【文章內(nèi)容簡介】 j| j=i+1或j =i/2}；R2={ i, j |i=j+2}；試求，，及。設(shè)R為集合A上的二元關(guān)系，s，tN，st且Rs=Rt。證明a) 若k206。N，則Rs+k=Rt+k；b) 若k, i206。N，則Rs+kp+i=Rs+ i；c) 若k206。N，則Rk{R0,R1,…,Rt1}。其中p=ts。設(shè)IA為集合A上的恒等關(guān)系，R為A上的任意二元關(guān)系。證明a) R是自反的，當(dāng)且僅當(dāng)IA205。R；b) R是反自反的，當(dāng)且僅當(dāng)R∩IA=198。；c) R是對稱的，當(dāng)且僅當(dāng)R =R1；d) R是反對稱的，當(dāng)且僅當(dāng)R199。 R1= IA；e) R是傳遞的，當(dāng)且僅當(dāng)RoR205。IA。如果集合A上的二元關(guān)系R既是自反的，又是傳遞的，則R2=R。1設(shè)R1為從集合A到集合B的二元關(guān)系，R2為從集合B到集合C的二元關(guān)系。試求dom(R1oR2)和ran(R1oR2)。1設(shè)R為從集合A到集合B的二元關(guān)系，且對每個X205。A，皆令R (X)={ y206。B|有x206。X使＜x，y＞206。R}。若X1205。A且X2205。A，則有i) R (X1∪X2)= R (X1)∪R (X2)；ii) R (X1∩X2)205。 R (X1)∩R (X2)；iii) R (X1﹨X2)202。R (X1)﹨R (X2)；1設(shè)R1為從集合A到集合B的二元關(guān)系，R2為從集合B到集合C的二元關(guān)系。若X205。A，則(R1oR2) (X)= R2(R1 (X))。設(shè)R1和R2都是集合A上的二元關(guān)系，試證明：a) r(R1∪R2)=r(R1)∪r(R2)；b) s(R1∪R2)=s(R1)∪s(R2)；c) t(R1∪R2)202。t(R1)∪t(R2)。設(shè)R1和R2都是集合A上的二元關(guān)系，試證明：a) r(R1∩R2)=r(R1)∩r(R2)；b) s(R1∩R2)205。s(R1)∩s(R2)；c) t(R1∩R2)205。t(R1)∩t(R2)。并分別給出使s(R1)∩s(R2)205。s(R1∩R2)和t(R1)∩t(R2)205。t(R1∩R2)不成立的R1和R2的具體實例。給出一個二元關(guān)系R使 st(R)≠ts (R)。設(shè)R為集合A上的二元關(guān)系，試證明：a) RoR*= R+= R*oR；b) (R+)+= R+；c) (R*)*= R*；設(shè)R1和R2都是集合A上的相容關(guān)系。證明或用反例推翻下列命題：a) R1∩R2是A上的相容關(guān)系；b) R1∪R2是A上的相容關(guān)系；c) R1－R2是A上的相容關(guān)系；d) R1197。R2是A上的相容關(guān)系；e) R1oR2是A上的相容關(guān)系；f) 是A上的相容關(guān)系；如果A為恰含n個元素的有限集，則A上有多少個不同的相容關(guān)系？試判斷下列I上的二元關(guān)系是不是I上的等價關(guān)系，并說明理由。a) { i, j | i, j206。I且ij 0}；b) { i, j | i, j206。I且ij≥0且i與j不同時為0}；c) { i, j | i, j206。I且i≤0 }；d) { i, j | i, j206。206。I且ij≥0 }；e) { i, j | i, j206。I且i| j }；f) { i, j | i, j206。I且有x206。I使10x≤i≤j≤10(x +1)}；g) { i, j | i, j206。I且| i－j |≤10 }；h) { i, j | i, j206。I且有x, y206。