【正文】 (8) F→(DE) 前提(9) F （7），（8）(10) B→F CP PQ， P→R, Q→S = RS證明：(1) R 附加前提(2) P→R 前提(3) P （1），（2）(4) PQ 前提(5) Q （3），（4）(6) Q→S 前提(7) S （5），（6）(8) RS CP，（1），（8）(P→Q)(R→S)，(Q→W)(S→X)，(WX)，P→R = P證明： （1） P 假設(shè)前提（2） P→R 前提（3） R （1），（2）（4） (P→Q)(R→S) 前提（5） P→Q （4）（6） R→S （5）（7） Q （1），（5）（8） S （3），（6）（9） (Q→W)(S→X) 前提（10） Q→W （9）（11） S→X （10）（12） W （7），（10）（13） X （8），（11）（14） WX （12），（13）（15） (WX) 前提（16） (WX)(WX) （14），（15）(UV)→(MN), UP, P→(QS)，QS =M 證明：(1) QS 附加前提（2） P→(QS) 前提 （3） P （1），（2）（4） UP 前提（5） U （3），（4）（6） UV （5）（7） (UV)→(MN) 前提 （8） MN (6),(7)（9） M （8）BD，(E→F)→D，E=B證明：(1) B 附加前提(2) BD 前提 (3) D （1），（2）(4) (E→F)→D 前提(5) (E→F) （3），（4）(6) EF （5）(7) E （6）(8) E 前提(9) EE （7），（8）P→(Q→R)，R→(Q→S) = P→(Q→S)證明：（1） P 附加前提（2） Q 附加前提（3） P→(Q→R) 前提（4） Q→R （1），（3）（5） R （2），（4）（6） R→(Q→S) 前提（7） Q→S （5），（6）（8） S （2），（7）（9） Q→S CP，（2），（8）（10） P→(Q→S) CP，（1），（9）P→Q，P→R，R→S =S→Q 證明：（1） S 附加前提（2） R→S 前提（3） R （1），（2）（4） P→R 前提（5） P （3），（4）（6） P→Q 前提（7） Q (5），（6）（8） S→Q CP，（1），（7）P→(Q→R) = (P→Q)→(P→R)證明：(1) P→Q 附加前提(2) P 附加前提(3) Q (1),(2)(4) P→(Q→R) 前提(5) Q→R (2),(4)(6) R (3),(5)(7) P→R CP,(2),(6)(8) (P→Q) →(P→R) CP,(1),(7)P→(Q→R)，Q→P,S→R,P =S證明：（1） P 前提（2） P→(Q→R) 前提（3） Q→R (1)，(2)（4） Q→P 前提（5） Q (1)，(4)（6） R (3),(5)（7） S→R 前提（8） S (6)，(7)1A，A→B， A→C， B→(D→C) = D證明：（1） A 前提（2） A→B 前提（3） B (1)，(2)（4） A→C 前提（5） C (1)，(4)（6） B→(D→C) 前提（7） D→C (3)，(6)（8） D (5)，(7)1A→(CB)，B→A，D→C = A→D證明：（1） A 附加前提(2) A→(CB) 前提 (3) CB （1），（2）(4) B→A 前提(5) B （1），（4）(6) C （3），（5）(7) D→C 前提(8) D （6），（7）(9) A→D CP，（1），（8）1(PQ)(RQ) （PR）Q證明、(PQ)(RQ) (PQ)(RQ)(PR)Q （PR）Q(PR)Q1P(QP)P(PQ)證明、P(QP)P(QP)(P)(PQ)P(PQ)1（PQ）（PR），(QR)，SPS證明、(1) （PQ）（PR） 前提 （2） P (QR) (1) （3） (QR) 前提 （4） P （2），(3) (5) SP 前提 (6) S (4),(5)1PQ，QR，RS P證明、(1) P 附加前提 （2） PQ 前提 （3） Q （1），（2） （4） QR 前提 (5) R （3），（4） (6 ) RS 前提 （7） R （6） （8） RR （5），（7）1用真值表法證明ＰＱ (ＰＱ)(ＱＰ)證明、列出兩個(gè)公式的真值表：P Q PQ （PQ）（QP） F FF TT FT TT TF FF FT T由定義可知，這兩個(gè)公式是等價(jià)的。所以P為T(mén)，Q為F ，從而P→Q也為F。