哈工大離散數(shù)學(xué)教科書習(xí)題答案(編輯修改稿)
2024-07-15 20:36 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 差能被100整除。證：設(shè)是52個(gè)整數(shù)，令為被100除后所得的余數(shù)，即[相當(dāng)于52個(gè)物體]。任意一個(gè)整數(shù)被100除以后的余數(shù)為0，1，2，…，99，把它們分成51個(gè)類，即{0},{1,99},{2,98},…{49,51},{50}[相當(dāng)于51個(gè)盒子]。把52個(gè)余數(shù)放入到51個(gè)類中，必在兩個(gè)余數(shù)放在一個(gè)類里。設(shè)在一個(gè)類中的兩個(gè)余數(shù)分別為與。則有（1） 若，則，即能被100整除。（2） ，則，即能被100整除。，若n是奇數(shù)且，則乘積為偶數(shù)。解：反證法：若為奇數(shù)，則中的與必是一個(gè)為奇數(shù)，一個(gè)為偶數(shù)。而n為奇數(shù)，故奇數(shù)個(gè)數(shù)為比偶數(shù)多一個(gè)，這是不可能的。習(xí)題，證明證1：，則，即但。于是但，因此，故反之，設(shè)，有因此，即從而故因而證2：2. 設(shè)，證明（1）（2）（3）證：（1）設(shè)，則使得。于是。因此，所以，故反之，設(shè)，則。于是或，使得。因此不論何種情況都，使得。因此，故因此，（2）設(shè)，則，使得。于是，且。從而，且，所以，故（3）設(shè)，則但。于是使得，且，從而，使得。故，即。，證明：證：設(shè)，則，使得。于是且，即，因此且，即，從而。反之，設(shè)，則且。于是且，使得。從而，使得，因此。從而因此。以下四個(gè)小題中，每個(gè)小題均有四個(gè)命題，這四個(gè)命題有且僅有一個(gè)正確，請找出正確的那個(gè)。（1）（a）若，則未必在A中 （b）若，則 （c）若，則（d）若，則（2）（a） （b）（c） （d）（3）（a） （b）（c） （d）上面三個(gè)均不對（4）（a） （b）（c）若 （d）若答案：（a）（b）（c）（d）1 o2 o3 oo ao bo cXY？解：不成立。反例：設(shè)。令，則。證明：存在X的一個(gè)真子集E使得。證：取，令。若到某一位與前面有重復(fù)項(xiàng)，設(shè)為第k項(xiàng)，即。令，則且。若互不相同，令，則。[不去掉可能就會有]，證明，都有證；若，則,因而。若，設(shè)，則，使得且，于是且，因此。故反之，設(shè)，則且。于是且，使得。從而，因此，而，所以，于是，故從而習(xí)題，，試求。解：因此。,Y,Z是三個(gè)非空集合。證明：是滿射當(dāng)且僅當(dāng)不存在從Y到Z的映射和，使得，但。證：因且為滿射，故，使得。假設(shè)存在，但。因?yàn)?，所以，使得。對于上面的，（是滿射），使得，即。故與，矛盾。所以假設(shè)不成立。也可以用如下方法：滿射右可逆，使得假設(shè)得到，命題得證。，假設(shè)不是滿射，則，使得。構(gòu)造兩個(gè)映射，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)。因?yàn)?，故此時(shí)，但即＝，與假設(shè)不存在，但矛盾，故一定是滿射。,Y,Z是三個(gè)非空的集合，證明：是單射當(dāng)且僅當(dāng)不存在從Z到X的映射，使得，但。證：是單射，則，有。假設(shè)存在和：，因?yàn)?，于是，使得。而由于為單射，故，即，故矛盾?？梢杂茫?。逆否命題：。假設(shè)不是單射，則，但。構(gòu)造兩個(gè)映射和令，由于，故若，則有。但，于是有矛盾。習(xí)題1. 設(shè)，試構(gòu)造兩個(gè)映射和g：，使得（1），但；（2），但。解：（1）但，故f是滿射，但f不是單射。于是令：，則但。事實(shí)上，當(dāng)n＝1時(shí)，故。（2）自己做。（1）若存在唯一的一個(gè)映射，使得，則是可逆的嗎？（2）若存在唯一的一個(gè)映射，使得，則是可逆的嗎？答案：（1）不一定可逆。當(dāng)時(shí)，不一定可逆。當(dāng)時(shí)，可逆。（2）一定可逆。證：由，得是單射。假設(shè)不是滿射，則g不唯一，矛盾。，則（1）若是左可逆的，則有多少個(gè)左逆映射？（2）若是右可逆的，則有多少個(gè)右逆映射？解：令，則（1）如圖1(a)所示：有；（2）如圖1(b)所示：有。（a） (b)圖15. 是否有一個(gè)從到的一一對應(yīng)，使得，但？ 解：存在。為對換即可。習(xí)題，求。解：。解： =(1 7)(1 3)(2 9)(2 8)(2 4)(2 6)，試證：與的奇偶性相同。證：假設(shè)與的奇偶性不同，不妨設(shè)為奇置換，為偶置換。因?yàn)椋↖為恒等置換），又，因而I是偶置換。而是奇置換與I是偶置換矛盾。因而假設(shè)不成立，故與奇偶性相同。 －循環(huán)置換（123），（124）…（12n）中若干之乘積。證：因?yàn)橐虼吮绢}得證。6. 證明下列置換等式（1）證：＝（2），有多少個(gè)n—循環(huán)置換？解：對，有n種選擇對，有（n1）種選擇……對有1種選擇因此共有n!種排列對每個(gè)n－循環(huán)置換，均有n種排列，因此n－循環(huán)置換的個(gè)數(shù)為個(gè)習(xí)題3. 找一個(gè)既不滿足交換律又不滿足結(jié)合律的二元運(yùn)算解：n維向量空間中向量的叉積運(yùn)算。4. 給出一個(gè)三元運(yùn)算的例子解：求三個(gè)正整數(shù)的最大公因數(shù)。5. 設(shè)，A上的代數(shù)運(yùn)算“”如表所示。代數(shù)運(yùn)算“”是否滿足交換律？結(jié)合律？“”有單位元嗎？解：不滿足交換律，因?yàn)檫\(yùn)算表不對稱。也不滿足結(jié)合律， 單位為aoabcdaabcdbbaacccabdddcab。那么“”是N上的代數(shù)運(yùn)算嗎？為什么？解：當(dāng)m=1時(shí)，因此“”不是N上的代數(shù)運(yùn)算。7. 設(shè)“”是X上的代數(shù)運(yùn)算，則應(yīng)該怎樣定義“”的逆運(yùn)算？回憶一下，逆運(yùn)算通常比原運(yùn)算“難算”，這是為什么？例如，積分比微分難，減法比加法難，除法比乘法難，開
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