【正文】 4。PT(1)(2)，I(4)P∨QP(5)QT(3)(4)，I(6)Q174。R附加前提(2)P174。S。S)216。S，所以，即要證(P∨Q)∧(P174。216。R)∧(Q174。證明設G＝是連通平面圖G＝的對偶圖，則G G，于是|F|＝|V*|＝|V|，將其代入歐拉公式|V|－|E|＋|F|＝2得，|E|＝2(|V|－1)。由歐拉公式得，n－m＋r＝2。229。八、（20分）（1）若G是連通的平面圖，且G的每個面的次數(shù)至少為l(l≥3)，則G的邊數(shù)m與結點數(shù)n有如下關系：m≤rl(n－2)。對于bkp∈S，有bkp＝bp*bkp＝bp*(bp*bkp)＝…＝232－1－1－1－1－1－1－1－1－1mm222nbkp*bkp。所以對q≥i，有bq＝bp*bq。因為S是有限集，所以必存在j＞i，使得bi＝bj。七、（10分）設是一個半群，如果S是有限集，則必存在a∈S，使得a*a＝a。所以f是單射。對任意的yy2∈B，若f(y1)＝f(y2)＝x，則f(x)＝y(tǒng)1，f(x)＝y(tǒng)2。下證f是雙射。六、（10分）若f：A→B是雙射，則f：B→A是雙射。對任意的x、y∈A，若xt(R)y，則存在m使得xRy，于是有yRx，即有yt(R)x。yRn+1x，所以Rn+1對稱。$z(xRnz∧zRy)219。yRx，所以R對稱。$z(xRz∧zRy)219。下證對任意正整數(shù)n，R對稱。因R與IA對稱，所以有yRx或yIAx，于是yr(R)x。五、（10分）R是非空集合A上的二元關系，若R是對稱的，則r(R)和t(R)是對稱的。四、（15分）設A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元關系，且R＝{，}，求r(R)、s(R)和t(R)。(B204。B)∧x(x∈B→x∈A))219。216。B)∧x(x∈A∨x207。216。x(x∈A∨x207。$x(x∈A∧x207。B∨x∈A)222。B)∧216。216。A∨x∈B)∧$x(x∈B∧x207。A)219。B219。A)。216。S(x)：x是專家；W(x)：x是工人；Y(x)：x是青年人；則推理化形式為：x(S(x)∧W(x))，$xY(x)$x(S(x)∧Y(x))下面給出證明：(1)$xY(x)P(2)Y(c)T(1)，ES(3)x(S(x)∧W(x))P(4)S(c)∧W(c)T(3)，US(5)S(c)T(4)，I(6)S(c)∧Y(c)T(2)(5)，I(7)$x(S(x)∧Y(x))T(6)，EG三、（10分）設A、B和C是三個集合，則A204。二、（15分）在謂詞邏輯中構造下面推理的證明：某學術會議的每個成員都是專家并且是工人，有些成員是青年人，所以，有些成員是青年專家。C∧D)219。B∧C∧216。A∧216。C∧D)219。C∧D∧216。B∧C∧216。A∧216。C∧D)∨F 219。C∧D∧216。 D∧216。A∧216。D)219。C∧D∧216。C∧D∧216。B∧216。C)∨(216。C∧D∧216。C∧216。C)∨(C∧216。D)∨(C∧216。 D∧216。B∧216。D)∨(C∧216。A∧216。A∧216。B∧216。C)∨(216。A∧216。D))219。C∨(216。B∧216。B∧216。 D)∨(216。(216。C∨216。B∨216。 D)∨(216。(216。216。D)∧216。因此(A174。216。D，216。則根據(jù)題意應有：A174。)t1=(14253(2)ts=(1425)(25))s1ts=(143(3)ts=(14)(12)(15)奇置換，t1=(14)(12)(15)(13)偶置換s1ts=(14)(13)(25)奇置換第四篇：離散數(shù)學習題及答案離散數(shù)學考試試題（A卷及答案）一、（10分）某項工作需要派A、B、C和D 4個人中的2個人去完成，按下面3個條件，有幾種派法？如何派？(1)若A去，則C和D中要去1個人；(2)B和C不能都去；(3)若C去，則D留下。232。 232。54132247。 sts=231。21534247。1=231。230。s1230。232。232。232。45123247。 t=231。43125247。45321247。解：(1)ts=231。247。1230。230。230。(1)計算st,ts,t1,s1,s1ts；(2)將ts,t1,s1ts表成不交的輪換之積。232。232。34512247。t=231。21453247。s=231。230。,t是5元置換，且230。證明：設G是循環(huán)群,令G=,x,y206。j2是G1到G3的同態(tài)。a,b206。證明：有已知j1是G1到G2的函數(shù)，j2是G2到G3的函數(shù)，則j1N(a)由ax=xa，得x1axx1=x1xax1,x1ae=eax1，即x1a=ax1，所以x1206。fx,y206。證明：ea=ae,e206。