【正文】 (x) P(x)∧┐($y)Q(y) 219。($y)(x) (P(x)∧┐Q(y))（2）($x)P(x)→(x) Q(x)219。($x)P(x)→(y) Q(y)219。($x)(y)(P(x)→Q(y))（3）((x) P(x)∨($y)Q(y))→(x)R(x)219。┐((x)P(x)∨($y)Q(y))∨(x)R(x) 219。 (┐(x) P(x)∧┐($y)Q(y))∨(x)R(x)219。 (($x)┐P(x)∧(y)┐Q(y))∨(x)R(x) 219。 ($x)(y)(z)(┐P(x)∧┐Q(y)∨R(z))（4）(x)(P(x)→Q(x，y))→(($y)R(y)→($z)S(y，z))219。┐(x)(P(x)→Q(x，y))∨(($y)R(y)→($z)S(y，z))219。 ($x)(P(x)∧┐Q(x，y))∨((y) ┐R(y)∨($z)S(y，z))219。 ($x)($z)(y)(P(x)∧┐Q(x，u)∨┐R(y)∨S(v，z))20. 證明下列各式。（1）(x)( ┐A(x)→B(x))，(x) ┐B(x) 222。($x)A(x)（2）($x)A(x)→(x)B(x) 222。(x) (A(x)→B(x))（3）(x)(A(x)→B(x))，(x)(C(x)→┐B(x))222。(x)(C(x)→┐A(x))（4）(x)(A(x)∨B(x))，(x)(B(x)→┐C(x))，(x)C(x)222。 (x)A(x)證明：（1）(1) (x) ┐B(x) P(2) ┐B(a) ES(1)(3) (x)( ┐A(x)→B(x)) P(4) ┐A(a)→B(a) US(3)(5) A(a) T(2)(4) I(6) ($x)A(x) EG(5)（2）($x)A(x)→(x)B(x)219。┐($x)A(x)∨(x)B(x)219。(x)┐A(x)∨(x)B(x) 222。(x)(┐A(x)∨B(x))219。 (x) (A(x)→B(x))（3）(1) (x)(C(x)→┐B(x)) P(2) C(a)→┐B(a) US(1)(3) (x)(A(x)→B(x)) P(4) A(a)→B(a) US(3)(5) ┐B(a)→┐A(a) T(4) E(6) C(a)→┐A(a) T(2)(5) I(7) (x)(C(x)→┐A(x)) UG(6)（4）(x)(A(x)∨B(x))，(x)(B(x)→┐C(x))，(x)C(x)222。 (x)A(x)(1) (x)C(x) P(2) C(a) US(1)(3) (x)(B(x)→┐C(x)) P(4) B(a)→┐C(a) US(3)(5) ┐B(a) T(2)(4) I(6) (x)(A(x)∨B(x)) P(7) A(a)∨B(a) US(6)(8) A(a) T(5)(7) I(9) (x)A(x) UG(8)21. 用CP規(guī)則證明。（1）(x) (P(x)→Q(x))222。 (x)P(x)→(x)Q(x)（2）(x) (P(x)∨Q(x))222。 (x)P(x)∨($x)Q(x)證明：（1）(x) (P(x)→Q(x))222。 (x)P(x)→(x)Q(x)證明：(1) (x)P(x) P(附加前提)(2) P(a) ES(1)(3) (x) (P(x)→Q(x)) P(4) P(a)→Q(a) US(3)(5) Q (a) T(2)(4) I(6) (x)Q(x) UG(5)(7) (x)P(x)→(x)Q(x) CP(1) (6)（2）(x) (P(x)∨Q(x))222。 (x)P(x)∨($x)Q(x)證明：(1) ┐(x)P(x) P(附加前提)(2) ($x)┐P(x) T(1) E(3) ┐P(a) ES(2)(4) (x) (P(x)∨Q(x)) P(5) P(a)∨Q(a) US(4)(6) Q(a) T(3)(5) I(7) ($x)Q(x) EG(6)(8) ┐(x)P(x)→($x)Q(x) CP(1) (7)(9) (x)P(x)∨($x)Q(x) T(8) E22. 符號化下列命題，并推證其結(jié)論： （1）任何人如果他喜歡步行，他就不喜歡乘汽車。每一個人或者喜歡汽車或者喜歡騎自行車。有的人不愛騎自行車。因而有人的不愛步行。（2）不存在能表示成分數(shù)的無理數(shù)。有理數(shù)都能表示成分數(shù)。