【正文】 （1）(x)P(x)→P(y)（2）(x)(P(x)∧Q(x))∧($x)S(x)（3）($x)(y)(P(x)∧Q(y))→(x)R(x)（4）($x)($y)(P(x，y)∧Q(z))解：（1）x為約束變?cè)?x) 約束，y為自由變?cè)?。S(x,y)：y是x的后繼數(shù)。用兩個(gè)謂詞表達(dá)上述3條公理。（2）沒有一個(gè)數(shù)使數(shù)1是它的后繼數(shù)。z))5. 自然數(shù)一共有3條公理。G(x,y)：x大于y。Q(x,y)：y大于x。F(y)：y是乘積中的一個(gè)因子。Z(y)：y為零。（3）存在實(shí)數(shù)x，y和z，使得x與y之和大于x與z之積。（1）如果有限個(gè)數(shù)的乘積為零，那么至少有一個(gè)因子等于零。(x)(y)((R(x)∧R(y)∧┐E(x,y))→($z)(R(z)∧┐E(x,z)∧┐E(y,z)))3. 試表示出“A是B的外祖父”，只允許用以下謂詞：P(x)表示“x是人”，F(xiàn)(x，y)表示“x是y的父親”，M(x，y)表示“x是y的母親”。($x)(C(x)∧(y)(T(y)→┐K(x,y)))∧($y)(T(y)∧(x)(C(x)→K(y,x)))（12）R(x)：x是實(shí)數(shù)。T(x)：x是火車。T(x,y)：x比y高。┐(x)(C(x)→(y)(T(y)→K(x,y)))（10）M(x)：x是男人。T(x)：x是火車。P(x,y)：x欽佩y。(x)(A(x)→($y)(T(y)∧P(x,y)))（8）S(x)：x是大學(xué)生。T(x)：x是教練員。G(x)：x是國(guó)家對(duì)選手。┐O(w)∧┐J(w)（6）S(x)：x是大學(xué)生。J(x)：x是健壯的。J(x)：x是健壯的。($x)(A(x)∧S(x))（4）T(x)：x是教練員。P(a,b)→← ┐C(a,b)（3）S(x)：x是大學(xué)生。a：直線A。┐(x)(S(x)→K(x))（2）P(x,y)：x平行于y。解：（1）S(x)：x是大學(xué)生。（11）某些汽車慢于所有的火車，但至少有一火車快于每一汽車。（9）并不是所有的汽車都比火車快。（7）所有運(yùn)動(dòng)員都?xì)J佩某些教練。（5）王教練既不年老，也不健壯。（3）某些運(yùn)動(dòng)員是大學(xué)生。（1）并非所有大學(xué)生都能成為科學(xué)家。D(x)：x喝水。($x)(M (x)∧T(x))（12）M(x)：x是人。 (x)((B(x)∨W(x))∧Z(x)→G(x))（11）M(x)：x是機(jī)器人。Z(x)：x抓住老鼠。W(x)：x是白貓。E(x)：x是偶數(shù)。┐(x)( R(x)→Q(x))（9）N(x)：x是自然數(shù)。($x)(R(x)∧Q(x))（8）Q(x)：x是有理數(shù)。(x)(Q(x)→R(x))（7）Q(x)：x是有理數(shù)。（6）Q(x)：x是有理數(shù)。S(h)∨B(h)（5）O(x)：x是奇數(shù)。B(x)：x是球類運(yùn)動(dòng)員。z：小張。C(w)∧S(w)（3）F(x，y)：x和y是好朋友。S(x)：x好學(xué)。w：小王。（12）有的人不吃蘿卜，但人都要喝水。（10）不管黑貓白貓，抓住老鼠就是好貓。（8）并非每一個(gè)實(shí)數(shù)都是有理數(shù)。（6）每一個(gè)有理數(shù)都是實(shí)數(shù)。（4）他是田徑或球類運(yùn)動(dòng)員。（2）小王聰明而又好學(xué)。（P∨Q）→R，R→S，┐S?┐Q（1） ┐S P（2） R→S P（3） ┐R T（1），（2）I（4） （P∨Q）→R P（5） ┐（P∨Q） T（3），（4）I（6） ┐P∧┐Q T（5）E（7） ┐Q T（6）I習(xí)題二1. 用謂詞表達(dá)式符號(hào)化下列命題。證明：（1）P：今天是星期六，Q：我們要到獨(dú)秀峰去玩，R：我們要到象鼻山去玩，S：獨(dú)秀峰游人太多。烤熟的鴨子不會(huì)跑。獨(dú)秀峰游人太多，所以我們?nèi)ハ蟊巧酵妗?0. 構(gòu)造下面推理的證明：（1）如果今天是星期六，我們就要到獨(dú)秀峰或象鼻山去玩，如果獨(dú)秀峰游人太多，我們就不去獨(dú)秀峰。（5）可以表示為：E。（3）可以表示為：D→┐E。