哈工大離散數(shù)學教科書習題答案-文庫吧資料
2025-06-24 20:36本頁面
【正文】 自反的，則也不是自反的e) 若R與S是反自反的，則也是反自反的f) 若R是自反的，則也是反自反的。設，R是X上的二元關(guān)系。第三章 關(guān) 系習題？解：設R是X上的一個二元關(guān)系且即可。7. 設“”是X上的代數(shù)運算，則應該怎樣定義“”的逆運算？回憶一下，逆運算通常比原運算“難算”，這是為什么？例如，積分比微分難，減法比加法難，除法比乘法難，開方比冪方運算難。也不滿足結(jié)合律， 單位為aoabcdaabcdbbaacccabdddcab。5. 設，A上的代數(shù)運算“”如表所示。6. 證明下列置換等式（1）證：＝（2），有多少個n—循環(huán)置換？解：對，有n種選擇對，有（n1）種選擇……對有1種選擇因此共有n!種排列對每個n－循環(huán)置換，均有n種排列，因此n－循環(huán)置換的個數(shù)為個習題3. 找一個既不滿足交換律又不滿足結(jié)合律的二元運算解：n維向量空間中向量的叉積運算。 －循環(huán)置換（123），（124）…（12n）中若干之乘積。而是奇置換與I是偶置換矛盾。證：假設與的奇偶性不同，不妨設為奇置換，為偶置換。解：。為對換即可。，則（1）若是左可逆的，則有多少個左逆映射？（2）若是右可逆的，則有多少個右逆映射？解：令，則（1）如圖1(a)所示：有；（2）如圖1(b)所示：有。證：由，得是單射。當時，可逆。（1）若存在唯一的一個映射，使得，則是可逆的嗎？（2）若存在唯一的一個映射，使得，則是可逆的嗎？答案：（1）不一定可逆。事實上，當n＝1時，故。解：（1）但，故f是滿射，但f不是單射。但，于是有矛盾。假設不是單射，則，但。可以用：。假設存在和：，因為，于是，使得。,Y,Z是三個非空的集合，證明：是單射當且僅當不存在從Z到X的映射，使得，但。構(gòu)造兩個映射，當時，；當時。也可以用如下方法：滿射右可逆，使得假設得到，命題得證。故與，矛盾。因為，所以，使得。證：因且為滿射，故，使得。,Y,Z是三個非空集合。從而，因此，而，所以，于是，故從而習題，試求。故反之，設，則且。[不去掉可能就會有]，證明，都有證；若，則,因而。令，則且。證：取，令。令，則。反例：設。以下四個小題中，每個小題均有四個命題，這四個命題有且僅有一個正確，請找出正確的那個。從而因此。于是且，使得。于是且，即，因此且，即，從而。故，即。從而，且，所以，故（3）設，則但。因此，故因此，（2）設，則，使得。于是或，使得。于是。習題，證明證1：，則，即但。解：反證法：若為奇數(shù)，則中的與必是一個為奇數(shù)，一個為偶數(shù)。（2） ，則，即能被100整除。設在一個類中的兩個余數(shù)分別為與。任意一個整數(shù)被100除以后的余數(shù)為0，1，2，…，99，把它們分成51個類，即{0},{1,99},{2,98},…{49,51},{50}[相當于51個盒子]。3. 證明在52個整數(shù)中，必有兩個整數(shù)，使這兩個整數(shù)之和或差能被100整除。而任意整數(shù)被除后，只有－1個余數(shù)——相當于－1抽屜，于是由鴿巢原理可知必有兩個余數(shù)相等。，試證：存在兩個整數(shù)，使得能被整除。(2) 連接各邊的三等分點，則可得到9個邊長都為1/3的小等邊小角形，每個小等邊三角形中任意兩個點之間的距離至多為1/3。證：(1) 將邊長為1的等邊三角形4等分，得到4個邊長為1/2的小等邊三角形。故為單射，從而就有矛盾。實際上，且，則若，則，所以；即。反證法：假設題中結(jié)論不成立，則。證：令，則。設當時，f的個數(shù)為當A是單元素集時，f的個數(shù)為當A中有2個元素時，f的個數(shù)為當A中有k個元素時，f的個數(shù)為當A中有n個元素時，f的個數(shù)為因此f的總個數(shù)為+++++＝＝即從X到X的部分映射共有個。2. 設X是一個有窮集合，證明：從X到X的部分映射共有個。因此假設不成立，本題得證。因此把重新排列有：。反證法：假設不存在和滿足且。與跳舞的姑娘的集合用表示；與跳舞的姑娘的集合用表示； 與跳舞的姑娘的集合用表示；于是，由題意：且且。證明：在所有參加舞會的小伙與姑娘中，必可找到兩個小伙子和兩個姑娘，這兩個小伙子中的每一個只與這兩個姑娘中的一個跳過舞，而這兩個姑娘中的每一個也只與這兩個小伙中的一個跳過舞。5．畢業(yè)舞會上，小伙子與姑娘跳舞，已知每個小伙子至少與一個姑娘跳過舞，但未能與所有姑娘跳過。 對于，有 。所以全部裝錯的集合為：。令為S中具有性質(zhì)之集，則所求為：3．設A,B是兩個有限集，試求解：4．馬大哈寫n封信，n個信封，把n封信放入到n個信封中，求全部裝錯的概率是多少？解：，令表示所有信都裝錯的集合，即。2．求1到250之間不能被2，3，5，7中任一數(shù)整除的數(shù)的個數(shù)。問此班中至少有百分之幾的學生正同時學德文和法文？解：設A,B分別為正在學德文和法文的學生的集合，班級總?cè)藬?shù)為n，則，于是同時學習德文和法文的人數(shù)為，故。于是。反之，因為，故在中任取一元素y，必有，因而，故。證：，因為，故在B中任取一元素y，必有，因而，故。9．設A有m個元素，B有n個元素，則AB是多少個序?qū)M成的？AB有多少個不同的子集？答：AB有mn個序?qū)?；AB有個不同子集。（5）若，則。于是。(3)若，則且，即，于是。反之，則或或，于是，(1)若，則且，即，于是。，則必有，故。因此(1)若，則。5．設，試證：證：，則，故或。從而有，但，即，從而。從而。則
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