【正文】 B204。證明：A204。x(x∈A→x∈B)∧$x(x∈B∧x207。x(x207。A)219。$x(x∈A∧x207。x(x207。216。B)∨216。B)219。($x(x∈A∧x207。B))219。($x(x∈A∧x207。216。A)。解r(R)＝R∪IA＝{，，}s(R)＝R∪R＝{，} R＝{，}R＝{，}R＝{，}＝Rt(R)＝URi＝{，，15}。證明對(duì)任意的x、y∈A，若xr(R)y，則由r(R)＝R∪IA得，xRy或xIAy。所以r(R)是對(duì)稱的。因R對(duì)稱，則有xRy219。$z(zRx∧yRz)219。若Rn對(duì)稱，則xRn+1y219。$z(zRnx∧yRz)219。因此，對(duì)任意正整數(shù)n，Rn對(duì)稱。因此，t(R)是對(duì)稱的。證明因?yàn)閒：A→B是雙射，則f是B到A的函數(shù)。對(duì)任意x∈A，必存在y∈B使f(x)＝y(tǒng)，從而f(y)＝x，所以f是滿射。因?yàn)閒：A→B是函數(shù)，則y1＝y(tǒng)2。綜上可得，f：B→A是雙射。證明因?yàn)槭且粋€(gè)半群，對(duì)任意的b∈S，由*的封閉性可知，b＝b*b∈S，b＝b*b∈S，…，bn∈S，…。令p＝j(luò)－i，則bj＝bp*bj。因?yàn)閜≥1，所以總可找到k≥1，使得kp≥i。令a＝bkp，則a∈S且a*a＝a。l2l證明設(shè)G有r個(gè)面，則2m＝2)。d(f)≥lr。于是，m≤l2(n－ii=1（2）設(shè)平面圖G＝是自對(duì)偶圖，則| E|＝2(|V|－1)。**離散數(shù)學(xué)考試試題（B卷及答案）一、（10分）證明(P∨Q)∧(P174。S)S∨R證明因?yàn)镾∨R219。R174。R)∧(Q174。R174。(1)216。RP(3)216。SP(7)ST(5)(6)，I(8)216。SCP(9)S∨RT(8)，E二、（15分）根據(jù)推理理論證明：每個(gè)考生或者勤奮或者聰明，所有勤奮的人都將有所作為，但并非所有考生都將有所作為，所以，一定有些考生是聰明的。(A(x)∨B(x)))，x(A(x)174。x(P(x)174。(1)216。Q(x))P(2)216。P(x)∨Q(x))T(1)，E(3)$x(P(x)∧216。Q(a)T(3)，ES(5)P(a)T(4)，I(6)216。(A(x)∨B(x))P(8)P(a)174。Q(x))P(11)A(a)174。A(a)T(11)(6)，I(13)B(a)T(12)(9)，I(14)P(a)∧B(a)T(5)(13)，I(15)$x(P(x)∧B(x))T(14)，EG三、（10分）某班有25名學(xué)生，其中14人會(huì)打籃球，12人會(huì)打排球，6人會(huì)打籃球和排球，5人會(huì)打籃球和網(wǎng)球，還有2人會(huì)打這三種球。解設(shè)A、B、C分別表示會(huì)打排球、網(wǎng)球和籃球的學(xué)生集合。因?yàn)閨(A∪C)∩B|＝(A∩B)∪(B∩C)|＝|(A∩B)|＋|(B∩C)|－|A∩B∩C|＝|(A∩B)|＋5－2＝6，所以|(A∩B)|＝3。故，不會(huì)打這三種球的共5人。(Ai162。試證由AA2和A3所產(chǎn)生的所有非空小項(xiàng)的集合構(gòu)成全集U的一個(gè)劃分。對(duì)任意的a∈U，則a∈Ai或a∈Ai，兩者必有一個(gè)成立，取Ai162。i=13即有a∈Usi，于是U205。又顯然有Usi205。i=1i=1i=1i=1rrrr任取兩個(gè)非空小項(xiàng)sp和sq，若sp≠sq，則必存在某個(gè)Ai和Ai分別出現(xiàn)在sp和sq中，于是sp∩sq＝198。五、（15分）設(shè)R是A上的二元關(guān)系，則：R是傳遞的219。R。$z(xRz∧zSy)222。R。R，則對(duì)任意的x、y、z∈A，如果xRz且zRy，則∈R*R，于是有∈R，即有xRy，所以R是傳遞的。證明對(duì)G的邊數(shù)m作歸納法。假設(shè)對(duì)邊數(shù)小于m的連通平面圖結(jié)論成立。設(shè)e是G的一條邊，從G中刪去e后得到的圖記為G162。、m162。對(duì)e分為下列情況來討論：若e為割邊，則G162。Gi的結(jié)點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)和面數(shù)分別為ni、mi和ri。＝n，m1＋m2＝m162。＋1＝r＋1。若e不為割邊，則n162。＝m－1，r162。－m162。＝2，從而n－(m－1)＋r－1＝2，即n－m＋r＝2。七、（10分）設(shè)函數(shù)g：A→B，f：B→C，則：(1)fog是A到C的函數(shù)；(2)對(duì)任意的x∈A，有fog(x)＝f(g(x))。對(duì)于y∈B，因f：B→C是函數(shù)，則存在z∈C使∈f。所以Dfog＝A。因?yàn)間：A→B是函數(shù)，則t1＝t2。所以A中的每個(gè)元素對(duì)應(yīng)C中惟一的元素。(2)對(duì)任意的x∈A，由g：A→B是函數(shù)，有∈g且g(x)∈B，又由f：B→C是函數(shù)，得∈f，于是∈g*f＝fog。