【文章內(nèi)容簡介】 若∈R，∈R，則a1*b∈H，b1*c∈H。因為H是G的子群，所以(a1*b)*(b1*c)＝a－－－－－1*c∈H，故∈R。綜上可得，R是G中的一個等價關(guān)系。對于任意的b∈[a]R，有∈R，a1*b∈H，則存在h∈H使得a1*b＝h，b＝a*h，于是b∈aH，－－[a]R205。aH。對任意的b∈aH，存在h∈H使得b＝a*h，a1*b＝h∈H，∈R，故aH205。[a]R。所以，[a]R－＝aH。第三篇：離散數(shù)學(xué)習(xí)題五習(xí)題五={a,b,c}，在D中消去公式x(F(x)217。$yG(y))的量詞。甲乙用了不同的演算過程：甲的演算過程如下： x(F(x)217。$yG(y))219。x(F(x)217。(G(a)218。G(b)218。G(c)))219。(F(a)217。(G(a)218。G(b)218。G(c)))217。(F(b)217。(G(a)218。G(b)218。G(c)))217。(F(c)217。(G(a)218。G(b)218。G(c)))219。(F(a)217。F(b)217。F(c))217。(G(a)218。G(b)218。G(c))乙的演算過程如下：x(F(x)217。$yG(y))219。xF(x)217。$yG(y)219。(F(a)217。F(b)217。F(c))217。(G(a)218。G(b)218。G(c))顯然，乙的演算過程簡單，試指出乙在演算過程中的關(guān)鍵步驟。解：乙在演算中的關(guān)鍵步驟是，在演算開始就利用量詞轄域收縮與擴(kuò)張等值式，將量詞的轄域縮小，因而演算簡單。={a,b,c}，消去下列各式的量詞：(1)x$y(F(x)217。G(y))(2)x$y(F(x)218。G(y))(3)xF(x)174。yG(y)(4)（xF(x,y)174。$yG(y))解：（1）(F(a)217。F(b)217。F(c))217。(G(a)218。G(b)218。G(c))（2）(F(a)217。F(b)217。F(c))218。(G(a)217。G(b)217。G(c))（3）(F(a)217。F(b)217。F(c))174。(G(a)217。G(b)217。G(c))（4）(F(a,y)218。F(b,y)218。F(c,y))174。(G(a)218。G(b)218。G(c))在（1）（2）（4）中均將量詞的轄域縮小，所以演算結(jié)果都比較簡單={1,2}，請給出兩種不同的解釋I1和I2，使得下面公式在I1下都是真命題，而在I2下都是假命題。（1）x(F(x)174。G(x))（2）$x(F(x)217。G(x))解：解釋I1為：個體為實數(shù)集合R，F(xiàn)(x)：x為自然數(shù)，G(x)：x為整數(shù)。在I1下，（1）為自然數(shù)都是整數(shù)，（2）為存在整數(shù)為自然數(shù)。他們都是真命題解釋I2為：個體域仍為實數(shù)集R，F(xiàn)(x)：x是無理數(shù)，G(x)：x能表示成分?jǐn)?shù)，在I2下，（1）為無理數(shù)都能表示成分?jǐn)?shù)，（2）為存在能表示成分?jǐn)?shù)的無理數(shù)，他們都是假命題=$xF(x)174。xF(x)（1）在解釋I1中，個體域D1={a}，證明公式A在I1下的真值為1.（2）在解釋I2中，個體域D2={a1,a2,L,an}，n179。2,A在I2下的真值還一定是1嗎？為什么？ 解：（1）在I1下，$xF(x)174。xF(x)219。F(a)174。F(a)219。216。F(a)218。F(a)219。1（2）在I2下$xF(x)174。xF(x)219。(F(a1)218。F(a2)218。L218。F(an))174。(F(a1)217。F(a2)217。L217。F(an))為可滿足式，設(shè)F(x)：x為奇數(shù)，ai=i,i=1,2,Kn,n179。2，此時，蘊(yùn)涵式前件為真，后件為假，故蘊(yùn)含式為假，若令F(x)；x為整數(shù)，則蘊(yùn)含式前后件均為真，所以（2）中公式在I2下為可滿足式：（a）個體域D={3,4}；（b）f(x)為f(3)=4,f(4)=3。（c）F(x,y)為F(3,3)=F(4,4)=0,F(3,4)=F(4,3)=。(1)x$yF(x,y)(2)$xyF(x,y)(3)xyF(x,y)174。F(f(x),f(y)))解：（1）x$yF(x,y)219。x(F(x,3)218。F(x,4))219。(F(3,3)218。F(3,4))217。(F(4,3)218。F(4,4))219。1217。1219。1（2）219。$x(F(x,3)217。F(x,4))219。(F(3,3)217。F(3,4))218。(F(4,3)217。F(4,4)219。0（3）219。x((F(x,3)174。F(f(x),f(3)))217。(F(x,4)174。