【正文】 定電流的電場和磁場 令 ? ??131104 C RRdlIB??若電流不是線電流，而是具有體分布的電流 J，則式 (329)改為 (329) 39。)39。(4)( 30 dVR RrJrBV?????39。)39。(4)( 30 dSR RrJrBSS? ????BI d ldF ??第三章 恒定電流的電場和磁場 可以用上式計算各種形狀的載流回路在外磁場中受到的力和力矩 。 對以速度 v運動的點電荷 q， 其在外磁場 B中受的力是 BqvF ?? 如果空間還存在外電場 E， 電荷 q受到的力還要加上電場力 。這樣 ， 就得到帶電 q以速度 v運動的點電荷在外電磁場 (E， B)中受到的電磁力為 )( BvEqF ???上式稱為洛侖茲力公式。 第三章 恒定電流的電場和磁場 例 3 4 求載流 I的有限長直導線 (參見圖 3 9)外任一點的磁場 。 圖 39 例 3 4 用圖 第三章 恒定電流的電場和磁場 解： 取直導線的中心為坐標原點，導線和 z軸重合，在圓柱坐標中計算。 ? ?? C R RI d lrB 30 39。4)( ??從對稱關系能夠看出磁場與坐標 φ無關 。 不失一般性 ， 將場點取在 φ =0， 即場點坐標為 (r, 0, z)， 源點坐標為 (0， 0， z′)。 ????s e cs e c39。39。s e c39。,t a n39。39。,39。39。,22rRredzedlrdzrzzrrRezrzererzzzzr????????????第三章 恒定電流的電場和磁場 ??? 22 s e c39。])39。([39。39。rer d zeezzredzeRdl zrz?????????所以 )s i n( s i n4c o s439。421002/2/3021???????????????????????rrIedrIeRRdlIBll第三章 恒定電流的電場和磁場 式中： 222221)2/(2/s i n)2/(2/s i nlzzlzlzzlz??????????對于無限長直導線 (l→∞) ， α1=π/2, α2=π/2，其產生的磁場為 rIeB??? 20?第三章 恒定電流的電場和磁場 恒定磁場的基本方程 磁通連續(xù)性原理 磁感應強度在有向曲面上的通量簡稱為磁通量 (或磁通 )，單位是 Wb(韋伯 )， 用 Φ表示： ? ??? s dSB如 S是一個閉曲面， 則 ? ??? S dSB第三章 恒定電流的電場和磁場 ???? ? ??????? SCCS S R dSRI d ldSR RI d ldSB 3030 4 39。39。4 ????上式中， ，故可將其改寫為 ?????????RRR 13?? ? ?????? ???????????? SS C dSRI dldSB 14 39。0 ??由矢量恒定式 ? ? ?????V S dSAA d V第三章 恒定電流的電場和磁場 則有 dVRI d ldSBVS C???????????? ?? ? 1439。0??而梯度場是無旋的， 01??????????R所以 ? ??S dSB 0第三章 恒定電流的電場和磁場 使用散度定理， 得到 ? ? ?????S V B dVdSB 0由于上式中積分區(qū)域 V是任意的， 所以對空間的各點， 有 0??? B 上式是磁通連續(xù)性原理的微分形式 ， 它表明磁感應強度 B是一個無源 (指散度源 )場 。 第三章 恒定電流的電場和磁場 安培環(huán)路定律 圖 310 環(huán)路定律 第三章 恒定電流的電場和磁場 ???????????39。3039。30)39。(439。4CCdldlRRIdlRRdlIdlB????假設回路 C′對 P點的立體角為 Ω， 同時 P點位移 dl引起的立體角增量為 dΩ， 那么 P點固定而回路 C′位移 dl所引起的立體角增量也為 dΩ′。dl dl′是 dl′位移 dl所形成的有向面積 。 注意到 R=rr′， 這個立體角為 。 把其對回路 C′積分 ， 就得到 P點對回路 C′移動 dl時所掃過的面積張的立體角 ， 記其為 dΩ， 則以上的磁場環(huán)量可以表示為 3)()39。(RRdldld ?????第三章 恒定電流的電場和磁場 ?? ??? CC dIdlB??40可以證明，當載流回路 C′和積分回路 C相交鏈時，有 ?4???Cd當載流回路 C′和積分回路 C不交鏈時，有 0???Cd這樣當積分回路 C和電流 I相交鏈時，可得 IdlBC 0????(3 36) 第三章 恒定電流的電場和磁場 當穿過積分回路 C的電流是幾個電流時， 可以將式 (3 36)改寫為一般形式： ?? ?? IdlBC 0? 根據斯托克斯定理，可以導出安培回路定律的微分形式： ?? ????? CC dSBdlB )(由于 ? ? ?? S dSJI第三章 恒定電流的電場和磁場 ?? ????? SS dSJdSB 0)( ?因積分區(qū)域 S是任意的， 因而有 JB 0???? 上式是安培環(huán)路定律的微分形式 ， 它說明磁場的渦旋源是電流 。 我們可用此式從磁場求電流分布 。 對于對稱分布的電流 ， 我們可以用安培環(huán)路定律的積分形式 ， 從電流求出磁場 。 第三章 恒定電流的電場和磁場 例 35 半徑為 a的無限長直導線 ， 載有電流 I， 計算導體內 、外的磁感應強度 。 解 : ?? ???? SC dSJrBdlB 02 ??在導線內電流均勻分布， 導線外電流為零， ??????02aIeJz? r ≤ a ra 第三章 恒定電流的電場和磁場 當 ra時 ， 積分回路包圍的電流為 I； 當 r≤a時 ， 包圍電流為Ir2/a2。 所以當 r≤a時 ， 2022022aIrBaIrrB??????當 ra時， rIBIrB????2200??寫成矢量形式為 ????????rIeaIreB??????22020 r ≤ a ra 第三章 恒定電流的電場和磁場 矢 量 磁 位 可以令 AB ??? 稱式中的 A為矢量磁位 (簡稱磁矢位 )， 其單位是 Tm(特斯拉 米 )或 Wb/m(韋伯 /米 )。 矢量磁位是一個輔助量 。 式 (3 40)僅僅規(guī)定了磁矢位 A的旋度 ， 而 A的散度可以任意假定 。 因為若B=▽ A， 另一矢量 A′=A+ ▽ Ψ， 其中 Ψ是一個任意標量函數 ， 則 BAAA ????????????? ?39。0??? A第三章 恒定電流的電場和磁場 JA 0??????使用矢量恒等式 AAA ??????????? 2JA 02 ????上式是磁矢位滿足的微分方程 ， 稱為磁矢位的泊松方程 。 對無源區(qū) (J=0)， 磁矢位滿足矢量拉普拉斯方程 ， 即 02 ?? Azzyyxx AeAeAeA2222 ???????第三章 恒定電流的電場和磁場 zzyyxxJAJAJA020202