【正文】 定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 令 ? ??131104 C RRdlIB??若電流不是線電流，而是具有體分布的電流 J，則式 (329)改為 (329) 39。)39。(4)( 30 dVR RrJrBV?????39。)39。(4)( 30 dSR RrJrBSS? ????BI d ldF ??第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 可以用上式計(jì)算各種形狀的載流回路在外磁場(chǎng)中受到的力和力矩 。 對(duì)以速度 v運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷 q， 其在外磁場(chǎng) B中受的力是 BqvF ?? 如果空間還存在外電場(chǎng) E， 電荷 q受到的力還要加上電場(chǎng)力 。這樣 ， 就得到帶電 q以速度 v運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷在外電磁場(chǎng) (E， B)中受到的電磁力為 )( BvEqF ???上式稱為洛侖茲力公式。 第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 例 3 4 求載流 I的有限長(zhǎng)直導(dǎo)線 (參見圖 3 9)外任一點(diǎn)的磁場(chǎng) 。 圖 39 例 3 4 用圖 第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 解： 取直導(dǎo)線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，導(dǎo)線和 z軸重合，在圓柱坐標(biāo)中計(jì)算。 ? ?? C R RI d lrB 30 39。4)( ??從對(duì)稱關(guān)系能夠看出磁場(chǎng)與坐標(biāo) φ無(wú)關(guān) 。 不失一般性 ， 將場(chǎng)點(diǎn)取在 φ =0， 即場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)為 (r, 0, z)， 源點(diǎn)坐標(biāo)為 (0， 0， z′)。 ????s e cs e c39。39。s e c39。,t a n39。39。,39。39。,22rRredzedlrdzrzzrrRezrzererzzzzr????????????第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) ??? 22 s e c39。])39。([39。39。rer d zeezzredzeRdl zrz?????????所以 )s i n( s i n4c o s439。421002/2/3021???????????????????????rrIedrIeRRdlIBll第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 式中： 222221)2/(2/s i n)2/(2/s i nlzzlzlzzlz??????????對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線 (l→∞) ， α1=π/2, α2=π/2，其產(chǎn)生的磁場(chǎng)為 rIeB??? 20?第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 恒定磁場(chǎng)的基本方程 磁通連續(xù)性原理 磁感應(yīng)強(qiáng)度在有向曲面上的通量簡(jiǎn)稱為磁通量 (或磁通 )，單位是 Wb(韋伯 )， 用 Φ表示： ? ??? s dSB如 S是一個(gè)閉曲面， 則 ? ??? S dSB第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) ???? ? ??????? SCCS S R dSRI d ldSR RI d ldSB 3030 4 39。39。4 ????上式中， ，故可將其改寫為 ?????????RRR 13?? ? ?????? ???????????? SS C dSRI dldSB 14 39。0 ??由矢量恒定式 ? ? ?????V S dSAA d V第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 則有 dVRI d ldSBVS C???????????? ?? ? 1439。0??而梯度場(chǎng)是無(wú)旋的， 01??????????R所以 ? ??S dSB 0第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 使用散度定理， 得到 ? ? ?????S V B dVdSB 0由于上式中積分區(qū)域 V是任意的， 所以對(duì)空間的各點(diǎn)， 有 0??? B 上式是磁通連續(xù)性原理的微分形式 ， 它表明磁感應(yīng)強(qiáng)度 B是一個(gè)無(wú)源 (指散度源 )場(chǎng) 。 第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 安培環(huán)路定律 圖 310 環(huán)路定律 第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) ???????????39。3039。30)39。(439。4CCdldlRRIdlRRdlIdlB????假設(shè)回路 C′對(duì) P點(diǎn)的立體角為 Ω， 同時(shí) P點(diǎn)位移 dl引起的立體角增量為 dΩ， 那么 P點(diǎn)固定而回路 C′位移 dl所引起的立體角增量也為 dΩ′。dl dl′是 dl′位移 dl所形成的有向面積 。 注意到 R=rr′， 這個(gè)立體角為 。 把其對(duì)回路 C′積分 ， 就得到 P點(diǎn)對(duì)回路 C′移動(dòng) dl時(shí)所掃過(guò)的面積張的立體角 ， 記其為 dΩ， 則以上的磁場(chǎng)環(huán)量可以表示為 3)()39。(RRdldld ?????第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) ?? ??? CC dIdlB??40可以證明，當(dāng)載流回路 C′和積分回路 C相交鏈時(shí)，有 ?4???Cd當(dāng)載流回路 C′和積分回路 C不交鏈時(shí)，有 0???Cd這樣當(dāng)積分回路 C和電流 I相交鏈時(shí)，可得 IdlBC 0????(3 36) 第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 當(dāng)穿過(guò)積分回路 C的電流是幾個(gè)電流時(shí)， 可以將式 (3 36)改寫為一般形式： ?? ?? IdlBC 0? 根據(jù)斯托克斯定理，可以導(dǎo)出安培回路定律的微分形式： ?? ????? CC dSBdlB )(由于 ? ? ?? S dSJI第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) ?? ????? SS dSJdSB 0)( ?因積分區(qū)域 S是任意的， 因而有 JB 0???? 上式是安培環(huán)路定律的微分形式 ， 它說(shuō)明磁場(chǎng)的渦旋源是電流 。 我們可用此式從磁場(chǎng)求電流分布 。 對(duì)于對(duì)稱分布的電流 ， 我們可以用安培環(huán)路定律的積分形式 ， 從電流求出磁場(chǎng) 。 第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 例 35 半徑為 a的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線 ， 載有電流 I， 計(jì)算導(dǎo)體內(nèi) 、外的磁感應(yīng)強(qiáng)度 。 解 : ?? ???? SC dSJrBdlB 02 ??在導(dǎo)線內(nèi)電流均勻分布， 導(dǎo)線外電流為零， ??????02aIeJz? r ≤ a ra 第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 當(dāng) ra時(shí) ， 積分回路包圍的電流為 I； 當(dāng) r≤a時(shí) ， 包圍電流為Ir2/a2。 所以當(dāng) r≤a時(shí) ， 2022022aIrBaIrrB??????當(dāng) ra時(shí)， rIBIrB????2200??寫成矢量形式為 ????????rIeaIreB??????22020 r ≤ a ra 第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 矢 量 磁 位 可以令 AB ??? 稱式中的 A為矢量磁位 (簡(jiǎn)稱磁矢位 )， 其單位是 Tm(特斯拉 米 )或 Wb/m(韋伯 /米 )。 矢量磁位是一個(gè)輔助量 。 式 (3 40)僅僅規(guī)定了磁矢位 A的旋度 ， 而 A的散度可以任意假定 。 因?yàn)槿鬊=▽ A， 另一矢量 A′=A+ ▽ Ψ， 其中 Ψ是一個(gè)任意標(biāo)量函數(shù) ， 則 BAAA ????????????? ?39。0??? A第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) JA 0??????使用矢量恒等式 AAA ??????????? 2JA 02 ????上式是磁矢位滿足的微分方程 ， 稱為磁矢位的泊松方程 。 對(duì)無(wú)源區(qū) (J=0)， 磁矢位滿足矢量拉普拉斯方程 ， 即 02 ?? Azzyyxx AeAeAeA2222 ???????第三章 恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng) zzyyxxJAJAJA020202