【正文】 198。顯然有A∩B=A∩C，但B≠C。例如：A={a}，B={a，b}，C=。A205。222。B；方法一：A=A∩X (零壹律)=A∩(B∪B′) (互補(bǔ)律)=(A∩B)∪(A∩B′) (分配律)=(A∩B)∪198。A∩B′=X′ （反身律）222。A∩B′=198。），可得X=B∪B′205。Ｘ；另一方面，由于B205。A′∪B=Ｘ （零壹律）方法三：因?yàn)锳′205。A′∪B=A′∪(A∪B) （兩邊同時(shí)左并上A′）222。B及定理4）=(A′∪A)∪B （∪的結(jié)合律）=(A∪A′)∪B （∪的交換律）=X∪B （互補(bǔ)律）=X （零壹律）方法二：A205。A∩B′=198。（A\B）\C。B，x∈（A\C）\B。C。由此可得（A\B）\（B\C）205。B。C。（A\C）\（B\C）。又由x207。因此A\（B\C）。B，x207。A\（B∪C）。3）B\（A∪C）={4，5}4）（A′∩B）∪D={1，2，3，4，5，6，7，8，16，32，64}8．設(shè)A、B、C是集合，證明：1）（A\B）=A\(B\C)2）（A\B）\C=（A\C）\（B\C）3）（A\B）\C=(A\C)\B[證明] 1）方法一：（A\B）\C=（A∩B′）∩C′ （差集的定義）=A∩（B′∩C′） （交運(yùn)算的結(jié)合律）=A∩（B∪C）′ （deMorgan律）=A\（B∪C） （差集的定義）方法二：對(duì)任一元素x∈（A\B）\C，則x207。}}，{198。{198。}4）{198。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，b}，b}，從而A205。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，{a，b}}，從而A205。例如A={a}，B={{a}，}，C={{a}，，{c}}從而A∈B∧B205。x（x∈B222。C。 3）如果A205。C，則A∈C。例如A={a}，B={a，{a}}，C={{a}，{{a}}}，從而A∈B∧B∈C，但、A∈C。B∧B∈C，則A∈C。因?yàn)閧a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。}的元素；5）真。因?yàn)榭占缓魏卧兀?）真。}5）{a，b}205。205。198。($k206。N)(d185。p2217。0217。I)(n=2m+1)}；2）{n231。3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}2. 用謂詞法表示下列集合：1）{奇整數(shù)集合}2）{小于7的非負(fù)整數(shù)集合}3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29}[解] 1）{n231。n206。n206。n7}；3）{p231。p30217。1217。N)(p=kd))}。2）198。{198。{a，b，c，{a，b，c}}6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c})7）{a，b}205。因?yàn)榭占侨我饧系淖蛹?）真。因?yàn)閧a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集；6）假。4. 對(duì)任意集合A，B，C，確定下列命題的真假性： 1）如果A∈B∧B∈C，則A∈C。[解] 1）假。 3）假。 2）如果A∈B∧B205。B∧B∈C，則A∈C。[解] 1）真。x∈C），因此A∈B222。C，但A207。B∧B∈C，但A207。B∧B∈C，但A207。{198。}}4）{198。{198。C，同時(shí)，x∈A\B，x∈A，x207。反之，對(duì)任一元素x∈A\（B∪C），則x∈A，且x207。C。2）方法一：（A\B）\C =A\（B∪C） （根據(jù)1）） =A\（C∪B） （并運(yùn)算交換律） =A\（（C∪B）∩Ⅹ） （0—1律） =A\（（C∪B）∩（C∪C′）） （0—1律） =A\（C∪（B∩C′） （分配律） =（A\C）\（B∩C′） （根據(jù)1） =（A\C）\（B∩C） （差集的定義）方法二：對(duì)任一元素x∈（A\B）\C，可知x∈A，x207。