【文章內(nèi)容簡介】 前提（5） C (1)，(4)（6） B→(D→C) 前提（7） D→C (3)，(6)（8） D (5)，(7)1A→(CB)，B→A，D→C = A→D證明：（1） A 附加前提(2) A→(CB) 前提 (3) CB （1），（2）(4) B→A 前提(5) B （1），（4）(6) C （3），（5）(7) D→C 前提(8) D （6），（7）(9) A→D CP，（1），（8）1(PQ)(RQ) （PR）Q證明、(PQ)(RQ) (PQ)(RQ)(PR)Q （PR）Q(PR)Q1P(QP)P(PQ)證明、P(QP)P(QP)(P)(PQ)P(PQ)1（PQ）（PR），(QR)，SPS證明、(1) （PQ）（PR） 前提 （2） P (QR) (1) （3） (QR) 前提 （4） P （2），(3) (5) SP 前提 (6) S (4),(5)1PQ，QR，RS P證明、(1) P 附加前提 （2） PQ 前提 （3） Q （1），（2） （4） QR 前提 (5) R （3），（4） (6 ) RS 前提 （7） R （6） （8） RR （5），（7）1用真值表法證明ＰＱ (ＰＱ)(ＱＰ)證明、列出兩個公式的真值表：P Q PQ （PQ）（QP） F FF TT FT TT TF FF FT T由定義可知，這兩個公式是等價的。1P→QP→(PQ)證明、設(shè)P→(PQ)為F，則P為T，PQ為F。所以P為T，Q為F ，從而P→Q也為F。所以P→QP→(PQ)。1用先求主范式的方法證明(P→Q)(P→R) (P→（QR）證明、先求出左右兩個公式 的主合取范式(P→Q)(P→R) (PQ)(PR) (PQ(RR)))(P()R) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR) (P→（QR）) (P（QR）) (PQ)(PR)(PQ(RR))(P()R) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR)它們有一樣的主合取范式，所以它們等價。(P→Q)(QR) P證明、設(shè)(P→Q)(QR)為T，則P→Q和(QR)都為T。即P→Q和QR都為T。故P→Q，Q和R)都為T，即P→Q為T，Q和R都為F。從而P也為F，即P為T。從而(P→Q)(QR) P2為慶祝九七香港回歸祖國，四支足球隊進行比賽，已知情況如下，問結(jié)論是否有效?前提: (1) 若A隊得第一，則B隊或C隊獲亞軍。(2) 若C隊獲亞軍，則A隊不能獲冠軍。(3) 若D隊獲亞軍，則B隊不能獲亞軍。(4) A 隊獲第一。結(jié)論: (5) D隊不是亞軍。證明、設(shè)A：A隊得第一。B: B隊獲亞軍。C: C隊獲亞軍。D: D隊獲亞軍。則前提符號化為A（BC），CA，DB，A；結(jié)論符號化為 D。 本題即證明 A（BC），CA，DB，AD。（1） A 前提 （2） A（BC）前提 （3） BC （1），（2） （4） CA 前提 （5） C （1），（4） （6） B （3），（5） （7） DB 前提 （8） D （6），（7）2用推理規(guī)則證明PQ, (QR),PR不能同時為真。證明、 (1) PR 前提 (2) P (1) (3) PQ 前提 (4) Q (2),(3) (5) (QR) 前提 (6) QR (5) (7) Q (6) (8) (4),(7)(集合論部分)四、設(shè)Ａ，Ｂ，Ｃ是三個集合，證明：A (B－C)＝(AB)－(AC) 證明：(AB)－(AC)= (AB) =(AB) （）=(AB)(AB)= AB=A（B）=A（BC）(A－B)(A－C)=A－(BC)證明：(AB)(AC)=(A)(A) =A ()=A= A(BC)AB=AC，B=C，則C=B　　證明：B=B(A)=(B) (BA)=(C) (CA)=C(A)=C AB=A(BA)證明： A(BA)=A(B)=(AB)(A)=(AB)U= ABA=B 243。 AB= 　　證明：設(shè)A=B，則AB=（AB）（BA）==。設(shè)AB=，則AB=（AB）（BA）=。故AB=，BA=，從而AB，BA，故A=B。AB = AC，AB=AC，則C=B證明：B=B(AB)= B(AC)= (BA)(BC)= (AC)(B∩C)= C(AB)= C(AC)=CAB=AC，B=C，則C=B 證明：B=B(A)=(BA)(B)=(CA)(C)=C(A)=CA－(BC)＝(A－B)－C　　證明：A－(BC)= A=A()=(A)=(AB)=(AB)C(A－B)(A－C)=A－(BC)　證明：(AB)(A－C)=(A)(A)=(AA)()=A=A－(BC)AB=B，則A=B=證明： 因為B=AB，所以B=BB=（AB）B=。從而A=AB=B=。1A=(AB)(AC)ABC=證明： 因為(AB)(AC) =(A)(A) =A()=A= A(BC)，且A=(AB)(AC)， 所以A= A(BC)，故ABC=。 因為ABC=，所以A(BC)=A。而A(BC)= (AB)(AC)， 所以A=(AB)(AC)。1(AB)(AC)=ABC證明： 因為(AB)(AC) =(A)(A) =A()=A= A(BC)，且(AB)(AC)=， 所以= A(BC)，故ABC。 因為ABC，所以A(BC)=A。而A(BC)= (AB)(AC)， 所以A=(AB)(AC)。1(AB)(BA)=A B=證明： 因為(AB)(BA)=A，所以BAA。