八、（15分）設(shè)是的子群，定義R＝{|a、b∈G且a1*b∈H}，則R是G中的－一個(gè)等價(jià)關(guān)系，且[a]R＝aH。－－若∈R，則a1*b∈H。所以∈R。因?yàn)镠是G的子群，所以(a1*b)*(b1*c)＝a－－－－－1*c∈H，故∈R。對(duì)于任意的b∈[a]R，有∈R，a1*b∈H，則存在h∈H使得a1*b＝h，b＝a*h，于是b∈aH，－－[a]R205。對(duì)任意的b∈aH，存在h∈H使得b＝a*h，a1*b＝h∈H，∈R，故aH205。所以，[a]R－＝aH。$yG(y))的量詞。$yG(y))219。(G(a)218。G(c)))219。(G(a)218。G(c)))217。(G(a)218。G(c)))217。(G(a)218。G(c)))219。F(b)217。(G(a)218。G(c))乙的演算過程如下：x(F(x)217。xF(x)217。(F(a)217。F(c))217。G(b)218。解：乙在演算中的關(guān)鍵步驟是，在演算開始就利用量詞轄域收縮與擴(kuò)張等值式，將量詞的轄域縮小，因而演算簡單。G(y))(2)x$y(F(x)218。yG(y)(4)（xF(x,y)174。F(b)217。(G(a)218。G(c))（2）(F(a)217。F(c))218。G(b)217。F(b)217。(G(a)217。G(c))（4）(F(a,y)218。F(c,y))174。G(b)218。（1）x(F(x)174。G(x))解：解釋I1為：個(gè)體為實(shí)數(shù)集合R，F(xiàn)(x)：x為自然數(shù)，G(x)：x為整數(shù)。他們都是真命題解釋I2為：個(gè)體域仍為實(shí)數(shù)集R，F(xiàn)(x)：x是無理數(shù)，G(x)：x能表示成分?jǐn)?shù)，在I2下，（1）為無理數(shù)都能表示成分?jǐn)?shù)，（2）為存在能表示成分?jǐn)?shù)的無理數(shù)，他們都是假命題=$xF(x)174。2,A在I2下的真值還一定是1嗎？為什么？ 解：（1）在I1下，$xF(x)174。F(a)174。216。F(a)219。xF(x)219。F(a2)218。F(an))174。F(a2)217。F(an))為可滿足式，設(shè)F(x)：x為奇數(shù)，ai=i,i=1,2,Kn,n179。（c）F(x,y)為F(3,3)=F(4,4)=0,F(3,4)=F(4,3)=。F(f(x),f(y)))解：（1）x$yF(x,y)219。F(x,4))219。F(3,4))217。F(4,4))219。1219。$x(F(x,3)217。(F(3,3)217。(F(4,3)217。0（3）219。F(f(x),f(3)))217。F(f(x),f(4))))219。F(f(3),f(3)))217。F(f(3),f(4))))217。F(f(4),f(3)))217。F(f(4),f(4))))219。G(x,y))219。G(x,y)乙說甲錯(cuò)了，乙說的對(duì)嗎？為什么？解：乙說的對(duì)，甲錯(cuò)了，全稱量詞的指導(dǎo)變?cè)獂，轄域?yàn)?F(x)174。$xy(F(x)217。H(x,y))219。(G(y)174。x$y((F(x)217。H(x,y))解：演算的第一步，應(yīng)用量詞轄域收縮與擴(kuò)張算值式時(shí)丟掉了否定連接詞216。G(y)174。G(y)174。$x(F(x)217。x(G(x)174。F(x))其中F(x)：x小于負(fù)數(shù)，G(x)：x是正數(shù)（2）216。F(y)217。L(x,y)219。F(y)217。216?？墒悄橙藚s說這是真命題，其理由如下設(shè)F(x)：x是有理數(shù)，G(x）：x是無理數(shù)。$xG(x)219。G(x))由于$xF(x)217。G(x))也是真命題，即有的實(shí)數(shù)是有理數(shù)，也是無理數(shù)這個(gè)人的結(jié)論對(duì)嗎？為什么？ 解：存在量詞對(duì)217。G(x,y))已是前束范式，理由是量詞已在公式的前面，他說的對(duì)嗎？為什么？解：在前束范式中，否定聯(lián)結(jié)詞不能在量詞前面出現(xiàn) x(F(x)174。$xG(x,y)的前束范式，因?yàn)楣街械膬蓚€(gè)量詞的指導(dǎo)變?cè)嗤?。yG(x,y)(2)x(F(x,y)174。$xG(x,y)(4)x1(F(x1)174。($x2H(x2)174。(F(x1)174。$x2G(x1,x2))解：（1）$xy(F(x)174。G(x,t,z))（3）$x1$x2x3x4((F(x1,y)174。(G(x3,y)174。G(y1,x2))174。L(x2,y3)))（5）y1y2(F(y1,x2)174。216。G(y)217。(G(y)174。G(y)217。H(x,y))其中F(x)：x是火車 G(y):y是 汽車H(x,y)：x比y跑得快（4）xy(F(x)217。216。$xG(x)前提引入②F(c)174。$yG(y)前提引入②F(a)174。G(y)前提引入②$x(F(x)174。F(b)前提引入②$x(F(x)217。G(c)前提