【文章內(nèi)容簡介】 能定義函數(shù)。，(2) 答：能定義函數(shù)。，(3) 答：不能定義函數(shù)。因為有一對多的情況。(4) 答：能定義函數(shù)。，4. 設函數(shù)，等式成立嗎？為什么？答：不成立。因為成立，但是不成立。下面證明。設，則且，所以必存在使。由于，所以，于是，因此，故。不成立，反例如下：設，則，函數(shù)的定義為：。顯然，。由上可知不成立。5 設有函數(shù)，試證明等式，等式成立嗎？為什么？證明：設，則或者。若，則存在使得，因此有，所以。若，類似地，有，故。反之，若，則存在，使得。由并集的定義或者，因此或者，于是，故。由上得證。不成立，因為，反之不成立。證明：設，則存在使得。因為且，所以且，因此，故。反例如下：設，其中，，函數(shù)定義為，，于是：，，，這里元素，但是。6. 設有函數(shù)和，使得是一個內(nèi)射，且是滿射。證明是一個內(nèi)射。舉出一個例子說明，若不是滿射，則不一定是內(nèi)射。證明：任取，并設。因為是滿射，所以必有，使得，根據(jù)函數(shù)象的唯一性的條件，由可得。又因為是由到的函數(shù)，所以有，使得。于是根據(jù)復合函數(shù)的定義，得： ，因為是內(nèi)射，所以由，可知。此即，故是內(nèi)射。例子：圖31 圖31中的例子可說明當不是滿射時，不一定是內(nèi)射。7. 在下列函數(shù)中，確定哪些是內(nèi)射，哪些是滿射，哪些是雙射。(1) 小于的；答：，因此不是內(nèi)射，是滿射，因此不是雙射。(2) 。答：是內(nèi)射，是滿射，因此是雙射(3) 答：因為，所以不是內(nèi)射。顯然對于任意的。因此不是滿射，因此不是雙射。(4) 答：因為，所以不是內(nèi)射。對于任意的，有。即對于任意的，有像源，所以是滿射，但是不是雙射。(5) 答：因為，所以，因此，因此不是滿射。是內(nèi)射(函數(shù)的單調(diào)性)。因此不是雙射。(6) 等于或大于的最小整數(shù)；答：因為，因此不是內(nèi)射是滿射。因此不是雙射。(是非負整數(shù)集合)(7)，答：對任意，但是，因此不是內(nèi)射。又，但是找不到，使得。因此不是滿射，因此也不是雙射。8. 設都是有限集，問存在著多少個不同的內(nèi)射？存在多少個不同的雙射？答：若要使得函數(shù)成為內(nèi)射，必須滿足，即，否則由到不可能存在內(nèi)射。當時，由到可定義個不同的內(nèi)射。此即為從的個元素中取出個元素的排列數(shù)。要使函數(shù)成為雙射，必須滿足，即。否則，由不可能存在雙射。當時，由到可定義個不同的雙射。9. 下列函數(shù)中，確定哪些是內(nèi)射，哪些是滿射，哪些是雙射。(1) ，答：因為，因此不是內(nèi)射。是滿射，因此不是雙射。(2) 答：表示被7除后的非負余數(shù)，于是按照函數(shù)的定義，得：顯然又是內(nèi)射，又是滿射，因此是雙射。(3) 答：，，。因此不是內(nèi)射不是滿射，因此也不是雙射。10. 設，試證明任何從到的函數(shù)，如果它是內(nèi)射，則它必是滿射，反之亦真。答：反證法。已知是內(nèi)射，假設不是滿射，則在中至少有一個元素沒有像源，即集合中的元素至多只有個像。但是，因此中至少有兩個元素對應同一個像，這與是內(nèi)射相矛盾。反之，已知是滿射，假設不是內(nèi)射，則中至少有兩個元素對應同一個像，即在中至多有個像，這與是滿射矛盾，所以是內(nèi)射。11. 設有函數(shù)，定義函數(shù)，使得： 試證明如果是滿射，則是內(nèi)射；其逆成立嗎？答：設，因為是滿射，存在，使得，因此，因此，因此是內(nèi)射。其逆不成立。因為當是內(nèi)射時，可能有一個元素，使，這意味著元素在中沒有像源，因此不是滿射。舉例如下：，函數(shù)和的定義如下，此時是內(nèi)射，但是不是滿射。圖3212. 設函數(shù)。這里。試證明和是滿射，但是都不是內(nèi)射。答：，但是，因此不是內(nèi)射。但是對，有，因此是滿射。同理，但是，因此不是內(nèi)射，但是對，因此是滿射。13. 設有函數(shù)和，這里和。求出和。并說明這些函數(shù)是否是內(nèi)射，滿射或雙射。答： 因為，因此不是內(nèi)射，又因為，因此也不是滿射。因此不是雙射。也不是內(nèi)射，也不是滿射，也不是雙射。但是是內(nèi)射是滿射，因此也是雙射。不是內(nèi)射，不是滿射，因此也不是雙射。14. 設有函數(shù)，給定為。試求出，，。答： ，15．設，定義一個函數(shù)，使得，而且是雙射，求，以及。能否找到一個雙射，使得，但是？答：定義函數(shù)，使得，，顯然是雙射且。函數(shù)；函數(shù)，類似地?？啥x函數(shù)，使得。顯然，但。16. 設，試求。答： 第7章 格和布爾代數(shù)下列各集合對于整除關系都構(gòu)成偏序集。在每個集合中對存在有最大下界和最小上界的元素對，找出它們的最大下界和最小上界；指出各集合中是否有最小元素和最大元素。