【正文】 法滿足交換律，結(jié)合律（10）S = ,S關(guān)于普通的加法和乘法運算。加法不封閉，乘法封閉，乘法滿足交換律，結(jié)合律5．對于上題中封閉的二元運算判斷是否適合交換律，結(jié)合律，分配律。見上題7．設(shè) * 為Z+上的二元運算x,y206。Z+，X * Y = min(x，y),即x和y之中較小的數(shù).(1)求4 * 6，7 * 3。4,(2)* 在Z上是否適合交換律，結(jié)合律，和冪等律？ 滿足交換律，結(jié)合律，和冪等律(3)求*運算的單位元，零元及Z+中所有可逆元素的逆元。單位元無，零元1, 所有元素?zé)o逆元8．S=Q180。Q Q為有理數(shù)集，*為S上的二元運算，,S有 a，b * = （1）*運算在S上是否可交換，可結(jié)合？是否為冪等的？ 不可交換：*= 185。 a，b * 可結(jié)合：(*)*=*= *(*)=*=(*)*=*(*)不是冪等的（2）*運算是否有單位元，零元？ 如果有請指出，并求S中所有可逆元素的逆元。設(shè)是單位元，S，*= *= 則==，解的=，即為單位。設(shè)是零元，S，*= *= 則==，無解。即無零元。S，設(shè)是它的逆元*= *= == a=1/x,b=y/x 所以當(dāng)x185。0時，x,y1=1y, xx+10．令S={a，b}，S上有四個運算：*。(a)(b)(c)(d)(1)這4個運算中哪些運算滿足交換律，結(jié)合律，冪等律？(a)交換律，結(jié)合律，冪等律都滿足，零元為a,沒有單位元；(b)滿足交換律和結(jié)合律，不滿足冪等律，單位元為a,沒有零元a1=a,b1=b(c)滿足交換律,不滿足冪等律,不滿足結(jié)合律ao(bob)=aoa=b, ao(bob)185。(aob)ob沒有單位元, 沒有零元(d)不滿足交換律，滿足結(jié)合律和冪等律沒有單位元, 沒有零元(2)求每個運算的單位元，零元以及每一個可逆元素的逆元。見上(aob)ob=aob=a16．設(shè)V=〈 N，+，〉，其中+，分別代表普通加法與乘法，對下面給定的每個集合確定它是否構(gòu)成V的子代數(shù)，為什么？（1）S1=（2）S2= 是不是 加法不封閉（3）S3 = {1，0，1} 不是，加法不封閉第十一章部分課后習(xí)題參考答案={0，1，2，3}，為模4乘法，即y=(xy)mod 4 “x,y∈S, x問〈S，〉是否構(gòu)成群？為什么？y=(xy)mod 4206。S,是S上的代數(shù)運算。解：(1)x,y∈S, x(2)x,y,z∈S,設(shè)xy=4k+r 0163。r163。3(xy)z =((xy)mod 4)z=rz=(rz)mod 4 =(4kz+rz)mod 4=((4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4 同理x(yz)=(xyz)mod 4 y)z = x1)=(1(yz)，結(jié)合律成立。所以，(x(3)x∈S,(xx)=x,，所以1是單位元。(4)11=1,31=3, 0和2沒有逆元 所以，〈S，在Z上定義二元運算。如下： ” x,y∈Z,xoy= x+y2 問Z關(guān)于o運算能否構(gòu)成群？為什么？ 〉不構(gòu)成群 解：(1)x,y∈Z, xoy= x+y2206。Z,o是Z上的代數(shù)運算。(2)x,y,z∈Z,(xoy)oz =(x+y2)oz=(x+y2)+z2=x+y+z4 同理(xoy)oz= xo(yoz)，結(jié)合律成立。(3)設(shè)e是單位元，x∈Z, xoe= eox=x,即x+e2= e+x2=x, e=2(4)x∈Z , 設(shè)x的逆元是y, xoy= yox=e, 即x+y2=y+x2=2, 所以，x1=y=4x 所以〈Z，o〉構(gòu)成群=237。231。231。01247。247。,231。231。01247。247。,248。232。248。238。232。230。10246。230。10246。252。231。231。01247。247。,231。231。01247。247。253。，證明G關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成一個群． 232。248。232。248。254。解：(1)x,y∈G, 易知xy∈G,乘法是Z上的代數(shù)運算。(2)矩陣乘法滿足結(jié)合律230。10246。(3)設(shè)231。231。01247。247。是單位元，232。248。(4)每個矩陣的逆元都是自己。所以G關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成一個群．