則（1）可以表示為：A∨B。D：乙的證詞正確。B：乙是竊賊。判斷誰(shuí)是盜賊，用構(gòu)造證明法寫出結(jié)論的判斷過程。（4）若乙的證詞不正確，則作案時(shí)間發(fā)生在夜間12點(diǎn)以前。（2）甲是竊賊，作案時(shí)間不會(huì)發(fā)生在夜間12點(diǎn)以前。故總共有三種派法：B和D去，A和D去或A和C去。(┐A∧┐B∧┐C)∨(┐A∧┐B∧┐D)∨(┐A∧┐C)∨(┐A∧┐C∧┐D)∨(┐C∧D∧┐B∧┐C)∨(┐C∧D∧┐B∧┐D)∨(┐C∧D∧┐C)∨(┐C∧D∧┐C∧┐D)∨(C∧┐D∧┐B∧┐C)∨(C∧┐D∧┐B∧┐D)∨(C∧┐D∧┐C)∨(C∧┐D∧┐C∧┐D)219。(┐A∨(┐C∧D)∨(C∧┐D)) ∧(┐B∨┐C)∧(┐C∨┐D)219。(1)(2)(3)同時(shí)成立，即A→(C ←∣ → D)∧┐(B∧C)∧(C→┐D)成立。D：D去。B：B去。28. A，B，C，D四個(gè)人中要派兩個(gè)人出差，按下述三個(gè)條件有幾種派法？如何派？（1）若A去則C和D要去一人；（2）B和C不能都去；（3）C去則D要留下。(A∧┐B∧C∧┐D∧E∧┐D)∨(┐A∧B∧┐C∧D∧E∧┐D)∨(A∧┐B∧C∧┐D∧┐E∧D)∨(┐A∧B∧┐C∧D∧┐E∧D)219。(( A∧┐B)∨(┐A∧B))∧(( C∧┐D)∨(┐C∧D))∧(( E∧┐D)∨(┐E∧D))219。根據(jù)題意有： (A ←∣ → B)∧(C ←∣ → D)∧(E ←∣ → D)成立。D：D第四。B：B第二。結(jié)果三人估計(jì)得都不全對(duì)，但都對(duì)了一個(gè)，問A、B、C、D的名次。乙說“C第二，D第四”。若只有一人成績(jī)最好，是甲。(A∧┐D∧┐B∧C)表示甲、丙兩人并列成績(jī)最好。(A∧D∧┐B∧C)∨(A∧D∧┐B∧┐C)∨(A∧┐D∧┐B∧C)∨(A∧┐D∧┐B∧┐C)(A∧D∧┐B∧C)表示甲、丙和丁三人并列成績(jī)最好。T即(A∧D∧┐B)∨(A∧┐D∧┐B) 219。D：丁的成績(jī)最好。B：乙的成績(jī)最好。四人的回答只有一人符合實(shí)際。證明：（1）┐A∨B，C→┐B? A→┐C證明：(1) A P（附加前提）(2) ┐A∨B P(3) B T(1) (2) I(4) C→┐B P(5) ┐C T(3) (4) I(6) A→┐C T(1) (5) CP（2）A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E) ? A→(B→F)證明：(1) A P（附加前提）(2) A→(B→C) P(3) B→C T(1) (2) I(4) (C∧D)→E P(5) C→┐(D∧┐E) T(4) E(6) B→┐(D∧┐E) T(3)(5) I(7) ┐F→(D∧┐E) P(8) ┐(D∧┐E) →F T(7) E(9) B→F T(6)(8) I(10) A→(B→F) CP(1)(9)（3）A∨B→C∧D，D∨E→F? A→F證明：(1) A P（附加前提）(2) A∨B T(1) I(3) A∨B→C∧D P(4) C∧D T(2) (3) I(5) D T(4) I(6) D∨E T(5) I(7) D∨E→F P(8) F T(6)(7) I(9) A→F CP(5)(8)（4）A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F) →┐D，B→(A∧┐E)?B→E證明：(1) B P（附加前提）(2) ┐B∨D P(3) D T(1) (2)I(4) (E→┐F) →┐D P(5) D→┐(E→┐F) T(4) E(6) ┐(E→┐F) T(3) (5) I(7) E∧F T(6) E(8) E T(7) I(9) B→E CP(1)(8) 25. 證明下列各式。（1）┐(P∧┐Q)，┐Q∨R，┐R ?┐P（2）A→(B∨C)，(D∨E)→A，D∨E ? B∨C（3）B∧C，(B →← C)→(D∨E)?D∨E（4）P→Q，(┐Q∨R)∧┐R，┐(┐P∧S)?┐S證明：（1）┐(P∧┐Q)，┐Q∨R，┐R ?