（1）全體對稱矩陣 是子群（2）全體對角矩陣 是子群（3）（4）全體上（下）三角矩陣。令b=a2的證。G,a1=a,b1=b,(ab)1=ab,所以ab=a1b1=(ba)1=ba，與G為Abel群矛盾；所以，G含至少含一個3階元，設為a，則a185。所以，偶數(shù)階群G必含2階元，證明G中存在非單位元a和b,a≠b,且ab=：先證明G含至少含3階元。G，當a=e時，a是一階元，當a185。(bca)k=e 設(abc)k=e,則(abc)(abc)(abc)L(abc)=e，即a(bc)(abc)(abc)La(bc)aa1=e 左邊同乘a1，右邊同乘a得(bca)(bca)(bca)L(bca)=(bac)k=a1ea=e反過來，設(bac)k=e,則(abc)k=，∣abc∣=∣bca∣，同理∣bca∣=∣cab∣：偶數(shù)階群G必含2階元。22證明:設e0206。所以G關于矩陣乘法構成一個群．，且存在a∈G,使得 G={ak∣k∈Z} 證明：G是交換群。248。247。231。10246。解：(1)x,y∈G, 易知xy∈G,乘法是Z上的代數(shù)運算。248。248。253。01247。,231。01247。231。10246。10246。232。248。,248。01247。,231。01247。231。(2)x,y,z∈Z,(xoy)oz =(x+y2)oz=(x+y2)+z2=x+y+z4 同理(xoy)oz= xo(yoz)，結合律成立。如下： ” x,y∈Z,xoy= x+y2 問Z關于o運算能否構成群？為什么？ 〉不構成群 解：(1)x,y∈Z, xoy= x+y2206。所以，(x(3)x∈S,(xx)=x,，所以1是單位元。r163。S,是S上的代數(shù)運算。(aob)ob沒有單位元, 沒有零元(d)不滿足交換律，滿足結合律和冪等律沒有單位元, 沒有零元(2)求每個運算的單位元，零元以及每一個可逆元素的逆元。0時，x,y1=1y, xx+10．令S={a，b}，S上有四個運算：*。即無零元。設是單位元，S，*= *= 則==，解的=，即為單位。Q Q為有理數(shù)集，*為S上的二元運算，,S有 a，b * = （1）*運算在S上是否可交換，可結合？是否為冪等的？ 不可交換：*= 185。4,(2)* 在Z上是否適合交換律，結合律，和冪等律？ 滿足交換律，結合律，和冪等律(3)求*運算的單位元，零元及Z+中所有可逆元素的逆元。見上題7．設 * 為Z+上的二元運算x,y206。加法不封閉，乘法封閉；乘法滿足交換律，結合律（10）S = ,S關于普通的加法和乘法運算。封閉，均滿足交換律，結合律，乘法對加法滿足分配律 加法單位元是0，無零元；乘法無單位元（n1），零元是0；n=1單位元是1（7）A = {a1,a2,L,an} n運算定義如下：封閉 不滿足交換律，滿足結合律，（8）S = 關于普通的加法和乘法運算。111=1207。n實可逆矩陣集合關于矩陣加法及乘法運算，其中n2。（3）全體n180。封閉,不滿足交換律和結合律，無零元和單位元（2）非零整數(shù)集合普通的除法運算。錯(3)f是從X到Y的滿射,但不是單射。R,f(x)=x22x15不是滿射，不是單射={a,b,c,d},Y={1,2,3},f={,}判斷以下命題的真假:(1)f是從X到Y的二元關系,但不是從X到Y的函數(shù)。1，若x為偶數(shù)(5)f:N{0}174。{0,1},f(x)=237。0，若x為偶數(shù)236。N,f(x)=237。N,f(x)=(x)mod 3,x除以3的余數(shù)不是滿射，不是單射236。求f(0), f({0}), f(1), f({1}), f({0,2,4,6,…})，f({4,6,8}), f1({3,5,7}).解：f(0)=0, f({0})={0}, f(1)=1, f({1})={1}, f({0,2,4,6,…})=N，f({4,6,8})={2,3,4}, f1({3,5,7})={6,10,14}.?哪些是單射的?哪些是雙射的?(1)f:N174。x若x為偶數(shù)239。1，若x為奇數(shù)239。IA.(2)A={a,b,c,d,e}, Rp={}:edbcadeabc(1)(2)項目(1)(2)極大元: e a,b,d,e 極小元: a a,b,c,e 最大元: e 無 最小元: a 無第八章部分課后習題參考答案1．設f :N174。IA(b)A={a,b,c,d,e,f,g} Rp={,}200。A ，〈a，b〉R〈c，d〉219。A上的二元關系, 〈a，b〉，〈c，d〉206。A180。u+y=xy ∴R219。A上的等價關系.(2)確定由R 引起的對A180。A，〈u,v R 219。A上定義二元關系R，,206。{0,1}={,} R[{1,2}]=ran(R|{1,2})={2,3}16．設A={a,b,c,d}，R1，R2為A上的關系，其中R1={a,a,a,b,b,d}R2={a,d,b,c,b,d,c,b23