，且存在a∈G,使得 G={ak∣k∈Z} 證明：G是交換群。證明:x,y∈G，設(shè)x=ak,y=al，則xy=akal=ak+l==al+k=alak=yx 所以，G是交換群，證明e為G中唯一的冪等元。22證明:設(shè)e0206。G也是冪等元，則e0=e0，即e0=e0e，由消去律知e0=e，a,b,c∈G,證明∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣ 證明：先證設(shè)(abc)k=e219。(bca)k=e 設(shè)(abc)k=e,則(abc)(abc)(abc)L(abc)=e，即a(bc)(abc)(abc)La(bc)aa1=e 左邊同乘a1，右邊同乘a得(bca)(bca)(bca)L(bca)=(bac)k=a1ea=e反過來，設(shè)(bac)k=e,則(abc)k=，∣abc∣=∣bca∣，同理∣bca∣=∣cab∣：偶數(shù)階群G必含2階元。證明：設(shè)群G不含2階元，a206。G，當(dāng)a=e時，a是一階元，當(dāng)a185。e時，a至少是3階元,因為群G時有限階的，所以a是有限階的，設(shè)a是k階的,則a1也是k階的，所以高于3階的元成對出現(xiàn)的，G不含2階元，G含唯一的1階元e,這與群G是偶數(shù)階的矛盾。所以，偶數(shù)階群G必含2階元，證明G中存在非單位元a和b,a≠b,且ab=：先證明G含至少含3階元。若G只含1階元,則G={e},G為Abel群矛盾；若G除了1階元e外,其余元a均為2階元，則a2=e，a1=aa,b206。G,a1=a,b1=b,(ab)1=ab,所以ab=a1b1=(ba)1=ba，與G為Abel群矛盾；所以，G含至少含一個3階元，設(shè)為a，則a185。a2，且a2a=aa2。令b=a2的證。(R)上的加法群，n≥2，判斷下述子集是否構(gòu)成子群。（1）全體對稱矩陣 是子群（2）全體對角矩陣 是子群（3）（4）全體上（下）三角矩陣。是子群，a是G中給定元素，a的正規(guī)化子N（a）表示G中與a可交換的元素構(gòu)成的集合，即 N（a）={x∣x∈G∧xa=ax} 證明N（a）構(gòu)成G的子群。證明：ea=ae,e206。N(a)185。fx,y206。N(a),則ax=xa,ay=yaa(xy)=(ax)y=(xa)y=x(ay)=x(ya)=(xy)a,所以xy206。N(a)由ax=xa，得x1axx1=x1xax1,x1ae=eax1，即x1a=ax1，所以x1206。N(a)所以N（a）構(gòu)成G的子群，j2是G2到G3的同態(tài)，證明j1oj2是G1到G3的同態(tài)。證明：有已知j1是G1到G2的函數(shù)，j2是G2到G3的函數(shù)，則j1j2是G1到G3的函數(shù)。a,b206。G1,(j1oj2)(ab)=j2(j1(ab))=j2(j1(a)j1(b))=(j2(j1(a)))(j2(j1(b)))=(j1oj2)(a)(j1oj2)(b)所以:j1j2是G1到G3的同態(tài)。，說明阿貝爾群是否一定為循環(huán)群，并證明你的結(jié)論。證明：設(shè)G是循環(huán)群,令G=,x,y206。G,令x=ak,y=al,那么xy=akal=ak+l=al+k=alak=yx,G是阿貝爾群克萊因四元群,G={e,a,b,c}oeeabceabcaaecb bbceaccbae是交換群,但不是循環(huán)群,因為e是一階元，a,b,c是二階元。,t是5元置換，且230。12345246。230。12345246。s=231。231。21453247。247。，t=231。231。34512247。247。232。248。232。248。(1)計算st,ts,t1,s1,s1ts；(2)將ts,t1,s1ts表成不交的輪換之積。(3)將（2）中的置換表示成對換之積，并說明哪些為奇置換，哪些為偶置換。230。12345246。230。12345246。1230。12345246。247。231。解：(1)ts=231。 st=231。45321247。231。43125247。247。 t=231。231。45123247。247。232。248。232。248。232。248。s1230。12345246。230。12345246。1=231。231。21534247。247。 sts=231。231。54132247。247。 232。248。232。248。)t1=(14253(2)ts=(1425)(25))s1ts=(143(3)ts=(14)(12)(15)奇置換，t1=(14)(12)(15)(13)偶置換s1ts=(14)(13)(25)奇置換