1用先求主范式的方法證明(P→Q)(P→R) (P→（QR）證明、先求出左右兩個(gè)公式 的主合取范式(P→Q)(P→R) (PQ)(PR) (PQ(RR)))(P()R) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR) (P→（QR）) (P（QR）) (PQ)(PR)(PQ(RR))(P()R) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR)它們有一樣的主合取范式，所以它們等價(jià)。即P→Q和QR都為T(mén)。從而P也為F，即P為T(mén)。(2) 若C隊(duì)獲亞軍，則A隊(duì)不能獲冠軍。(4) A 隊(duì)獲第一。證明、設(shè)A：A隊(duì)得第一。C: C隊(duì)獲亞軍。則前提符號(hào)化為A（BC），CA，DB，A；結(jié)論符號(hào)化為 D。（1） A 前提 （2） A（BC）前提 （3） BC （1），（2） （4） CA 前提 （5） C （1），（4） （6） B （3），（5） （7） DB 前提 （8） D （6），（7）2用推理規(guī)則證明PQ, (QR),PR不能同時(shí)為真。 AB= 　　證明：設(shè)A=B，則AB=（AB）（BA）==。故AB=，BA=，從而AB，BA，故A=B。從而A=AB=B=。 因?yàn)锳BC=，所以A(BC)=A。1(AB)(AC)=ABC證明： 因?yàn)?AB)(AC) =(A)(A) =A()=A= A(BC)，且(AB)(AC)=， 所以= A(BC)，故ABC。而A(BC)= (AB)(AC)， 所以A=(AB)(AC)。但(BA)A=，故BA=。 因?yàn)锽=，所以AB=A且BA=。1(AB)CA(BC)證明：x(AB)C，有AB且xC，即A，xB且xC。從而(AB)CA(BC) 1P(A)P(B)P(AB) （P(S)表示S的冪集）證明：SP(A)P(B)，有SP(A)或SP(B)，所以SA或SB。即P(A)P(B)P(AB) 1P(A)P(B)=P(AB) （P(S)表示S的冪集）證明：SP(A)P(B)，有SP(A)且SP(B)，所以SA且SB。即P(A)P(B)P(AB)。從而SP(A)且SP(B)，故SP(A)P(B)。 故P(AB)=P(A)P(B)1（AB）B=（AB）B當(dāng)且僅當(dāng)B=。 用反證法證明。因?yàn)閎B且b AB，所以b（AB）B。故這與已知（AB）B=（AB）B矛盾。 (2) xy(xy=1)。 (4) xy（xy=0）。 (6) xy（xy=x）。（2）對(duì)每個(gè)自然數(shù)x，存在自然數(shù)y滿(mǎn)足xy=1。（4）存在自然數(shù)x，對(duì)任意自然數(shù)y滿(mǎn)足xy=1。（6）存在自然數(shù)x，對(duì)任意自然數(shù)y滿(mǎn)足xy=x。設(shè)A(x,y,z): x+y=z, M（x,y,z）: xy=z, L(x,y): xy, G(x,y): xy， 個(gè)體域?yàn)樽匀粩?shù)。（2）xz是xy且yz的必要條件。（4）存在x，對(duì)任意y 使得xy=y。答：（1）x（G(x,0)M（0,0,x）） 或x L(x,0)（2）xyz ((L(x,y)L(y,z))L(x,z))（3）xy ((L(x,y)z(L(z,0)G(xz,yz)))（4）xyM（x,y,y）（5）xyA(x,y,x)列出下列二元關(guān)系的所有元素：（1）A={0,1,2}，B={0,2,4}，R={x,y|x,y}。（3）A={1,2,3}，B={3,2,1,0,1}，R={x,y||x|=|y|且x且yB}。(3) R={1,1,1,1,2,2,3,3}。證明：若B=，則BB=。故A=。 若B，則BB。對(duì), x,xBB。從而xA。同理可證，AB。對(duì)任意集合A,B，證明：若A，AB=AC，則B=C。從而AC =。即B=C。從而AC。因?yàn)锳B=AC，則y,xC。故BC。故B=C。求下列集合：(1) A{0,1}B； (2) B2A；(3) (AB)2。解：（1） A{0,1}B={a,0,c,a,1,c,b,0,c,b,1,c}。（3） (AB)2={a,c,a,c,a,c,b,c,b,c,a,c,b,c,b,c}。設(shè)全集U={a,b,c,d,e}, A={a,d}, B={a,b,c}, C={b,d}。 （4）P(A)P(B)。 （6）(AB)C。 (2) ={a,b,c,d,e}。 (4) P(A)P(B)={nhcuj7d3,{a,d}}。 (6) (AB) C={b,d}。（3）若AB，且BC，則AC；（4）若AB，且BC，則AC；證明：(1) 成立。又因?yàn)锽C，所以xC。(2) 不成立。雖然AB，且BC，但AC。反例如下：A={a}, B={{a},b},C={{{a},b},c}。(4) 成立。A上的