【正文】 前提(9) EE （7），（8）P→(Q→R)，R→(Q→S) = P→(Q→S)證明：（1） P 附加前提（2） Q 附加前提（3） P→(Q→R) 前提（4） Q→R （1），（3）（5） R （2），（4）（6） R→(Q→S) 前提（7） Q→S （5），（6）（8） S （2），（7）（9） Q→S CP，（2），（8）（10） P→(Q→S) CP，（1），（9）P→Q，P→R，R→S =S→Q 證明：（1） S 附加前提（2） R→S 前提（3） R （1），（2）（4） P→R 前提（5） P （3），（4）（6） P→Q 前提（7） Q (5），（6）（8） S→Q CP，（1），（7）P→(Q→R) = (P→Q)→(P→R)證明：(1) P→Q 附加前提(2) P 附加前提(3) Q (1),(2)(4) P→(Q→R) 前提(5) Q→R (2),(4)(6) R (3),(5)(7) P→R CP,(2),(6)(8) (P→Q) →(P→R) CP,(1),(7)P→(Q→R)，Q→P,S→R,P =S證明：（1） P 前提（2） P→(Q→R) 前提（3） Q→R (1)，(2)（4） Q→P 前提（5） Q (1)，(4)（6） R (3),(5)（7） S→R 前提（8） S (6)，(7)1A，A→B， A→C， B→(D→C) = D證明：（1） A 前提（2） A→B 前提（3） B (1)，(2)（4） A→C 前提（5） C (1)，(4)（6） B→(D→C) 前提（7） D→C (3)，(6)（8） D (5)，(7)1A→(CB)，B→A，D→C = A→D證明：（1） A 附加前提(2) A→(CB) 前提 (3) CB （1），（2）(4) B→A 前提(5) B （1），（4）(6) C （3），（5）(7) D→C 前提(8) D （6），（7）(9) A→D CP，（1），（8）1(PQ)(RQ) （PR）Q證明、(PQ)(RQ) (PQ)(RQ)(PR)Q （PR）Q(PR)Q1P(QP)P(PQ)證明、P(QP)P(QP)(P)(PQ)P(PQ)1（PQ）（PR），(QR)，SPS證明、(1) （PQ）（PR） 前提 （2） P (QR) (1) （3） (QR) 前提 （4） P （2），(3) (5) SP 前提 (6) S (4),(5)1PQ，QR，RS P證明、(1) P 附加前提 （2） PQ 前提 （3） Q （1），（2） （4） QR 前提 (5) R （3），（4） (6 ) RS 前提 （7） R （6） （8） RR （5），（7）1用真值表法證明ＰＱ (ＰＱ)(ＱＰ)證明、列出兩個(gè)公式的真值表：P Q PQ （PQ）（QP） F FF TT FT TT TF FF FT T由定義可知，這兩個(gè)公式是等價(jià)的。所以P為T，Q為F ，從而P→Q也為F。1用先求主范式的方法證明(P→Q)(P→R) (P→（QR）證明、先求出左右兩個(gè)公式 的主合取范式(P→Q)(P→R) (PQ)(PR) (PQ(RR)))(P()R) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR) (P→（QR）) (P（QR）) (PQ)(PR)(PQ(RR))(P()R) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR)它們有一樣的主合取范式，所以它們等價(jià)。即P→Q和QR都為T。從而P也為F，即P為T。(2) 若C隊(duì)獲亞軍，則A隊(duì)不能獲冠軍。(4) A 隊(duì)獲第一。證明、設(shè)A：A隊(duì)得第一。C: C隊(duì)獲亞軍。則前提符號(hào)化為A（BC），CA，DB，A；結(jié)論符號(hào)化為 D。（1） A 前提 （2） A（BC）前提 （3） BC （1），（2） （4） CA 前提 （5） C （1），（4） （6） B （3），（5） （7） DB 前提 （8） D （6），（7）2用推理規(guī)則證明PQ, (QR),PR不能同時(shí)為真。（2）A={1,2,3,4,5}，B={1,2}，R={x,y|2x+y4且x且yB}。解：(1) R={0,0,0,2,2,0,2,2}(2) R={1,1,1,2,2,1,2,2,3,1}。對(duì)任意集合A,B，證明：若AA=BB，則B=A。從而AA =。從而B=A。從而AA。因?yàn)锳A=BB，則x,xA。故BA。故B=A。證明：若B=，則AB=。因?yàn)锳，所以C=。 若B，則AB。