【正文】 （3，1），（2，3），（3，2），（4，4），（5，5），（6，6），（5，6），（6，5）} R的關系圖31．設R是集合A上的關系R是循環(huán)∷＝（a∈A）（b∈A）（c∈A）（aRb∧bRc222。cRa）證明：R是自反的和循環(huán)的，當且僅當R是等價關系。[證] 證法一：必要性若R是自反的和循環(huán)的，我們來證R是等價關系，為此證明（a）R是自反的。必要性條件所給。（b）R是對稱的對任何（a，b）∈R，由于R是自反的，所以（b，b）∈R，再根據(jù)R是循環(huán)的可得（b，a）∈R。（c）R是傳遞的對任何（a，b）∈R，（b，c）∈R，由于R是循環(huán)的，所以（c，a）∈R，利用R是對稱的，就得到（a，c）∈R。充分性若R是等價關系，我們來證R是自反的和循環(huán)的。1）R是自反的。因R是等價關系，故R是自反的。2）R是循環(huán)的對任何（a，b）∈R，（b，c）∈R，由于R是傳遞的，所以（a，c）∈R。由于R是對稱的，（c，a）∈R。證法二：222。)：（a）R是自反的：已知；（b）R是對稱的：對任何a，b206。A，(a,b)206。R222。(a,b)206。R217。(b,b)206。R (R是自反的)222。(b,a)206。R (R是循環(huán)的)所以，R是對稱的；（c）R是傳遞的：對任何a，b，c206。A，(a,b)206。R217。(b,c)206。R222。(c,a)206。R (R是循環(huán)的)222。(a,c)206。R (R是對稱的)所以，R是傳遞的；綜合（a），（b），（c）可知R是等價關系；220。)：（a）R是自反的：因為R是等價關系，所以R是自反的；（b）R是循環(huán)的：對任何a，b，c206。A，(a,b)206。R217。(b,c)206。R222。(a,c)206。R (R是傳遞的)222。(c,a)206。R (R是對稱的)所以，R是循環(huán)的；32．設∏1和∏2是非空集合A的劃分，說明下面各種情況哪些是A的劃分？哪些不是A的劃分？哪些可能是A的劃分？并闡明理由。1）∏1∪∏22）∏1∩∏23）∏1\∏24)（∏1∩（∏2\∏1））∪∏1[解] 1）可能。如果∏1=∏2，則∏1∪∏2是A的劃分；如果，∏1≠∏2，則∏1∪∏2不是A的劃分；例如A={a，b}，∏1={{a}，}，∏2={{a，b}}，但∏1∪∏2={{a}，，{a，b}}就不是A的劃分，因為{a}∩{a，b}={a}≠198。，就不是A的劃分，因為{a}∩{a，b}={a}≠198。 2）可能。如果∏1=∏2，則∏1∩∏2是A的劃分；如果，∏1≠∏2，則∏1∩∏2不是A的劃分；例如A={a，b}，∏1={{a}，}，∏2={{a，b}}，∏1∩∏2=198。，就不是A的劃分。 3）可能。如果∏1∩∏2=198。，則∏1\∏2=∏1是A的劃分；如果∏1∩∏2≠198。，則∏1\∏2不是A的劃分；例如A={a，b，c}，∏1={{a}，，{c}}，∏2={{a}，{b，c}}，∏1∩∏2={{a}}因此∏1\∏2={，{c}}就不是A的劃分。因為∪{c}={b，c}≠A。 4）是。因為（∏1∩（∏2\∏1））∪∏1=198?！取?=∏1，是A的劃分。33．對下列集合上的整除關系畫出哈斯圖，并對3）中的子集{2，3，6}，{2，4，6}，{4，8，12}找出最大元素，最小元素，極大元素，極小元素，上確界，下確界。1）{1，2，3，4}2）{2，3，6，12，24，36}3）{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}4213243612623[解] 1）的Hasse圖 2）的Hass圖 在3）的Hasse圖中可以看出，1191263105718423）的Hasse圖①{2，3，6}的最大元素為6；極大元素也為6；極汴元素為2和3；上確界為6；下確界為1；沒有最小元素。②{2，4，6}的極大元素為4和6；最小素為2；極小元素也為2；上確界為12；下確界為2；③{4，8，12}的極大元素為8，12；最小元素為4；極小元素也為4；下確界為4；沒有最大元素；沒有上確界。