【正文】 CBx(A∪B∪C)∪(A∩B∩C)′BCAx(A∩C) \B14. 試用成員表法證明1）（A197。B）197。C=A（B197。C）2）（A∪B）∩（B∪C）205。AB′[解] 1）成員表如下A B CA197。B（A197。B）197。CB197。CA197。（B197。Ｃ）０ ０ ００００００ ０ １０１１１０ １ ０１１１１０ １ １１０００１ ０ ０１１０１１ ０ １１０１０１ １０００１０１ １ １０１０１成員表中運(yùn)算結(jié)果197。Ｃ及Ａ197。（Ｂ197。Ｃ）的兩列狀態(tài)表明，全集中的每一個體對它倆有相同的從屬關(guān)系，故（Ａ197。Ｂ）197。Ｃ＝Ａ197。（Ｂ197。Ｃ）1） 成員表如下：A B CA∪B（B∪C）(B∪C)′(A∪B)∩(B∪C)′B′A∩B′０ ０ ０００1０10０ ０ １０１0010０ １ ０１１0000０ １ １１10０00１ ０ ０１01１11１ ０ １１10０11１ １０110０00１ １ １1１0000成員表中運(yùn)算結(jié)果（A∪B）∩（B∪C）′及A∩B′的兩列狀態(tài)表明，全集中的每一個體，凡是從屬（A∪B）∩（B∪C）′的，都從屬A∩B′，故（A∪B）∩（B∪C）′205。A∩B注：自然數(shù)集N取為{1，2，3，……，n，……}習(xí)題二（第二章 關(guān)系）1．設(shè)A={1，2，3，}，B={a，b}求 1）AB 2）BA 3）BB 4）2BB[解] 1）AB={（1，a），（1，b），（2，a），（2，a），（3，a），（3，b）}2）BA={（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3）}3）BB={（a，a），（a，b），（b，a），（b，b）}4）2B={198。，{a}，，{a，b}}2BB{（198。，{a}），（198。，b），（{a}，a），（{a}，b），（，a），（，b），（{a，b}，b）}2．使A205。AA成立的集合A存在嗎？請闡明理由。[解] 一般地說，使A205。AA成立的集合A不存在，除非A=198。否則 A≠198。，則存在元素x∈AA，故有y1，y2∈A，使x=（y1，y2），從而y1，y2∈AA，故此有y1，y2，y3，y4，使y1=（y1，y2），y2=（y3，y4），……。這說明A中每個元素x，其結(jié)構(gòu)為元組的無窮次嵌套構(gòu)成，這不可能。我們討論的元素的結(jié)構(gòu)必須是由元組的有限次嵌套構(gòu)成。3．證明AB=BA219。A=198?！臖=198?！臕=B[證] 必要性：即證AB=BA222。A=198?！臖=198。∨A=B若AB=198。，則A=198?；蛘連=198。若AB≠198。，則A≠198。且B≠198。，因此對任何x∈A及任何y∈B就有（x，y）∈AB，根據(jù)AB=BA，可得（x，y）∈BA，故此可得x∈B，y∈A，因此而得A205。B且B205。A，所以由205。的反對稱性A=B。充分性：即證A=198?！臖=198?！臕=B222。AB=BA 這是顯然的。4．證明（A∩B）（C∩D）=（AC）∩（BD）[證]證法一：（元素法）對任一（x，y）∈（A∩B）（C∩D） 有x∈A∩B，y∈C∩D，于是x∈A，x∈B，y∈C，y∈D。因而（x，y）∈AC，且（x，y）∈BD，所以（x，y）∈（AC）∩（BD）。因而（A∩B）（C∩D）205。（AC）∩（BD）另一方面，對任一（x，y）∈（AC）∩（BD），于是有（x，y）∈AC且（x，y）∈BD，因而x∈A，y∈C，x∈B y∈D。所以x∈A∩B，y∈（C∩D）。所以（x，y）∈（A∩B）（C∩D）。因而（AC）∩（BD）205。（A∩B）（C∩D）。綜合這兩個方面有（A∩B）（C∩D）=（AC）∩（BD）。證法二：（邏輯法）對任何x,y(x,y)∈(A∩B)(C∩D)222。x∈A∩B217。y∈C∩D222。(x∈A217。x∈B)217。(y∈C217。y∈D)222。(x∈A217。y∈C)217。(x∈B217。y∈D) (217。的結(jié)合律、交換律)222。(x,y)∈AC217。(x,y)∈BD222。(x,y)∈(AC)∩(BD)由x，y的任意性，可得：(A∩B)(C∩D)= (AC)∩(BD) 。5．下列各式中哪些成立，哪些不成立？對成立的式子給出證明，對不成立的式子給出反例。 1）（A∪B）（C∪D）=（AC）∪（BD） 2）（A\B）（C\D）=（AC）\（BD） 3）（A197。B）（C197。D）=（AC）197。（BD） 4）（A\B）C=（AC）\（BC） 5）（A197。