【正文】 A199。B199。(BA)=198。(BA)=A200。d) A – (B 200。 (A – C)；e) A – (B 199。(A – C)；f) A – (A – B) = A 199。(A199。4. 證明a) A=B當(dāng)且僅當(dāng)A197。；b) A197。A；c) (A197。C= A197。C)；d) A199。C)=(A199。(A199。C) 199。A)197。A)。a) 若A199。B199。~C205。~C，則A205。B=A199。B=~A199。B=A200。d) 若A199。C，則B=C。B=A197。f) 若A205。C，則A205。C；g) 若B199。A，則B205。A。a) (AB)200。b) (AB)200。c) (AB)199。d) (AB)199。e) (AB)197。f) (AB)197。g) A199。B。 i) AB=BA。B=A；k) 195。195。(A200。7. 設(shè)A，B為任意兩個(gè)集合，證明：a) 195。195。195。B)。(A)199。(B)=195。B)。195。195。為：a) {{198。{198。9. 設(shè)且，且。試求和。 用歸納法證明：a) ；b) 2+22+23+…+2n=2n+12；c) 2n=2n；d) 3|n3+2n。23I+則。證明：若n206。斐波那契(Fibonacci)數(shù)列定義為 F0=0 F1=1 Fn+1=Fn+Fn1，n206。I+，則。I+且n＞m。規(guī)定每人每次可扳倒1至根，且扳倒最后一根直立的大頭針者為獲勝者。證明以下的二重歸納原理的正確性： 設(shè)i0, j0206。假定對(duì)任意自然數(shù)i≥i0及j≥j0，皆有一個(gè)命題P(i, j)滿(mǎn)足： i) P(i0, j0)真； ii)對(duì)任意自然數(shù)k≥i0及l(fā)≥j0，若P(k, l)真，則P(k+1, l)和P(k, l+1)皆真。證明：若n206。n。N，則n204。 m。N，則n206。 m+。N，則n＜m當(dāng)且僅當(dāng)有x206。證明：若n206。N使n＜m＜n+。試確定下列集合：a) A{1}Bb) A2Bc) (BA )2 證明或用反例推翻下列命題：a) (A∪B)(C∪D)= (AC)∪(BD) b) (A∩B)(C∩D)= (AC)∩(BD)c) (A－B)(C－D)= (AC)－(BD) d) (A197。D)= (AC)(BD) 如果B∪C205。這個(gè)命題對(duì)嗎？如果對(duì)，則給予證明；如果不對(duì)，則舉出反例。C且y206。195。(C))?！萢, b且b206。把三元偶a, b, c定義為{{ a },{ a, b },{ a, b, c }}合適嗎？說(shuō)明理由。B={198。證明這個(gè)定義的合理性。a) A={0, 1, 2}，B={0, 2, 4}，R={x, y| x, y 206。A, y 206。設(shè)和都是從集合到集合的二元關(guān)系。 ranR1∩ranR2用L和D分別表示集合{1, 2, 3, 6}上的普通的小于關(guān)系和整除關(guān)系，試列出L, D和L∩D中的所有序偶。試判斷下面的論斷正確與否。 設(shè)R和S都是集合A上的二元關(guān)系。S也是自反的(反自反的，對(duì)稱(chēng)的，反對(duì)稱(chēng)的，或傳遞的)。R且xR，4整除|x－y|且|x－y|＜10}；c) S={x, y|x, y206。R，4 |x|≤1且| y|≥1}。I+。設(shè)x和z都是由從集合A到集合B的二元關(guān)系構(gòu)成的集類(lèi)，并且z 198。x}； b) ran(∪x)=∪{ranR|R206?！蓒domR|R206?！蓒ranR|R206。如果R是反自反的和傳遞的，則R一定是反對(duì)稱(chēng)的。1若R為集合上的一個(gè)二元關(guān)系，則也是∪(∪R)上的二元關(guān)系。