性質(zhì)集合最大元最小元極大元極小元上界下界上確界下確界{2,3,6}6無62,36,12161{2,4,6}無24,62121,2122{4,8,12}無48,124無1,2,4無43)的特殊元素表65213434．對下面半序集合（A，?）的哈斯圖，寫出集合A及半序關系?的所有元素。[解] A={0，1，2，3，4，5，6}第34題?={（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（0，4），（0，5），（0，6），（1，1），92，20，（2，5），（3，3），（3，5），（4，4），（4，6），（5，5），（6，6）}第34題35．設R是集合X上的半序關系，A205。X，證明R∩（AA）是A上的半序關系。[證].證法一：令R1=R∩（AA），則R1204。AA，所以R1是A上的關系，我們只需證明在A上R是自反的，反對稱的，傳遞的即可。 （a）R1是自反的對任何a∈A，由于A205。X，所以a∈X，由于R在X上是自反的，故此（a，a）∈R；由于a∈A，顯然（a，a）∈AA；所以（a，a）∈R∩（AA），即（a，a）R1。（b）R1是反對稱的對任何（a，a）∈R1且（b，a）∈R1，由R1= R∩（AA），故有（a，b）∈R且（b，a）∈R，以及a，b，c∈A。利用R的傳遞性，可得（a，c）∈R，利用a，c∈A可得（a，c）∈AA，所以（a，c）∈R∩（AA），即（a，c）∈R1。證法二：令R1=R199。(A180。A)，由于R199。(A180。A)205。A180。A，所以R1205。A180。A，因此R1是A上的關系。①R1是自反的對任何a， a206。A222。(a,a)206。R217。(a,a)206。A180。A (R是X上的自反關系及A205。X)222。(a,a)206。R199。(A180。A)222。(a,a)206。R1 (R1的定義)所以，R1是自反的；②R1是反對稱的對任何a,b206。A(a,b)206。R1217。(b,a)206。R1222。(a,b)206。R199。(A180。A)217。(b,a)206。R199。(A180。A) (R1的定義)222。((a,b)206。R217。(a,b)206。A180。A)217。((b,a)206。R217。(b,a)206。A180。A)222。((a,b)206。R217。(b,a)206。R)217。((a,b)206。A180。A217。(b,a)206。A180。A) (217。的結合律、交換律)222。((a,b)206。R217。(b,a)206。R) (基本邏輯蘊涵式：p217。q222。p)222。a=b (R是反對稱的)所以，R1是反對稱的；③R1是傳遞的對任何a,b,c206。A(a,b)206。R1217。(b,c)206。R1222。(a,b)206。R199。(A180。A)217。(b,c)206。R199。(A180。A) (R1的定義)222。((a,b)206。R217。(a,b)206。A180。A)217。((b,c)206。R217。(b,c)206。A180。A)222。((a,b)206。R217。(b,c)206。R)217。((a,b)206。A180。A217。(b,c)206。A180。A) (217。的結合律、交換律)222。((a,c)206。R217。(a,c)206。A180。A (R是傳遞的，全關系A180。A是傳遞的)222。(a,c)206。R199。(A180。A)222。(a,c)206。R1 (R1的定義)所以，R1是傳遞的；綜合①、②、③，可知R1是A上的半序關系。36．設（A，?1）和（A，?2）是兩個半序集合，定義AB上的關系?3如下：對于a1，a2∈A，b2∈B（a1，b1），（a2，b2）∈?3219。（a1，a2）∈?1∧（b1，b2）∈?2 證明?3是AB上的半序關系。[證].證法一：對于任何（a，b）∈AB，就有a∈A及b∈B，從而利用?1及的自反性，可得 （a，a）∈?1且（b，b）∈?2因此由?3的定義，可知（（a，b），（a，b））∈?3。