B）C=（AC）197。（BC）[解] 1）不成立。設(shè)A={a}，B=，C={c}，D=nhcuj7d3，則（a,d）∈（A∪B）（C∪D），但（a,d）207。（AC）∪（BD）。所以（A∪B）（C∪D）=（AC）∪（BD）不成立。事實(shí)上有：（AC）∪（BD）205。（A∪B）（C ）205。（A∪B）（C∪D）。2）不成立。設(shè)A={a}，B=，C=D={c}，則（a，c）∈（AC）\（BD）但（a，c）207。（A\B）（C\D）。因而（A\b）（C\D）=（AC）\（BD）不成立。事實(shí)上有：（A\B）（C\D）205。（AC）\（BD）。因?yàn)锳\B205。A，C\D205。，故有（AC）\（BD）205。 AC；又若（x，y）∈（A\B）（C\D）故此x∈A\B，從而x207。B，y∈C\D，從而y207。D，故此（x，y）207。BD綜合這兩方面，有（A\B）（C\D）205。（AC）\（BD）。 3）不成立。設(shè)A={a}，B=，C={a}，D=，則（a，b）∈（A197。B）（C197。D），但（a，b）207。（AC）197。（BD）。所以（A197。B）（C197。D）205。（AＣ）197。（BD）不成立。又設(shè)A={a}，B=，C={a}，D={c} 則（a，c）∈（AＣ）197。（BD），但（a，c）207。（A197。B）（C197。D）。所以（AＣ）197。（BD）205。（A197。B）（C197。D）不成立。因此（A197。B）（C197。D）與（AＣ）197。（BD）無任何包含關(guān)系?？傊ˋ197。B）（C197。D）=（AＣ）197。（BD）不成立。4）成立。證明如下：對任一（x，y）∈（A\B）C，有x∈A，x207。B，y∈C 于是（x，y）∈AC，且（x，y）∈（A\B）C，且（x，y）207。BC（否則x∈B），所以（x，y）∈（AC）\（BC）。因而（A\B）C205。（AC）\（BC）。又對任一（x，y）∈（AC）\（BC），有（x，y）∈AC，且（x，y）207。BC從而x∈A，y∈C及x207。B。即x∈A\B，y∈C，故此（x，y）∈（A\B）C。所以（AC）\（BC）205。（AB）C。因而（A\B）C=（AC）\（BC）。另一種證明方法：（AB）C=（A∩B′）C（差集的定義）=（AC）∩（B′C）（叉積對交運(yùn)算的分配律）=（AC）∩（BC）′（因（BC）′=（B′C））∩（BC′）∪（B′C′）但（AC）∩（BC）′=（（AC）∩（B′C））∪198。=（AC）∩（B′C））=（AC）∩（B′C）（差集的定義）證法三：（邏輯法）對任何x,y(x,y)∈(AC) \ (BC)222。(x,y)∈AC217。(x,y)207。BC222。(x∈A217。y∈C)217。(x207。B218。y207。C)222。(x∈A217。y∈C217。x207。B)218。(x∈A217。y∈C217。y207。C) (217。對218。的分配律)222。(x∈A217。x207。B217。y∈C)218。(x∈A217。y∈C217。y207。C) (217。的結(jié)合律、交換律)222。(x∈A217。x207。B)217。y∈C (217。及218。的零壹律、217。的結(jié)合律)222。x∈A \ B217。y∈C222。(x,y)∈(A \ B)C由x，y的任意性，可得：(A \ B)C=(AC) \ (BC) 。5）成立。證明如下：對任一（x，y）∈（A197。B）C，故此x∈A197。B，y∈C于是x∈A且x207。B，或者x207。A且x∈B。因此（x，y）∈（AC）197。（BC）。所以（A197。B）C205。（AC）197。（BC）。對任一（x，y）∈（AC）197。（BC）。則（x，y）∈AC且（x，y）207。BC，或者（x，y）207。AC且（x，y）BC。因此x∈A，yC，x207。B，或者x∈B，y∈C，x207。A。所以x∈A\B，或x∈B\A，并且y∈C，故此 x∈A197。B，y∈C。因此（x，y）∈（A197。B）C，即（AC）197。（BC）205。（A197。B）C。綜合兩方面、就有（A197。B）C=（AC）197。（BC）另一種證明方法：（A197。B）C=（（A\B）∪（B\A））C（對稱差的定義）=（（（A\B）C）（（B\A）C）（叉積對并運(yùn)算的分配律）=（（AC）\（BC）∪（BC）\（AC））（根據(jù)4））=（AC）197。（BC）（對稱差的定義）6．設(shè)A={1，2，3}，B={a}，求出所有由A到B的關(guān)系。