlI??????第三章 恒定電流的電場和磁場 MMM ?? 2112? ? ?? C C R dldlL 2104 ??? ? ?? 2 1 2104 C Ce R dldlL ??第三章 恒定電流的電場和磁場 例 3 9 求無限長平行雙導(dǎo)線 (如圖 3 21所示 )單位長外自感 。 圖 321 平行雙導(dǎo)線 第三章 恒定電流的電場和磁場 解： 設(shè)導(dǎo)線中電流為 I， 由無限長導(dǎo)線的磁場公式 ， 可得兩導(dǎo)線之間軸線所在的平面上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 )(2200xdIxIB??? ????磁場的方向與導(dǎo)線回路平面垂直。單位長度上的外磁鏈為 aadnIB d xada??? ? ? 10???所以單位長外自感為 aadnL ?? 10??第三章 恒定電流的電場和磁場 磁場能量 為簡單起見 ， 先計(jì)算兩個(gè)分別載流 I1和 I2的電流回路系統(tǒng)所儲存的磁場能量 。 假定回路的形狀 、 相對位置不變 ， 同時(shí)忽略焦耳熱損耗 。 在建立磁場的過程中 ， 兩回路的電流分別為 i1(t)和 i2(t)，最初 ， i1=0， i2=0， 最終 ， i1=I1, i2=I2。 在這一過程中 ， 電源作的功轉(zhuǎn)變成磁場能量 。 我們知道 ， 系統(tǒng)的總能量只與系統(tǒng)最終的狀態(tài)有關(guān) ， 與建立狀態(tài)的方式無關(guān) 。 為計(jì)算這個(gè)能量 ， 先假定回路 2 的電流為零 ， 求出回路 1中的電流 i1從零增加到 I1時(shí) ， 電源作的功 W1；其次 ， 回路 1 中的電流 I1不變 ， 求出回路 2 中的電流從零增加到 I2時(shí) ， 電源作的功 W2。 從而得出這一過程中 ， 電源對整個(gè)回路系統(tǒng)作的總功 Wm=W1+W2。 第三章 恒定電流的電場和磁場 當(dāng)保持回路 2 的電流 i2=0時(shí) ， 回路 1中的電流 i1在 dt時(shí)間內(nèi)有一個(gè)增量 di1, 周圍空間的磁場將發(fā)生改變 ， 回路 1和 2 的磁通分別有增量 dΨ11和 dΨ12， 相應(yīng)地在兩個(gè)回路中要產(chǎn)生感應(yīng)電勢 E1=dΨ11/dt和 E2=dΨ12/dt。 感應(yīng)電勢的方向總是阻止電流增加 。 因而 ，為使回路 1 中的電流得到增量 di1, 必須在回路 1 中外加電壓 U1=E1；為使回路 2 電流為零 ， 也必須在回路 2 加上電壓 U2=E2。 所以在 dt時(shí)間里 ， 電源作功為 111111111122111diiLdidtiEdtiUdtiUdtiUdW????????第三章 恒定電流的電場和磁場 在回路的電流從零到 I1的過程中，電源作功為 2110 11111 211 ILdiiLdWW I? ? ??? 計(jì)算當(dāng)回路 1的電流 I1保持不變時(shí) ， 使回路 2的電流從零增到 I2， 電源作的功 W2。 若在 dt時(shí)間內(nèi) ， 電流 i2有增量 di2， 這時(shí)回路 1中感應(yīng)電勢為 E1=dΨ21/dt， 回路 2 中的感應(yīng)電勢為 E2=dΨ22/dt。 為克服感應(yīng)電勢 ， 必須在兩個(gè)回路上加上與感應(yīng)電勢反向的電壓 。 在 dt時(shí)間內(nèi) ， 電源作功為 dW2=M21I1di2+L2i2di2 第三章 恒定電流的電場和磁場 積分得回路 1 電流保持不變時(shí)， 電源作功總量為 2222210 22212122 21)(2 ILIMdiiLIMdWW I? ? ?????電源對整個(gè)電流回路系統(tǒng)所作的總功為 2222121211212 2121 ILILMILWWW ?????221122212121112221121221112121)(21)(21)(21)(21IIIIIILIMIIMILWm????????????????第三章 恒定電流的電場和磁場 推廣到 N個(gè)電流回路系統(tǒng)， 其磁能為 ???Niiim IW121 ?式中： jjiNjNjjiiIMZ?? ???1 1??? ????Ni CiimidlAIW121代入后得： 對于分布電流，用 Iidli=JdV代入上式，得 ? ?? Vm A d VJW 21第三章 恒定電流的電場和磁場 類似于靜電場的能量可以用電場矢量 D和 E表示 ， 磁場能量也可用磁場矢量 B和 H表示 ， 并由此得出磁通密度的概念 。 將▽ H=J代入上式 ， 得 ? ?????????????????????V SVVmdSHAB dVHdVHAHdVHAW)(2121)]()([21)(21注意 ， 上式中當(dāng)積分區(qū)域 V趨于無窮時(shí) ， 面積分項(xiàng)為零 (理由同靜電場能量里的類似 )。 于是得到 ? ?? Vm B d VHW 21磁場能量密度為 HBw m ?? 21第三章 恒定電流的電場和磁場 例 3 10 求無限長圓柱導(dǎo)體單位長度的內(nèi)自感 。 解 ：設(shè)導(dǎo)體半徑為 a，通過的電流為 I，則距離軸心 r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 202 aIrB??? ?單位長度的磁場能量為 ?????162212121201002020Idzr d rBdVBB H d VWami????????單位長度的內(nèi)自感為 ??82 02 ?? IWL mii第三章 恒定電流的電場和磁場 磁 場 力 1. 當(dāng)磁鏈不變時(shí) ， 各個(gè)回路中的感應(yīng)電勢為零 ， 所以電源不作功 。 磁場力作的功必來自磁場能量的減少 。 如將回路 C1受到的磁場力記為 F， 它作的功為 FΔr， 所以 ?rWFWrFmrm?????????寫成矢量形式，有 ?mWF ???第三章 恒定電流的電場和磁場 2. 當(dāng)各個(gè)回路的電流不變時(shí) ， 各回路的磁鏈要發(fā)生變化 ， 在各回路中會產(chǎn)生感應(yīng)電勢 ， 電源要作功 。 在回路 Δr產(chǎn)生位移時(shí) ， 電源作功為 2211 ?? ????? IIW b)(21 2211 ?? ????? IIW m磁場能量的變化為 ImmmbWFWrFrFWW????????????第三章 恒定電流的電場和磁場 例 3 11 設(shè)兩導(dǎo)體平面的長為 l， 寬為 b, 間隔為 d， 上 、 下面分別有方向相反的面電流 JS0(如圖 3 22 所示 )。 設(shè) bz, lz，求上面一片導(dǎo)體板面電流所受的力 。 圖 322 平行面電流磁力 第三章 恒定電流的電場和磁場 解： 考慮到間隔遠(yuǎn)小于其尺寸 ， 故可以看成無限大面電流 。 由安培回路定律可以求出兩導(dǎo)體板之間磁場為 B=exμ0JS0， 導(dǎo)體外磁場為零 。 當(dāng)用虛位移法計(jì)算上面的導(dǎo)體板受力時(shí) ， 假設(shè)兩板間隔為一變量 z。 磁場能為 l b zJB H VW Sm 2 000 2121 ?? ??假定上導(dǎo)體板位移時(shí)，電流不變， lbJezWeF Szmz 2 0021 ?????這個(gè)力為斥力。