（b）?3是反對稱的對任何（（a1，b1），（a2，b2））∈?3及（（a2，b2），（a1，b1））∈，由?3的定義，可知（a1，a2）∈?1且（a2，a1）∈?1及（b1，b2）∈?2且（b2，b1）∈?2利用?1及?2的反對稱性，可得a1=a2及b1=b2，因此（a1，b1）=（a2，b2）。（c）?3是傳遞的對任何（（a1，b1），（a2，b2））∈?3及（（a2，b2），（a3，b3）））∈?3，由?3的定義，可知（a1，a2）∈?1且（a2，a3）∈?1及（b1，b2）∈?2且（b2，b3）∈?2。利用?1及?2的傳遞性，可得（a1，a3）∈?1及（b1，b3）∈?2。再次利用?3的定義，可得（（a1，b1），（a3，b3）））∈?3。證法二：① ?3是自反的對任何(a,b)，(a,b)206。A180。B222。a206。A217。b206。B222。(a,a)206。?1217。(b,b)206。?2 (?1，?2都是自反的)222。((a,b),(a,b))206。?3 (?3的定義)所以，?3是自反的；②?3是反對稱的對任何(a,b)，(c,d)206。A180。B((a,b), (c,d))206。?3217。((c,d), (a,b))206。?3222。((a,c)206。?1217。(b,d)206。?2)217。((c,a)206。?1217。(d,b)206。?2) (?3的定義)222。((a,c)206。?1217。(c,a)206。?1)217。((b,d)206。?2217。(d,b)206。?2) (217。的結合律、交換律)222。a=c217。b=d (?1，?2都是反對稱的)222。(a,b)=(c,d)所以，?3是反對稱的；③?3是傳遞的對任何(a,b)，(c,d)，(e,f)206。A180。B((a,b), (c,d))206。?3217。((c,d), (e,f))206。?3222。((a,c)206。?1217。(b,d)206。?2)217。((c,e)206。?1217。(d,f)206。?2) (?3的定義)222。((a,c)206。?1217。(c,e)206。?1)217。((b,d)206。?2217。(d,f)206。?2) (217。的結合律、交換律)222。(a,e)206。?1217。(b,f)206。?2 (?1，?2都是反對稱的)222。((a,b), (e,f))206。?3 (?3的定義)所以，?3是傳遞的；綜合①、②、③，可知?3是A180。B上的半序關系。37．對于非空集合A，是否存在這樣的關系R，它即是等價關系又是半序關系？若有，請舉出例子。[解] 有。只有一種，那就是A上的幺關系IA，它即是等價關系，又是半序關系。證法一：否則，如果有a∈A及b∈A且a≠b，使得（a，b）∈R，那么由R是對我的就將有（b，a）∈R，再由R是反對稱的，就得到a=b，矛盾。這個矛盾說明同時為等價關系和半序關系的R只能是幺關系IA。證法二：設R即是一等價關系，又是一半序關系。則一方面，對任何元素a,b206。A，(a,b)206。R222。(a,b)206。R217。(b,a)206。R (R的對稱性)222。a=b (R的反對稱性)222。(a,b)206。IA所以，R205。IA；另一方面，對任何元素a206。A，(a,a)206。IA222。(a,b)206。R (R的自反性)所以，IA205。R；綜合這兩方面，有 R=IA 。38．對于下列每一種情況，舉出有限集合和無限集合的例子各一個。1） 非空半序集合，其中某些子集沒有最大元素；2） 非空半序集合，其中有一子集存在最大下界，但沒有最小元素；3） 非空序集合，其中有一子集存在上界，但沒有最小上界。1）的（a）的Hasse圖{a，b，c}{a，c}{a，b}{b,c}{c}{a}198。[解] 1）（a）令A={a，b，c}，則（2A，205。）為半序集，其中子集B1={{c}，{a，b}}B2={，{a，c}}等均沒有最大元素；（b）半序集（N，≤）的子集B1={x|x=2n∧n∈N} B2={P|P∈N∧P為素數(shù)}等均沒有