(1) (2)(3) 解：(1)偏序集的次序圖如下：4和6的最大下界為1，最小上界為12； 2和3的最大下界為1，最小上界為6； 3和6的最大下界為3，最小上界為6； 該集合的最大元素為12，最小元素為1。(2)偏序集的次序圖如下：該集合最小元素為1，最大元素為24。任何兩個元素的最小上界為它們的最小公倍數(shù)，最大下界為它們的最大公約數(shù)。(3)偏序集的次序圖如下：該集合沒有最大元，有最小元素為1。 試證明在格中若，則有 證明：(1)因為，所以，又因為，所以，所以有成立。 (2)因為，所以，；又因為，所以，所以，所以有：成立。試證明在格中對于任意元素有證明：因為，所以由格的保號性 因為，所以由格的保號性 因此，是和的下界，所以： 在第一題中，哪一個偏序集構(gòu)成格？答：第1和第2個偏序集構(gòu)成了格，因為該集合中任何兩個元素都存在最大下界和最小上界。但是第3個集合中的元素則不滿足這個條件。下圖給出了三個偏序集的次序圖，其中哪些構(gòu)成格？不是格，因為最下層兩個元素沒有下確界。 (a) (b) 是格，因為任何兩個元素都有下確界和上確界。不是格，因為最上層兩個元素沒有上確界。設是格，試證明對于所有的，則有：證明：根據(jù)格的分配律，我們有 因為，所以，所以。 設是一個格，如果對于所有的，有 則稱是模式格，下圖所給出的格是模式格嗎？證明你的結(jié)論。解：不是模式格，因為對于這三個元素，但是，而，并不滿足模式格的要求，因此不是模式格。證明具有兩個或更多個元素的格中，不會有元素是它自身的補。證明：因在格中求補元，此格必為有界格，設為有界格，若，則。因為，因此0和1互為補元，即具有兩個元素的格中不存在以自身為補元的元素。若，設存在，且，若以自身為補元，則由補元的定義：，可得，與假設矛盾。因此不存在以自身為補元的元素。設是一個格，試證明如果有元素1和元素0，則這兩個元素必定是不相同的。證明：反證，假設這兩個元素是相同的，并記，則根據(jù)最大元素和最小元素的定義，我們有對，則，因此，這與條件矛盾。舉例說明并非每一有補格都是分配格；并非每個分配格都是有補格。解：由下圖(a)表示的格由于元素無補元，因此不是有補格；但是對任意三個元素都滿足分配等式，因此是分配格。 (a)下圖(b)表示的格中，0和1互為補元， 兩兩互補，因此是有補格。又因為，即所以不是分配格。 (b)1 設是一個格，且(即，但是)，令集合 證明也是一個格。證明：因為是格，所以對任意，有。由的定義知，所以。對任意， 由于是格，所以和在中存在且唯一。 下證。 由的定義知。所以且，根據(jù)格的保號性及等冪性有，所以。類似地，得，所以 ，即。類似地可證明，即。1設是一個格，試證明對于任意的元素，有下列命題成立： (1) 若，則 (2) 若，則 (3) 證明：(1) 因為，所以，同理有，因此。 (2) 因為，所以。 (3) 由格的分配律又因為為和的上確界，因此 因此得證。1設和是格中的兩個元素，試證明當且僅當不可比時。證明：必要性：(反證)已知 不可比，因為一定有，所以若，則，因此可比，因此矛盾。 充分性：(反證)假設可比，則由格的性質(zhì)，且，矛盾。1設集合，集合上所有分劃所構(gòu)成的集合為，你能否適當定義上一個偏序關系,使得成為一個格？解：記，其中為的一種分劃，定義上的偏序關系為，若分劃是的一個細分，則。顯然有，對任意，因此具有自反性；若，則因此具有反對稱性；若，則(根據(jù)細分的定義很容易得出)，所以具有可傳遞性，因此是偏序關系。中3個元素，共5種： 則對定義二元運算(若)，(若和不可比) (若)，(若和不可比) 可以畫出該偏序關系的次序圖如下：顯然定義的偏序關系是格。 1試證明在格中對任意元素，有證明:因為，，所以， ，所以可得： ，同理有： ，和所以成立。 1試證明在格中對于任意元素，有：時，格是分配格。證明：必要性：設是分配格，則對于任意有： 充分性：對于任意，令，，則滿足等式： (1)于是式(1)的左邊左邊因為，故所以。將帶入(1)的右邊得右邊所以有。因此是分配格。 第8章 圖論圖1所示之圖是否同構(gòu)于圖2 圖1 圖2答：根據(jù)點和邊的關聯(lián)關系，構(gòu)造，顯然是雙射且滿足同構(gòu)的定義。圖3中所給出的兩個8結(jié)點圖是否同構(gòu)？證明你的回答 圖3(a) 圖3(b)答：上述兩個圖不同構(gòu)。證明：因為圖3(b)中4個度數(shù)為3的結(jié)點中每一個均與另外兩個度數(shù)為3的結(jié)點相鄰，而圖3(a)中的每個度數(shù)為3的結(jié)點只與另外一個度數(shù)為3的結(jié)點相鄰，所以不同構(gòu)。證明在任何圖中奇次度結(jié)點的個數(shù)是偶數(shù)。證明：反證，假設圖G中存在奇數(shù)個奇次度結(jié)點，則圖中不論偶次度結(jié)點的個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，該圖的結(jié)點總度數(shù)為偶數(shù)，但是任何圖的所有結(jié)點度的總和又為邊數(shù)的兩倍，因此必為偶數(shù)，矛盾！設G是具有4個結(jié)點的