F(f(x),f(4))))219。(((F(3,3)174。F(f(3),f(3)))217。(F(3,4)174。F(f(3),f(4))))217。(((F(4,3)174。F(f(4),f(3)))217。(F(4,4)174。F(f(4),f(4))))219。1x(F(x)174。G(x,y))219。$xF(x)174。G(x,y)乙說甲錯了，乙說的對嗎？為什么？解：乙說的對，甲錯了，全稱量詞的指導(dǎo)變元x，轄域為(F(x)174。G(x,y))，其中F(x)與G(x,y)都是x的約束變元，因而不能講量詞的轄域變小216。$xy(F(x)217。(G(y)174。H(x,y))219。x$y(F(x)217。(G(y)174。H(x,y))219。x$y((F(x)217。G(y))174。H(x,y))解：演算的第一步，應(yīng)用量詞轄域收縮與擴(kuò)張算值式時丟掉了否定連接詞216。，演算的第二步，在原錯的基礎(chǔ)上又用錯了等值式(F(x)217。G(y)174。H(x,y))和(F(x)217。G(y)174。H(x,y))不等值，要求用兩種不同的等值形式（1）沒有小于負(fù)數(shù)的正數(shù)（2）相等的兩個角未必都是對頂角 解：（1）216。$x(F(x)217。G(x))219。x(G(x)174。216。F(x))其中F(x)：x小于負(fù)數(shù)，G(x)：x是正數(shù)（2）216。xy(F(x)217。F(y)217。H(x,y)174。L(x,y)219。$x$y(F(x)217。F(y)217。H(x,y)217。216。L(x,y))其中F(x)：x是角，H(x,y)：x=y，L(x,y)：x和y是對頂角，命題“有的實數(shù)既是有理數(shù)又是無理數(shù)”，這顯然是個假命題。可是某人卻說這是真命題，其理由如下設(shè)F(x)：x是有理數(shù)，G(x）：x是無理數(shù)。$xF(x),$xG(x)都是真命題，于是，$xF(x)217。$xG(x)219。$x(F(x)217。G(x))由于$xF(x)217。$xG(x)是真命題，故$x(F(x)217。G(x))也是真命題，即有的實數(shù)是有理數(shù)，也是無理數(shù)這個人的結(jié)論對嗎？為什么？ 解：存在量詞對217。無分配律$x(F(x)217。G(x,y))已是前束范式，理由是量詞已在公式的前面，他說的對嗎？為什么？解：在前束范式中，否定聯(lián)結(jié)詞不能在量詞前面出現(xiàn) x(F(x)174。G(x))174。$xG(x,y)的前束范式，因為公式中的兩個量詞的指導(dǎo)變元相同。他的理由對嗎？為什么？ 換名規(guī)則可以使兩個指導(dǎo)變元不相同 ：(1)xF(x)174。yG(x,y)(2)x(F(x,y)174。$yG(x,y,z))(3)xF(x,y)171。$xG(x,y)(4)x1(F(x1)174。G(x1,x2))174。($x2H(x2)174。$x3L(x2,x3))(5)$x1F(x1,x2)174。(F(x1)174。216。$x2G(x1,x2))解：（1）$xy(F(x)174。G(z,y))（2）x$t(F(x,t)174。G(x,t,z))（3）$x1$x2x3x4((F(x1,y)174。G(x2,y))217。(G(x3,y)174。F(x4,y)))（4）$y1y2$y3((F(y1)174。G(y1,x2))174。(H(y2)174。L(x2,y3)))（5）y1y2(F(y1,x2)174。(F(x1)174。216。G(x1,y2)))，要求符號化的公式權(quán)威前束范式：（1）有點火車比有的汽車跑的快（2）有的火車比所有的汽車跑的快（3）說有的火車比所有汽車跑得快是不對的（4）說有的飛機(jī)比有的汽車慢也是不對的 解：（1）$x$y(F(x)217。G(y)217。H(x,y))其中F(x)：x是汽車 G(y):y是 火車 H(x,y)：x比y跑得快（2）$xy(F(x)217。(G(y)174。H(x,y)))其中F(x)：x是火車 G(y):y是 汽車 H(x,y)：x比y跑得快（3)$x$y(F(x)217。G(y)217。216。H(x,y))其中F(x)：x是火車 G(y):y是 汽車H(x,y)：x比y跑得快（4）xy(F(x)217。G(y)174。216。H(x,y))其中F(x)：x是飛機(jī) G(y):y是 汽車 H(x,y)：x比y跑得慢，指出下面各證明序列中的錯誤：（1）①F(x)174。$xG(x)前提引入②F(c)174。G(c)①EI規(guī)則（2）①$xF(x)174。$yG(y)前提引入②F(a)174。F(b)①EI規(guī)則（3）①F(y)174。G(y)前提引入②$x(F(x)174。G(x))①EG規(guī)則（4）①F(a)217。F(b)前提引入②$x(F(x)2