因此，有理數(shù)都不是無理數(shù)。（3）每個自然數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)。自然數(shù)是偶數(shù)當且僅當它能被2整除。并不是所以的自然數(shù)都能被2整除。因此，有的自然數(shù)是奇數(shù)。（4）三角函數(shù)都是周期函數(shù)。一些三角函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。所以，一些周期函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。（5）每個科學家都是勤奮的。每個勤奮又身體健康的人在事業(yè)中都會獲得成功。存在著身體健康的科學家。所以存在著事業(yè)獲得成功的人或事業(yè)半途而廢的人。解：（1）F(x)：x喜歡步行。C(x)：x喜歡喜歡乘汽車。B(x)：x喜歡騎自行車。論域是{人}。 (x) (F(x)→┐C(x))，(x) (C(x)∨B(x))，($x)┐B(x) 222。 ($x)┐F(x)證明：(1) ($x)┐B(x) P(2) ┐B(a) ES(1)(3) (x) (C(x)∨B(x)) P(4) C(a)∨B(a) US(3)(5) C(a) T(2)(4) I(6) (x) (F(x)→┐C(x)) P(7) F(a)→┐C(a) US(6)(8) C(a) →┐F(a) T(7) E(9) ┐F(a) T(5)(8) I(10) ($x)┐F(x) EG(9)（2）Q(x)：x是有理數(shù)。W(x)：x是無理數(shù)。D(x)：x能表示成分數(shù)。┐($x)(W(x)∧D(x))，(x)(Q(x)→D(x))222。(x)(Q(x)→┐W(x))證明：(1) ┐($x)(W(x)∧D(x)) P(2) (x)┐(W(x)∧D(x)) T(1) E(3) (x) (W(x)→┐D(x)) T(2 E(4) W(a)→┐D(a) US(3)(5) D(a)→┐W(a) T(4) E(6) (x)(Q(x)→D(x)) P(7) Q(a)→D(a) US(6)(8) Q(a)→┐W(a) T(5)(7) I(9) (x)(Q(x)→┐W(x)) UG(8)（3）O(x)：x是奇數(shù)。E(x)：x是偶數(shù)。D(x)：x能被2整除。論域為{自然數(shù)}。(x)(O(x)←∣ → E(x))，(x)(E(x)→← D(x))，┐(x)D(x)222。($x)O(x)證明：(1) ┐(x)D(x) P(2) ($x) ┐D(x) T(1) E(3) ┐D(a) ES(2)(4) (x)(E(x)→← D(x)) P(5) E(a)→← D(a) US(4)(6) ┐E(a) T(3)(5) I(7) (x)(O(x)←∣ → E(x)) P(8) O(a)←∣ → E(a) US(7)(9) O(a) T(6)(8) I(10) ($x)O(x) EG(9)（4）S(x)：x是三角函數(shù)。D(x)：x是周期函數(shù)。H(x)：x是連續(xù)函數(shù)。論域是{函數(shù)}。 (x) (S(x)→D(x))，($x)(S(x)∧H(x)) 222。($x)(D(x)∧H(x))證明：(1) ($x)(S(x)∧H(x)) P(2) S(a)∧H(a) ES(1)(3) S(a) T(2) I(4) H(a) T(2) I(5) (x) (S(x)→D(x)) P(6) S(a)→D(a) US(5)(7) D(a) T(3)(6) I(8) D(a)∧H(a) T(4)(7) I(9) ($x)(D(x)∧H(x)) EG(8)（5）S(x)：x是科學家。D(x)：x是勤奮的。H(x)：x是身體健康的。C(x)：x是成功的。論域是{人}。 (x) (S(x)→D(x))，(x) (D(x)∧H(x)→C(x))，($x)(S(x)∧H(x)) 222。 ($x)C(x)∨($x)┐C (x)證明：(1) ($x)(S(x)∧H(x)) P(2) S(a)∧H(a) ES(1)(3) S(a) T(2) I(4) H(a) T(2) I(5) (x) (S(x)→D(x)) P(6) S(a)→D(a) US(5)(7) D(a) T(3)(6) I(8) (x) (D(x)∧H(x)→C(x)) P(9) D(a)∧H(a)→C(a) US(8)(10) C(a) T(4)(7) (9) I (11) ($x)C(x) EG(10)(12) ($x)C(x)∨($x)┐C (x) T(11) I習題三1. 