┐P證明：(1) ┐R P(2) ┐Q∨R P(3) ┐Q T(1)(2) I(4) ┐(P∧┐Q) P(5) ┐P∨Q T(4) E(6) ┐P T(3)(5) I（2）A→(B∨C)，(D∨E)→A，D∨E ? B∨C證明：(1) D∨E P(2) (D∨E)→A P(3) A T(1)(2) I(4) A→(B∨C) P(5) B∨C T(3)(4) I（3）B∧C，(B →← C)→(D∨E)?D∨E證明：(1) B∧C P(2) B →← C T(1) I(3) (B →← C)→(D∨E) P (4) D∨E T(2)(3) I（4）P→Q，(┐Q∨R)∧┐R，┐(┐P∧S)?┐S證明：(1) (┐Q∨R)∧┐R P(2) ┐Q∨R T(1) I(3) ┐R T(1) I(4) ┐Q T(2)(3) I(5) ┐(┐P∧S) P(6) S→ P T(5) E(7) P→Q P(8) S→Q T(6) (7) I(9) ┐Q→┐S T(8) E(10) ┐S T(4) (8) I23. 僅用規(guī)則P和T，推證以下公式。(┐P∨┐Q∨P)∧(┐P∨┐Q∨Q) 219。 T∨(P∧Q) 219。 F（4）P∨(P→(P∧Q)) 219。 F┐P∧┐Q∧(P∨Q) 219。 P（3）P∧Q∧(┐P∨┐Q) 219。(P∨Q)∧(┐Q∨P)219。P∧(┐Q∨Q)219。┐(┐P∨Q)∨(P∧Q)219。┐P∨(Q∧R) 219。（1）(P→Q)∧(P→R) ，P→(Q∧R)（2）(P→Q)→(P∧Q)，(┐P→Q)∧(Q→P)（3）P∧Q∧(┐P∨┐Q)，┐P∧┐Q∧(P∨Q)（4）P∨(P→(P∧Q))，┐P∨┐Q∨(P∧Q)證明：（1）(P→Q)∧(P→R) 219。F主合取范式為：M0∧M1∧M2∧M3公式為永假式。(┐Q∨P)∧(┐P∧Q)219。T主析取范式為：m0∨m1∨m2∨m3公式為永真式。┐P∨(P∧(┐Q∨P))219。 m000∨m110 主析取范式公式為可滿足式。M4∧M5∧M7∧M2∧M3∧M1 主合取范式219。(┐P∨Q∨R)∧(┐P∨Q∨┐R)∧(┐P∨┐Q∨┐R)∧(P∨┐Q∨R)∧(P∨┐Q∨┐R)∧(P∨Q∨┐R) 219。(┐P∨(Q∧R))∧(P∨(┐Q∧┐R))219。 m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7 主析取范式公式為可滿足式。 M000219。 P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))219。（2）PQP∨┐∧(P∨┐Q)1111101001000010主析取范式為：P∧Q主合取范式為：(┐P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(P∨Q)公式為可滿足式。(P∨Q∨┐R)∧(P∨┐Q∨R)∧(P∨┐Q∨┐R)∧(┐P∨Q∨R)∧(┐P∨Q∨┐R)∧(┐P∨┐Q∨R)20. 求下列公式的主析取范式和主合取范式，并指出該公式的類型。m7∨m0主合取范式為：M1∧M2∧M3∧M4∧M5∧M6219。 T（3）真值表法(P→ Q∧R)∧((┐P→ (┐Q∧┐R))PQRQ∧RP→ Q∧R┐Q∧┐R┐P→ (┐Q∧┐R)原公式1111101111000010101000101000011001111000010010000010100000001111主析取范式為：(P∧Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧┐R)219。(┐P∨(P∨Q))∨R219。(P∧Q)∨(P∧┐Q)∨(┐P∧┐Q) 主析取范式（2）真值表法(P→ (P∨Q))∨RPQRP∨QP→ (P∨Q)(P→ (P∨Q))∨R111111110111101111100111011111010111001011000011原式為永真式，其主析取范式為所有小項(xiàng)的析取，即：m000∨m001∨m010∨m011∨m100∨m101∨m110∨m111不能表示為主合取范式。(┐P∨┐Q∨P)∧(┐Q∨┐Q∨P) 219。┐(P∨Q)∨(┐Q∨P)219。 (P∧┐P)∨(P∧Q) 析取范式19. 求下列公式的主析取范式和主合取范式。解：P∧(P→Q) 219。┐(┐P∧┐Q)219。┐(┐(P∨Q)) 219。┐(┐P∨┐Q)219。┐(┐(P∧Q)) 219。┐P↓┐Q（2）┐(P↓Q)219。┐((P↓P)↓(Q↓Q))219。解：P↑Q219。（1）(P→┐Q)∧R（2）P →← (Q∧R)∨P解：（1）(P→┐Q)∧R?(┐P∨┐