【正文】 ))??(P(2)??Q(2))??(P(1)??Q(1))) ?(?(P(1)?Q(1))?(P(1)??Q(1))?(P(2)??Q(2))?(P(3)??Q(3))?(P(1)??Q(2))? ) ?(?(P(2)??Q(2))?(P(1)??Q(1))?(P(2)??Q(2))?(P(3)??Q(3))?(P(1)??Q(2))? ) ?(?(P(1)??Q(1))?(P(1)??Q(1))?(P(2)??Q(2))?(P(3)??Q(3))?(P(1)??Q(2))? ) ?1?1?1。 ? ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )x A x B x x A x x B x? ? ? ? ? ? ( ( ( 1 ) ( 1 ) ) ( ( 2) ( 2) ) ( ( 3 ) ( 3 ) ) )A B A B A B? ? ? ? ? ? ( ( ( 1 ) ( 2) ( 3 ) ) ( ( 1 ) ( 2) ( 3 ) ) )A A A B B B? ? ? ? ? ? 1? 習(xí)題 1． 解 ? ④錯(cuò)。 在一個(gè)邏輯推理過(guò)程中，若同時(shí)用到 ES 和 US，并且選用代替的個(gè)體變?cè)嗤瑫r(shí)應(yīng)先用 ES，再用 US。 ?②錯(cuò)，在用 UG 規(guī)則時(shí)，引入的個(gè)體變?cè)谠瓉?lái)的公式中不能自由出現(xiàn)過(guò)。 ③ 錯(cuò)。 ?④錯(cuò)，在用兩次 ES 規(guī)則時(shí)，引入的個(gè)體常 元不能是一樣的。 2．? 證明 ① ?x?Q(x) P ② ?Q(y) T① US ③ ?x(?P(x)?Q(x)) P ④ ?P(y)?Q(y) T③ US ⑤ P(y) T②④ 拒取式 ⑥ ?xP(x) T⑤ EG ? 證明 ① ?xP(x) P 附加前提引入 ② P(c) T① US ③ ?x(P(x)?Q(x)) P ④ P(c)?Q(c) T③ US ⑤ Q(c) T②④假 言推理 ⑥ ?xQ(x) T⑤ UG ⑦ ?xP(x)??xQ(x) T①⑥ CP ? 證明 ① ??x(P(x)?Q(x)) P ② ?x(?P(x)??Q(x)) T①量詞否定，德 ?摩根律 ③ ?P(c)??Q(c) T② ES ④ ?xQ(x) P 否定結(jié)論引入 ⑤ Q(c) T④ US 21 ⑥ ?Q(c) T③化簡(jiǎn) ⑦ Q(c)??Q(c) T⑤⑥合取 由⑦得到矛盾，由間接證明原理，原命題得證明。 3． 解 ?設(shè) M(x)： x 是鳥(niǎo)； N(x)： x 是猴子， F(x)： x 會(huì)飛。 前提： ?x(M(x)?F(x))， ?x(N(x)??F(x)) 結(jié)論： ?x(N(x)??M(x)) 證明 ① ?x(N(x)??F(x)) P ② N(y)??F(y) T① US ③ ?x(M(x)?F(x)) P ④ M(y)?F(y) T③ US ⑤ ?F(y)??M(y) T④ 假言易位 ⑥ N(y)??M(y) T②⑤ 假言三段論 ⑦ ?x(N(x)??M(x)) T⑥ UG ? 設(shè) M(x)： x 是學(xué)生 ； N(x)： x 是教師 ； F(x)： x 是騙子 ； R(x, y)： x 相信 y 。 前提 ： ?x(M(x)??y(N(y)?R(x, y)))， ?x(M(x)??y(F(y)??R(x, y))) 結(jié)論： ?x(N(x)??F(x)) 證明 ① ?x(M(x)??y(N(y)?R(x, y))) P ② M(c)??y(N(y)?R(c, y)) T① ES ③ M(c) T② 化簡(jiǎn) ④ ?x(M(x)??y(F(y)??R(x, y))) P ⑤ M(c)??y(F(y)??R(c, y)) T④ US ⑥ ?y(F(y)??R(c, y)) T③⑤ 假言推理 ⑦ F(d)??R(c, d) T⑥ US ⑧ ?y(N(y)?R(c, y)) T② 化簡(jiǎn) ⑨ N(d)?R(c, d) T⑧ US ⑩ R(c, d)??F(d) T⑦ 假言易位 ⑴ N(d)??F(d) T⑨⑩假言三段論 ⑵ ?x(N(x)??F(x)) T⑴ UG ?設(shè) M(x)： x 是學(xué)術(shù)會(huì)成 員； N(x)： x 是工人； R(x)： x 是專家； Q(x)： x 是青年人。 前提： ?x(M(x)?(N(x)?R(x)))， ?x(M(x)?Q(x)) 結(jié)論： ?x(M(x)?Q(x)?R(x)) 證明 ① ?x(M(x)?Q(x)) P ② M(c)?Q(c) T① ES ③ ?x(M(x)?(N(x)?R(x))) P ④ M(c)?(N(c)?R(c)) T③ US ⑤ M(c) T②化簡(jiǎn) ⑥ N(c)?R(c) T④⑤假言推理 ⑦ R(c) T⑥化簡(jiǎn) ⑧ M(c)?Q(c)?R(c) T②⑦合取 ⑨ ?x(M(x)?Q(x)?R(x)) T⑧ EG 22 復(fù)習(xí)題 2 1．