B，x207。反之，對(duì)任x∈（A\C）\（B\C），可知x∈A\C，x207。又因?yàn)閤207。所以，x∈（A\B）\C。（A\B）\C。由為x∈A，x207。所以，（A\B）\C205。9. 設(shè)A、B是Ⅹ全集的子集，證明： A205。[解](采用循環(huán)證法)(1)先證A205。B222。A′∪B==(A′∪A)∪B （∪的結(jié)合律）222。X且B205。A′∪B 及根據(jù)換質(zhì)位律可得B′205。A′∪B，即X205。；A′∪B=X222。A∩B′=X′ （零壹律）(3)再證A∩B′=198。 (條件A∩B′=198。B=B∪198。B （定理4的2)）10. 對(duì)于任意集合A，B，C，下列各式是否成立，為什么？1） A∪B=A∪C222。顯然有A∪B=A∪C，但B≠C。11．設(shè)A，B為集合，給出下列等式成立的充分必要條件：1） A\B=B2） A\B=B\A3） A∩B=A∪B4） A197。由假設(shè)可知A=A\198。反之，當(dāng)A=B=198。則有元素a∈A\B，那么，a∈A，而由假設(shè)A\B=B\A。B。因此當(dāng)A\B=B\A時(shí)，有A=B。A∪B=A∩B205。5） 根據(jù)定理6的1）有A197。B=A197。則A197。所以A197。C=A（B197。B）197。Ｃ）０ ０ ００００００ ０ １０１１１０ １ ０１１１１０ １ １１０００１ ０ ０１１０１１ ０ １１０１０１ １０００１０１ １ １０１０１成員表中運(yùn)算結(jié)果197。Ｂ）197。A∩B注：自然數(shù)集N取為{1，2，3，……，n，……}習(xí)題二（第二章 關(guān)系）1．設(shè)A={1，2，3，}，B={a，b}求 1）AB 2）BA 3）BB 4）2BB[解] 1）AB={（1，a），（1，b），（2，a），（2，a），（3，a），（3，b）}2）BA={（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3）}3）BB={（a，a），（a，b），（b，a），（b，b）}4）2B={198。AA成立的集合A存在嗎？請(qǐng)闡明理由。則存在元素x∈AA，故有y1，y2∈A，使x=（y1，y2），從而y1，y2∈AA，故此有y1，y2，y3，y4，使y1=（y1，y2），y2=（y3，y4），……。A=198。∨B=198。若AB≠198。B且B205。∨B=198。因而（x，y）∈AC，且（x，y）∈BD，所以（x，y）∈（AC）∩（BD）。所以（x，y）∈（A∩B）（C∩D）。證法二：（邏輯法）對(duì)任何x,y(x,y)∈(A∩B)(C∩D)222。x∈B)217。y∈C)217。(x,y)∈AC217。 1）（A∪B）（C∪D）=（AC）∪（BD） 2）（A\B）（C\D）=（AC）\（BD） 3）（A197。B）C=（AC）197。所以（A∪B）（C∪D）=（AC）∪（BD）不成立。2）不成立。事實(shí)上有：（A\B）（C\D）205。故有（AC）\（BD）205。BD綜合這兩方面，有（A\B）（C\D）205。B）（C197。所以（A197。（BD）不成立。B）（C197。（A197。B）（C197。B）（C197。證明如下：對(duì)任一（x，y）∈（A\B）C，有x∈A，x207。（AC）\（BC）。即x∈A\B，y∈C，故此（x，y）∈（A\B）C。另一種證明方法：（AB）C=（A∩B′）C（差集的定義）=（AC）∩（B′C）（叉積對(duì)交運(yùn)算的分配律）=（AC）∩（BC）′（因（BC）′=（B′C））∩（BC′）∪（B′C′）但（AC）∩（BC）′=（（AC）∩（B′C））∪198。BC222。B218。y∈C217。y∈C217。的分配律)222。y∈C)218。C) (217。B)217。的結(jié)合律)222。5）成立。B，或者x207。所以（A197。對(duì)任一（x，y）∈（AC）197。