2. ={1,2,3}上的十二個(gè)二元關(guān)系的關(guān)系圖，寫(xiě)出相應(yīng)的關(guān)系矩陣，并指出各個(gè)關(guān)系所具有的性質(zhì)。D，畫(huà)出它們的關(guān)系圖，并寫(xiě)出它們的關(guān)系矩陣。a) 共有多少個(gè)A上的不相同的自反關(guān)系？a) 共有多少個(gè)A上的不相同的反自反關(guān)系？b) 共有多少個(gè)A上的不相同的對(duì)稱(chēng)關(guān)系？c) 共有多少個(gè)A上的不相同的反對(duì)稱(chēng)關(guān)系？d) 共有多少個(gè)A上的不相同的既是對(duì)稱(chēng)又反對(duì)稱(chēng)的關(guān)系？1. 設(shè)R為非空有限集A上的二元關(guān)系。R1的關(guān)系矩陣MR199。R1為A上包含R的最小對(duì)稱(chēng)關(guān)系，R199。3. 設(shè)IA為集合A上的恒等關(guān)系，即IA={x, x|x206。則對(duì)A上的任意二元關(guān)系R，A上的二元關(guān)系IA200。R1必是自反的和對(duì)稱(chēng)的。證明a) domR1=ranR。 設(shè)集合{a, b, c, d}上的二元關(guān)系R1和R2為R1={a, a,a, b,b, d}；R2={a, d,b, c,b, d,c, b}。若R為任意集合上的空關(guān)系或全關(guān)系，則R2=R。 (R1oR2)∩(R1oR3), (R2∩R3)o R4204。設(shè)R1和R2都是集合A上的二元關(guān)系。設(shè)R為集合A上的二元關(guān)系，s，tN，st且Rs=Rt。N，則Rs+k=Rt+k；b) 若k, i206。N，則Rk{R0,R1,…,Rt1}。設(shè)IA為集合A上的恒等關(guān)系，R為A上的任意二元關(guān)系。R；b) R是反自反的，當(dāng)且僅當(dāng)R∩IA=198。 R1= IA；e) R是傳遞的，當(dāng)且僅當(dāng)RoR205。如果集合A上的二元關(guān)系R既是自反的，又是傳遞的，則R2=R。試求dom(R1oR2)和ran(R1oR2)。A，皆令R (X)={ y206。X使＜x，y＞206。若X1205。A，則有i) R (X1∪X2)= R (X1)∪R (X2)；ii) R (X1∩X2)205。R (X1)﹨R (X2)；1設(shè)R1為從集合A到集合B的二元關(guān)系，R2為從集合B到集合C的二元關(guān)系。A，則(R1oR2) (X)= R2(R1 (X))。t(R1)∪t(R2)。s(R1)∩s(R2)；c) t(R1∩R2)205。并分別給出使s(R1)∩s(R2)205。t(R1∩R2)不成立的R1和R2的具體實(shí)例。設(shè)R為集合A上的二元關(guān)系，試證明：a) RoR*= R+= R*oR；b) (R+)+= R+；c) (R*)*= R*；設(shè)R1和R2都是集合A上的相容關(guān)系。R2是A上的相容關(guān)系；e) R1oR2是A上的相容關(guān)系；f) 是A上的相容關(guān)系；如果A為恰含n個(gè)元素的有限集，則A上有多少個(gè)不同的相容關(guān)系？試判斷下列I上的二元關(guān)系是不是I上的等價(jià)關(guān)系，并說(shuō)明理由。I且iI且iI且i≤0 }；d) { i, j | i, j206。I且iI且i| j }；f) { i, j | i, j206。I使10x≤i≤j≤10(x +1)}；g) { i, j | i, j206。I且有x, y206。I且有x206。并給出了如下的證明：如果x, y206。R，從而由R是傳遞的得到x,x206。因此R是自反的。證明R為等價(jià)關(guān)系的充要條件是：若a,b,a,cR,則b,cR. 如果集合A上的二元關(guān)系