對(duì),因?yàn)锳，所以存在yA, 使y,xB。從而xC。同理可證，CB。設(shè)A={a,b}, B={c}。 (4) P(A)A。（2） B2A={c,c,a,c,c,b}。（4） P(A)A={,a,b,{a},a,{a},b,,a,,b,A,a,A,b}。求下列各集合：（1）AB； （2）；（3）(A)C。 （5）(AB)(BC)。 解 ：(1) AB={a}。(3) （A）C={b,d}。(5) (AB)(BC)={d,c,a}。設(shè)A,B,C是任意集合，證明或否定下列斷言：（1）若AB，且BC，則AC；（2）若AB，且BC，則AC。對(duì)xA, 因?yàn)锳B，所以xB。即AC。反例如下：A={a}, B={a,b},C={a,b,c}。(3) 不成立。雖然AB，且BC，但AC。因?yàn)锳B, 且BC，所以AC。證明：a，b∈A，則{a,b}是A的一個(gè)非空子集。若最小元為a，則a≤b；否則b≤a。若R和S都是非空集A上的等價(jià)關(guān)系，則RS是A上的等價(jià)關(guān)系。故xRSx。a,b∈A，aRSb，即aRb且aSb。故bRSa。a,b,c∈A，aRSb且bRSc，即aRb，aSb,bRc且bSc。故aRSc。故RS是A上的等價(jià)關(guān)系。證明：xA，R是自反的，xRx。xA，IAR，x,xR。1設(shè)A是集合，RAA，則R是對(duì)稱的R＝R－1。即y,xR，故x,yR_1 。反之y,xR1,即x,yR 。即y,xR， R_1R。x，yA，若x,yR ，即y,xR1。即yRx，故R是對(duì)稱的。從而x，yR且y，zS或x，yR且y，zT，即x，zRS或x，zRT。從而R(ST)（RS）（RT）。故R(ST)=（RS）（RT）。從而x，yR且y，zS且y，zT，即x，zRS且x，zRT。從而R(ST)(RS）（RT）。證明： 設(shè)a,b都是B的最大元，則由最大元的定義ab，ba。即B如果有最大元?jiǎng)t它是惟一的。MR=。MR=。MR=。1設(shè)A={1,2,…,10}。（2）C={{1,5,7},{2,4,8,9},{3,5,6,10}}。（3）是A的劃分。1R是A={1,2,3,4,5,6}上的等價(jià)關(guān)系，R=I{1,5,5,1,2,4,4,2,3,6,6,3}求R誘導(dǎo)的劃分。1A上的偏序關(guān)系的Hasse圖如下。 (b) {b,d}。 (d) {b,d,e} a e f b d c解：(1) ba,ce,df,cf成立；(2) (a)的極大元為a,e,f,極小元為c。無(wú)上確界，下確界是c。無(wú)最大元和最小元； 上界是e，下界是c。(c)的極大元為e,極小元為b。上確界是e，下確界是b。最大元是e，無(wú)最小元；上界是e，下界是c。（半群與群部分）1求循環(huán)群C12={e,a,a2,…,a11}中H={e,a4,a8}的所有右陪集。求下列置換的運(yùn)算：解：（1）=（2）===2試求出8階循環(huán)群的所有生成元和所有子群。則G={e,a,a2,..,a7}。因?yàn)檠h(huán)群的子群也是循環(huán)群，且子群的階數(shù)是G 的階數(shù)的因子，故G的子群只能是1 階的、2階的、4 階的或8階的。2I上的二元運(yùn)算*定義為：a,bI，a*b=a+b2。因?yàn)镮,*是無(wú)限階的循環(huán)群，則它只有兩個(gè)生成元。因?yàn)閍n=na2(n1)，故1n=n2(n1)=2n。又因?yàn)?和3 關(guān)于*互為逆元，故3 也是I,*的生成元。是群，aG。x=x試證：H 是G 的子群。a=aa=a故(ca=ca)=cd)=(cd=(ad=ad)。dH。a=a滿足消去律，所以a a。從而H 是G的子群。證明：設(shè)G,故偶數(shù)階群中階為2 的元素一定是奇數(shù)個(gè)。證明：設(shè)G,且當(dāng)a 階大于2時(shí)，a1。2試求N6,+6中每個(gè)元素的階。則|0|=1；|1|=|5|=6，|2|=|4|=3，|3|=2。是群，a,bG，ae，且a4a5。bb證明：用反證法證明。b=b則a4（a(bb)(aa=（a2a））b)a=(ab))a)=(aa))b)a2 =((ba)a2)(a2a4。b= ba5= b由消去律得，a=e。2I上的二元運(yùn)算*定義為：a,bI，a*b=a+b2。證明：（1）a,b,cI，(a*b)*c=(a*b)+c2=(a+b2)+c2=a+b+c4, a*(b*c)=a+(b*c)2=a+(b