[解]：R0=198。，R1={（1，a）}，R2={（2，a）}，R3={（3，a）}，R4={（1，a），（2，a）}，Rs={（1，a），（3，a）}，R6={（2，a），（3，a）}，R7={（1，a），（2，a），（3，a）}7．設(shè)A={1，2，3，4}，R1={（1，3），（2，2），（3，4）}，R2={（1，4），（2，3），（3，4）}，求：R1∪R2，R1∩R2，R1\R2，R1′，?（R1），?（R2），?（R1），?（R2），?（R1∪R2），?（R1∩R2）[解]：R1∪R2={（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（3，4）}R1∩R2={（3，4）}R1\R2={（1，3），（2，2）}R1′=（AA）\R={（1，1），（1，2），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}（R1）={1，2，3}，?（R1）={2，3，4}，（R2）={1，2，3}，?（R2）={3，4}（R1∪R2）={1，2，3}，?（R1∩R2）={4}8．對任意集合A及上的關(guān)系R1和R2，證明1）?（R1∪R2）=?（R1）∪?（R2）2）?（R1∩R2）??（R1）∩?（R2）[證] 1）一方面，由于R1?R1∪R2，R2?R1∪R2，根據(jù)定理1，有?（R1）??（R1∪R2），?（R2）??（R1∪R2）故?（R1）∪?（R2）??（R1∪R2）另一方面，若x∈?（R1∪R2）那么存在著y∈A，使（y，x）∈（R1∪R2）因此（y，x）∈R1，或者（y，x）∈R2，從而x∈?（R1）或者x∈?（R2）于是x∈?(R1) ∪?（R2），所以?（R1∪R2）??（R1）∪?（R2）。11．設(shè)A={1，2，3，4}，定義A上的下列關(guān)系R1={（1，1），（1，2），（3，3），（3，4）}，R2={（1，2），（2，1）}R3={（1，1），（1，2），（2，2），（2，1），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）}R4={（1，2），（2，4），（3，3），（4，1）}R5={（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}R6=AA，R7=198。請給出上述每一個關(guān)系的關(guān)系圖與關(guān)系矩陳，并指出它具有的性質(zhì)。[解]：1 0 0 23 0 0 4 1） R1是反對稱的，傳遞的。2）R2是反自反的，對稱的。3）R3是自反的，對稱的，傳遞的，因此是等價關(guān)系。循環(huán)的 綜合這兩方面，就有（R1∪R2）=?（R1）∪?（R2）。2）由于R1∩R2?R1，R1∩R2?R2，根據(jù)定理1，有?（R1∩R2）??（R1），?（R1∩R2）?R2，所以?（R1∩R2）??（R1）∩?（R2）反方向的包含不成立，反全由第7題可得，那里?（R1∩R2）={4}，?（R1）∩?（R2）={2，3，4}∩{3，4}={3，4}因此?（R1）∩??（R2）?（R1∩R2）9．設(shè)A有n個元素的有限集合，請指出A上有多少個二元關(guān)系？并闡明理由。[解] A上有2n2個元關(guān)系。因?yàn)椴娣eAA有n2個元素，因而AA有2n2個子集，而每個子集都是A上的一個二元關(guān)系。10．定義在整數(shù)集合I上的相等關(guān)系、“≤”關(guān)系、“＜”關(guān)系，全域關(guān)系，空關(guān)系，是否具有表中所指的性質(zhì)，請用Y（有）或N（元）將結(jié)果填在表中。性質(zhì)關(guān)系自反的反自反的對稱的反對稱的傳遞的相等關(guān)系YNYYY≤關(guān)系YNNYY＜關(guān)系NYNYY全域關(guān)系YNYNY空關(guān)系NYYYY4） R4是反對稱的，循環(huán)的。5） R5是反自反的，反對稱的，傳遞的。6） R6是自反的，對稱的，傳遞的，循環(huán)的。從而是等價關(guān)系。7）R7是反自反的對稱的，傳遞的，循環(huán)的，反傳遞的，反對稱的。 12．設(shè)A是A上的關(guān)系，證明 1）R是自反的當(dāng)且反當(dāng)IA?R2）R是反自反的當(dāng)且僅當(dāng)IA∩R=198。3）R是對稱的當(dāng)且反當(dāng)R=4） R是反對稱的當(dāng)且僅當(dāng)R∩?IA5）R是傳遞的當(dāng)且