但(BA)A=，故BA=。 即BA，從而B=（否則ABA，從而與(AB)(BA)=A矛盾）。 因為B=，所以AB=A且BA=。從而(AB)(BA)=A。1(AB)CA(BC)證明：x(AB)C，有AB且xC，即A，xB且xC。從而A，xBC，故xA(BC)。從而(AB)CA(BC) 1P(A)P(B)P(AB) （P(S)表示S的冪集）證明：SP(A)P(B)，有SP(A)或SP(B)，所以SA或SB。從而SAB，故SP(AB)。即P(A)P(B)P(AB) 1P(A)P(B)=P(AB) （P(S)表示S的冪集）證明：SP(A)P(B)，有SP(A)且SP(B)，所以SA且SB。從而SAB，故SP(AB)。即P(A)P(B)P(AB)。SP(AB)，有SAB，所以SA且SB。從而SP(A)且SP(B)，故SP(A)P(B)。即P(AB)P(A)P(B)。 故P(AB)=P(A)P(B)1（AB）B=（AB）B當且僅當B=。證明： 當B=時，因為（AB）B=（A）=A，（AB）B=（A） =A，所以（AB）B=（AB）B。 用反證法證明。假設(shè)B，則存在bB。因為bB且b AB，所以b（AB）B。而顯然b（AB）B。故這與已知（AB）B=（AB）B矛盾。五、證明或解答：（數(shù)理邏輯、集合論與二元關(guān)系部分）設(shè)個體域是自然數(shù)，將下列各式翻譯成自然語言：(1) xy（xy=1）。 (2) xy(xy=1)。(3) xy (xy=0)。 (4) xy（xy=0）。(5) xy (xy=x)。 (6) xy（xy=x）。(7) xyz (xy=z)答：（1）存在自然數(shù)x，對任意自然數(shù)y滿足xy=1。（2）對每個自然數(shù)x，存在自然數(shù)y滿足xy=1。（3）對每個自然數(shù)x，存在自然數(shù)y滿足xy=0。（4）存在自然數(shù)x，對任意自然數(shù)y滿足xy=1。（5）對每個自然數(shù)x，存在自然數(shù)y滿足xy=x。（6）存在自然數(shù)x，對任意自然數(shù)y滿足xy=x。（7）對任意自然數(shù)x,y，存在自然數(shù)z滿足xy=z。設(shè)A(x,y,z): x+y=z, M（x,y,z）: xy=z, L(x,y): xy, G(x,y): xy， 個體域為自然數(shù)。將下列命題符號化：（1）沒有小于0的自然數(shù)。（2）xz是xy且yz的必要條件。（3）若xy，則存在某些z，使z0, xzyz。（4）存在x，對任意y 使得xy=y。（5）對任意x，存在y使x+y=x。答：（1）x（G(x,0)M（0,0,x）） 或x L(x,0)（2）xyz ((L(x,y)L(y,z))L(x,z))（3）xy ((L(x,y)z(L(z,0)G(xz,yz)))（4）xyM（x,y,y）（5）xyA(x,y,x)列出下列二元關(guān)系的所有元素：（1）A={0,1,2}，B={0,2,4}，R={x,y|x,y}。（2）A={1,2,3,4,5}，B={1,2}，R={x,y|2x+y4且x且yB}。（3）A={1,2,3}，B={3,2,1,0,1}，R={x,y||x|=|y|且x且yB}。解：(1) R={0,0,0,2,2,0,2,2}(2) R={1,1,1,2,2,1,2,2,3,1}。(3) R={1,1,1,1,2,2,3,3}。對任意集合A,B，證明：若AA=BB，則B=B。證明：若B=，則BB=。從而AA =。故A=。從而B=A。 若B，則BB。從而AA。對, x,xBB。因為AA=BB，則x,xA。從而xA。故BA。同理可證，AB。故B=A。對任意集合A,B，證明：若A，AB=AC，則B=C。證明：若B=，則AB=。從而AC =。因為A，所以C=。即B=C。 若B，則AB。從而AC。對,因為A，所以存在yA, 使y,xB。因為AB=AC，則y,xC。從而xC。故BC。同理可證，CB。故B=C。設(shè)A={a,b}, B={c}。求下列集合：(1) A{0,1}B； (2) B2A；(3) (AB)2。 (4) P(A)A。解：（1） A{0,1}B={a,0,c,a,1,c,b,0,c,b,1,c}。（2） B2A={c,c,a,c,c,b}。（3） (AB)2={a,c,a,c,a,c,b,c,b,c,a,c,b,c,b,c}。（4） P(A)A={,a,b,{a},a,{a},b,,a,,b,A,a,A,b}。設(shè)全集U={a,b,c,d,e}, A={a,d}, B={a,b,c}, C={b,d}。求下列各集合：（1）AB； （2）；（3）(A)C。 （4）P(A)P(B)。 （5）(AB)(BC)。 （6）(AB)C。 解 ：(1) AB={a}。 (2) ={a,b,c,d,e}。(3) （A）C={b,d}。 (4) P(A)P(B)={nhcuj7d3,{a,d}}。(5) (AB)(BC)={d,c,a}。 (6) (AB) C={b,d}。設(shè)A,B,C是任意集合，證明或否定下列斷言：（1）若AB，且BC，則AC；（2）若AB，且BC，則AC。（3）若AB，且BC，則AC；（4）若AB，且BC，則AC；證明：(1) 成立。對xA, 因為AB，所以xB。又因為BC，所以xC。即AC。(2) 不成立。反例如下：A={a}, B={a,b},C={a,b,c}。雖然AB，且BC，但AC。(3) 不成立。反例如下：A={a}, B={{a},b},C={{{a