AC且（x，y）BC。所以x∈A\B，或x∈B\A，并且y∈C，故此 x∈A197。（BC）205。B）C=（AC）197。[解]：R0=198。[解]：1 0 0 23 0 0 4 1） R1是反對(duì)稱的，傳遞的。2）由于R1∩R2?R1，R1∩R2?R2，根據(jù)定理1，有?（R1∩R2）??（R1），?（R1∩R2）?R2，所以?（R1∩R2）??（R1）∩?（R2）反方向的包含不成立，反全由第7題可得，那里?（R1∩R2）={4}，?（R1）∩?（R2）={2，3，4}∩{3，4}={3，4}因此?（R1）∩??（R2）?（R1∩R2）9．設(shè)A有n個(gè)元素的有限集合，請(qǐng)指出A上有多少個(gè)二元關(guān)系？并闡明理由。性質(zhì)關(guān)系自反的反自反的對(duì)稱的反對(duì)稱的傳遞的相等關(guān)系YNYYY≤關(guān)系YNNYY＜關(guān)系NYNYY全域關(guān)系YNYNY空關(guān)系NYYYY4） R4是反對(duì)稱的，循環(huán)的。7）R7是反自反的對(duì)稱的，傳遞的，循環(huán)的，反傳遞的，反對(duì)稱的。2）必要性若R是反自反的，則對(duì)任何x∈A，都是（x，x）207。?IA∩R，所以IA∩R=198。但是（x0，x0）∈IA，從而（x0，x0）198。再次利用R的對(duì)稱性有（y，x）∈R，于是?R；綜合兩方面，有R=。于是就有（x，y）=（x，x）∈IA，所以R∩?IA。所以RоR?R。證法二：1)222。R ；220。R)所以，R是自反關(guān)系；2)222。R ；其次，對(duì)任何x，y∈A，若(x,y)∈IA199。x=y217。故IA199。的反對(duì)稱性，可得 IA199。(x,x)∈IA217。(x,x)∈198。198。)對(duì)任何x，y∈A(x,y)∈R219。(x,y)∈ (R=)222。(x,y)∈R217。x=y (R是反對(duì)稱關(guān)系)222。):對(duì)任何x,y∈A(x,y)∈R222?？傊?，有（i）(j)（xij≤yij）。從而xij∨yij=0。因而tij=xij∧yij=1；若tij=0，則（ai，bj）?R∩S，故此（ai，bj）?S，于是xij=0或者yij=0，從而xij∧yij=0。 4）無論從復(fù)合關(guān)系圖還是從復(fù)合關(guān)系矩陣都可得R1оR1о={（1，1），（1，2），（1，4）} R1 R1 R115）設(shè)R1，R2，R3是A上的二元關(guān)系，如果R1?R2，證明1）R1R3?R2R3 2）R3R1?R3R2[證明] 1）對(duì)任何（x，y）∈R1R3，由復(fù)合關(guān)系之定義，必存在z∈A，使得（x，z）∈R1且（z，y）∈R3，利用R1?R2可知（x，z）∈R2且（z，y）∈R3，再次利用復(fù)合關(guān)系之定義，有（x，y）∈R2R3。16．設(shè)A是有限個(gè)元素的集合，在A上確定兩個(gè)不同的關(guān)系R1和R2，使得=R1，=R2 因?yàn)?，令R1=198。為此，對(duì)任何x，y∈A，（x，y）∈AA=R2，一定存在著z∈A（至少有z=x或z=y存在），使（x，z）∈AA=R2且（z，y）∈AA=R2，故此（x，y）R2R2=，所以R2?R2R2=。故此R1?。若（ai，aj）∈= R2οR2，則存在著k，使（ai，ak）∈R2且（ak， ai）∈R2，于是由R2的定義，有k=n或者1≤k≤n1。1） 如果R1和R2都是自反的，那么R1R2是自反的。5） 如果R1和R2都是傳遞的，那末R1R2是傳遞的。所以R1R2是自反的。3）假。令A(yù)={a，b，c，d}，R1={（a，c），（b，c）}R2={（c，b），（d，a）}易證R1，R2都是反對(duì)稱關(guān)系。19．設(shè)A={1，2，3，4，5}，R?AA，R={（1，2），（2，3），（2，5），（3，4），（4，3），（5，5）}用作圖方法矩陣運(yùn)算的方法求r（R），s（R），t（R）。2）一方面，由于（R*）*是R*的自反傳遞閉包，所以R*