分別用描述法和列舉法表示下列集合：(1) 非負偶數(shù)集；(2) 整數(shù)24的全部正因子的集合；(3) 不超過9且與9互質(zhì)的正整數(shù)集合（該集合的元素個數(shù)稱歐拉函數(shù)j (9)）。解：描述法（1）{x|x是非負偶數(shù)}（2）{x|x是24的正因子}（3）{x| x是不超過9且與9互質(zhì)的正整數(shù)}列舉法（1）{0,2,4,…}（2）{1,2,3,4,6,8,12,24}（3）{1,2,4,5,7,8}2. 是否存在集合A和B，使得A?B且A206。B？若存在，請舉一例。解：存在。A={1}，B={1,{1}}，則A?B且A206。B均成立。3. 求下列集合的冪集：（1）198。；（2）{198。}；（3）{a,{a}}；（4）{{1,2}}。解：（1）P(198。)={198。}（2）P({198。})={198。,{198。}}（3）P({a,{a}})={198。,{a},{{a}},{a,{a}}}（4）P({{1,2}})={198。,{{1,2}}}4. 設S = {0, 1}，求集合SP(S)。解：P(S)={198。,{0},{1},{0,1}}SP(S)={ 0, 198。, 0, {0},0, {1},0, {0,1},1, 198。,1, {0},1, {1},1, {0,1}}5. 證明：對任意集合A，B都有P(A)∩P(B)＝P(A∩B)，P(A)∪P(B)?P(A∪B)并舉例說明，一般P(A)∪P(B)≠P(A∪B)。證明： 對任意的集合C，若C∈P(A)∩P(B)219。C∈P(A)∧C∈P(B)219。C?A∧C?B219。C?A∩B所以P(A)∩P(B)＝P(A∩B)成立。對任意的集合C，若C∈P(A)∪P(B)219。C∈P(A)∨C∈P(B)219。C?A∨C?B222。C?A∪B所以P(A)∪P(B)?P(A∪B)成立。舉例：A={1,2}，B={2,3}，P(A)={ 198。，{1}，{2}，{1,2}}，P(B)={ 198。，{2}，{3}，{2,3}}，P(A)∪P(B)={ 198。，{1}，{2}，{1,2}，{3}，{2,3}}，A∪B={1,2,3}，P(A∪B)= { 198。，{1}，{2}，{1,2}，{3}，{2,3}，{1,3}，{1,2,3}}。所以，P(A)∪P(B)≠P(A∪B)。6. 設A，B，C是任意集合，證明：（1）C∩(A197。B)=(C∩A)197。(C∩B)；（2）已知A∩B?B∩C，且有AB?BC，則A?B。證明： （1）C∩(A197。B)=C∩((A－B)∪(B－A))=(C∩(A－B))∪(C∩(B－A))= ((C∩A)－(C∩B))∪((C∩B)－(C∩A))=(C∩A)197。(C∩B)（2）反證法。假設結(jié)論不成立，則存在x∈A，且x207。B，則x∈AB，x∈BC，即x∈B。與x207。B矛盾。7. 確定下列關系具備哪些性質(zhì)？（1）當且僅當|ik|11(i, k206。Z)時，有iRk；（2）當且僅當mn8(m, n206。N)時，有mRn；（3）當且僅當i≤k(i, k206。N)時，有iRk。解：（1）自反，對稱（2）對稱（3）自反，對稱，傳遞8. 請在集合A＝{a,b,c}上分別構(gòu)造滿足下述要求的二元關系：（1）既是對稱又是反對稱的；（2）既不自反也不反自反；（3）對稱且自反；（4）自反,對稱且傳遞；（5）以{a,b,b,c}為子集而且還是傳遞的。解：（1）{a,a,b,b,c,c}（2）{a,a,b,b}（3）{a,a,b,b,c,c,a,b,b,a}（4）{a,a,b,b,c,c,a,b,b,a}（5）{a,b,b,ca,c}9. 設Rj表示Z上模j等價關系，Rk表示Z上模k等價關系, 證明：Z/Rk細分Z/Rj當且僅當k是j的整數(shù)倍。證明：充分性：若k是j的整數(shù)倍，即$l206。Z，使k=lj，Z/Rk={[a]Rk| a206。Z}，Z/Rj={[a]Rj| a206。Z }，[a]Rk={x| x20