I使10x≤i≤10(x+1)及10 y≤j≤10(y +1)}；i) { i, j | i, j206。I且有x206。I使10x i 10(x +1)}； 有人說：“如果集合A上的二元關(guān)系R是對稱的和傳遞的，則R必是自反的”。并給出了如下的證明：如果x, y206。R，則由R是對稱的可知y,x206。R，從而由R是傳遞的得到x,x206。R和y,yR。因此R是自反的。請你想一想，他的看法和證明對嗎？為什么？ 設(shè)集合A上的二元關(guān)系R是自反的。證明R為等價關(guān)系的充要條件是：若a,b,a,cR,則b,cR. 如果集合A上的二元關(guān)系R滿足：若x, y,y,z206。R，則z,x206。R。就稱R為循環(huán)的。試證明集合A上的二元關(guān)系R為A上的等價關(guān)系，當(dāng)且僅當(dāng)R是自反的和循環(huán)的。 設(shè)R1和R2都是集合A上的等價關(guān)系。試判斷下列A上的二元關(guān)系是不是A上的等價關(guān)系，為什么？a) A2－R1；b) R1－R2；c) ；d) r(R1－R2)；e) R2oR1；f) R1∪R2；g) t(R1∪R2) ；h) t(R1∩R2) ；設(shè)∏1和∏2都是集合A的劃分。試判斷下列集類是不是A的劃分，為什么？a) ∏1∪∏2；b) ∏1∩∏2；c) ∏1－∏2；d) (∏1∩(∏2－∏1) ) ∪∏1；如果R1和R2都是集合A上的等價關(guān)系，則R1=R2當(dāng)且僅當(dāng)A/R1=A/R2。設(shè)∏1和∏2都是集合A的劃分，若對每個S1∈∏1，皆有S2206?！?使S1205。S2，就稱∏1和∏2的加細，記為∏1≤∏2且∏1≠∏2，就稱∏1為∏2的真加細，并記為∏1∏2。 設(shè)R1和R2都是集合A上的等價關(guān)系，證明：a) R1205。R2當(dāng)且僅當(dāng)A/R1≤A/R2。b) R1204。R2當(dāng)且僅當(dāng)A/R1＜A/R2。設(shè)A和B都是非空集，{A1,A2,…,An}為A的劃分。試證明{ A1∩B,A2∩B,…,An∩B}并不總是集合A∩B的劃分。若R為集合A上的等價關(guān)系，則稱n(A/R)為R的秩。如果i,j206。I+且集合A上的等價關(guān)系R1與R2的秩分別為i和j，則R1∩R2也A上的等價關(guān)系且max{i,j}≤n(A/( R1∩R2))≤ij。1設(shè)A為恰含n個元素的非空有限集，則有多少個不同的A上的等價關(guān)系？其中秩為2的又有多少？1如果n,m∈I+，則I/≡n為/ I≡m的加細當(dāng)且僅當(dāng)m|n。畫出下列集合上的整除關(guān)系的哈斯圖。a) {1,2,3,4,6,8,12,24}；b) {i|i206。I且1≤i≤14}；c) {i|i206。I且5≤i≤20}；設(shè)R為集合A上的二元關(guān)系且SA，證明或用反例推翻下述斷言：a) 若R是A上的半序，則R|s是S上的半序；b) 若R是A上的擬序，則R|s是S上的擬序；c) 若R是A上的全序，則R|s是S上的全序；d) 若R是A上的良序，則R|s是S上的良序；設(shè)R是集合A上的二元關(guān)系。證明：a) 若R是A上的半序，當(dāng)且僅當(dāng)R∩R1=IA且R=R*；b) 若R是A上的擬序，當(dāng)且僅當(dāng)R∩R1=198。且R=R+； 證明：a) 半序關(guān)系的逆關(guān)系仍然是半序關(guān)系；b) 全序關(guān)系的逆關(guān)系仍然是全序關(guān)系；c) 良序關(guān)系的逆關(guān)系未必是良序關(guān)系；舉出滿足下列條件的半序結(jié)構(gòu)A,≤的實例。a) A,≤為全序結(jié)構(gòu)，且A的某些非空子集無最小元。b) A,≤不是全序結(jié)構(gòu)，且A的某些非空子集無最大