解 ?設(shè)個(gè)體域是整數(shù)集合 I， F(x)： x 是最大的整數(shù)，命題符號(hào)化為 ??xF(x)。 ?設(shè) M(x)： x 是學(xué)生， F(x)： x 要好好學(xué)習(xí)。命題符號(hào)化 ?x(M(x)?F(x))。 ?設(shè) M(x)： x 是液體， F(x)： x 能溶于水。命題符號(hào)化 ??x(M(x)?F(x))。 ?設(shè) M(x)： x 是人， F(x, y)： x 與 y 一樣高。命題符號(hào)化 ??x((M(x)?M(y))?F(x, y))。 ?設(shè) M(x)： x 是數(shù)， F(x)： x 是實(shí)數(shù)， G(x)： x 是復(fù)數(shù)。命題符號(hào)化 ?x(M(x)?(F(x)?G(x)))。 ?設(shè) M(x)： x 是數(shù)， F(x)： x 是奇數(shù)， G(x)： x 是偶數(shù)， H(x)： x 是 2。命題符號(hào)化 ?x(M(x)?((F(x)?G(x))?H(x)))。 ?設(shè) M(x)： x 不 是地球， F(x)： x 上有人， c：金星。命題符號(hào)化 ?x(M(x)?F(x))?F(c)。 2．解 ? ?x(A(x)?B(x)) ?(A(1)?B(1))?(A(2)?B(2))?(A(3)?B(3)) ?0?0?0?0。 ? ?x(A(x)??(x?2)) ?(A(1)??(1?2))?(A(2)??(2?2))?(A(3)??(3?2)) ?1?0?1?0。 3．解 ? ?x 的轄域 P(x)?Q(y)，其中 x 是約束變?cè)?y 是自由變?cè)??y 的轄域 M(x,y)，其中 x 是自由變?cè)?y 是約束變?cè)? ? ?x 的轄域 P(x)， ?x 的轄域 M(x)，其中 x 在兩個(gè)量詞的不同轄域中都是約束變?cè)?y 是自由變?cè)? ? ?x 的轄域 P(x,y)，其中 x 是約束變?cè)?y 是自由 變?cè)??y 的轄域 Q(y)，其中 y 是約束變?cè)? ? ?x 的轄域 ?yP(x,y)， ?y 的轄域 P(x,y)，整個(gè)公式中 x 是約束變?cè)?y 約束變?cè)?1 次，自由變?cè)?1 次。 4．解 ?!xP(x)??x(P(x)??y(P(y)?(y=x)))。 5．解 ? ?xP(x)??xQ(x) ?P(a)?P(b)?P(c)?Q(a)?Q(b)?Q(c) ? ?x(P(x)??xQ(x))? (P(a)?(Q(a)?Q(b)?Q(c)))?(P(b)?(Q(a)?Q(b)?Q(c)))?(P(c)?(Q(a)?Q(b)?Q(c))) ? ?x?yR(x,y)??yR(a,y)??yR(b,y)??yR(c,y) ?(R(a,a)?R(a,b)?R(a,c))?(R(b,a)?R(b,b)?R(b,c))?(R(c,a)?R(c,b)?R(c,c)) 6．解 ?設(shè)個(gè)體域?yàn)?D={a， b}，令 P(a)=1； P(b)=0； Q(a)=0； Q(b)=1。則 ?xP(x)為假， ?xQ(x)為假，從而 ?xP(x)??xQ(x)為真。由于 P(a)?Q(a)為假，所以 ?x(P(x)? Q(x))也為假，此時(shí)公式為假。因此，公式不是邏輯有效式。 ? 設(shè) D={a}，若 R(a)=1， P(a)=0， Q(a)=1， 則 ?x(P(x)?Q(x))為 假，而 ?x((P(x)?R(x))?(Q(x)?R(x)))為真 ，因此原公式為假。因此，公式不是邏輯有效式。 ?設(shè)個(gè)體域 D={a， b}， Q(a)=Q(b)=0，取 P(a)=1， P(b)=0。則 ?x(P(x)?Q(y))為真 ，而 (?xP(x)?Q(y))為假。因此，原公式不是邏輯有效式。 ? ?x?y(P(x)?Q(y))??x?y(?P(x)?Q(y))??x(?P(x)??yQ(y)) ??x?P(x)??y Q(y)???xP(x)??yQ(y)??xP(x)??yQ(y) 因此，原公式為邏輯有效式。 7．? 證明 ?z(A(x)?B(x)) ??x(?A(x)?B(x)) ??x?A(x)??x B(x)) ???xA(x)??x B(x)) ??xA(x) ??x B(x)) ? 證明 ?xP(x)??yQ(y) 23 ???xP(x)??yQ(y) ??x?P(x)??yQ(y) ??x?y(?P(x)? Q(y)) ??x?y(P(x)?Q(y)) 9．? 證明 ① ?xF(x) P ② F(c) T① ES ③ ?xF(x)??y((F(y)?G(y))?R(y)) P ④ F(c)??y((F(y)?G(y))?R(y)) T③ US ⑤ ?y((F(y)?G(y))?R(y)) T②④ 假言推理 ⑥ (F(c)?G(c))?R(c) T⑤ US ⑦ F(c)?G(c) T⑥ 附加 ⑧ R(c)